2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 019-能力提升13 立体几何中的综合问题（教用）

这是一份2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 019-能力提升13 立体几何中的综合问题（教用），共15页。试卷主要包含了最值与范围问题，探索性问题等内容，欢迎下载使用。
能力提升13 立体几何中的综合问题
立体几何中的最值与范围问题、探索性问题是近几年高考考查的热点内容，也是难点内容，常见于多选题和解答题中，其题目灵活性较强，需要相对丰富的空间想象能力.
题型一 最值与范围问题
例1 （2025·山西临汾三模）如图，已知圆柱OO1的轴截面ABCD是边长为2的正方形，点P是圆O1上异于点C，D的任意一点.
（1） 证明：平面ACP⊥ 平面ADP；
（2） 若O1P⊥CD，求点D到平面ACP的距离；
（3） 求AD与平面ACP所成角的正弦值的取值范围.
【解析】
（1） 证明：因为CD是圆O1的直径，所以DP⊥CP.
因为AD⊥ 平面PCD，CP⊂ 平面PCD，所以AD⊥CP，又AD∩DP=D，AD,DP⊂ 平面ADP，所以CP⊥ 平面ADP，
因为CP⊂ 平面ACP，所以平面ACP⊥ 平面ADP.
（2） 解法一（等体积法）：因为O1P⊥CD，所以P为弧CD的中点，所以O1P=1，CP=DP=2，
由（1）知CP⊥ 平面ADP，又AP⊂ 平面ADP，所以CP⊥AP，
所以AP=AC2−CP2=(22)2−(2)2=6，故S△APC=12×AP×CP=3，
设D到平面ACP的距离为d，由VA−DPC=VD−APC，得13×2×1=13×d×3，
解得d=233，
即点D到平面ACP的距离为233.
解法二（定义法）：过点D作DE⊥AP，垂足为E，如图.
因为平面ACP⊥ 平面ADP，平面ACP∩ 平面ADP=AP，DE⊂ 平面ADP，所以DE⊥ 平面ACP.
同解法一得DP=2，AP=6.
在Rt△ADP中，AD×DP=DE×AP，所以DE=2×26=233，
即点D到平面ACP的距离为233.
（3） 解法一（向量法）：连接OO1,以O1为原点，O1C,O1O分别为y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,−1,0)，C(0,1,0)，A(0,−1,2)，所以AD=(0,0,−2)，AC=(0,2,−2).
设P(x0,y0,0)，则x02+y02=1，x0≠0，所以CP=(x0,y0−1,0)，
设平面ACP的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅AC→=2y−2z=0,n⋅CP→=x0⋅x+(y0−1)y=0,
令x=1−y0,则n=(1−y0,x0,x0)，
设直线AD与平面ACP所成的角为θ ，
则sinθ=|cs⟨AD,n⟩|=|AD⋅n||AD|⋅|n|=|−2x0|2(1−y0)2+2x02=|x0|1−2y0+y02+2x02=x022−2y0+x02=1−y023−2y0−y02=(1+y0)(1−y0)(3+y0)(1−y0)=1+y03+y0=1−23+y0，
因为x0≠0，故−1