2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 038-第三节 等比数列及其前n项和（教用）

这是一份2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 038-第三节 等比数列及其前n项和（教用），共15页。试卷主要包含了理解等比数列的概念，体会等比数列与指数函数的关系，若S3=7,a3=1,则等内容，欢迎下载使用。
第三节 等比数列及其前n项和
课标要求
1.理解等比数列的概念.
2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.
3.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题.
4.体会等比数列与指数函数的关系.
回归教材 强基础
1．等比数列的定义及有关概念
【答案】同一个常数； ab； a1qn−1； a1(1−qn)1−q； a1−anq1−q
点拨（1）两个实数只有在同号时才存在等比中项，且等比中项一定有两个，它们互为相反数.
（2）在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意要对q 进行分类讨论，防止因忽略q=1 这一特殊情况而出现错误.
2．等比数列的性质
【答案】aman=apat； aman=ap2； qm； qn
常考结论
1.当a1>0,q>1或a10，且2a1≠0，所以{2an}为等比数列，故B正确；
对于C，若Sn=3n−1，则a1=S1=2，an=Sn−Sn−1=3n−1−(3n−1−1)=3n−3n−1=2⋅3n−1(n≥2)，又a1=2满足上式，所以an=2⋅3n−1(n∈N∗)，所以{an}为等比数列，故C正确；
对于D，因为3an+1=an+2an+2，所以2(an+2−an+1)−(an+1−an)=0，则an+2−an+1an+1−an=12，又a1=1，a2=2，a2−a1≠0，因此{an+1−an}是首项为1，公比为12的等比数列，故D正确.故选BCD.
例5 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn+1=4an+2，且bn=an+1−2an，cn=an3n−1，n∈N∗，求证：
（1） {bn}是等比数列；
（2） {cn}是等比数列.
【答案】
（1） 证明 当n=1时，S2=a1+a2=4a1+2，又a1=1，所以a2=5，
当n≥2时，an+1=Sn+1−Sn=4an+2−(4an−1+2)，即an+1=4an−4an−1，
故an+1−2an=2(an−2an−1)，即bn=2bn−1(n≥2).
由b1=a2−2a1=3，可知bn≠0，故bnbn−1=2，
所以{bn}是首项为3，公比为2的等比数列.
（2） 由（1）得，bn=3×2n−1，故an+1−2an=3×2n−1，
所以an+12n+1−an2n=34，即{an2n}是首项为a121=12，公差为34的等差数列，
所以an2n=12+34(n−1)，即an=(3n−1)×2n−2，所以cn=an3n−1=2n−2，
易知cn≠0,且cn+1cn=2n−12n−2=2，所以{cn}是等比数列.
归纳总结
判定或证明等比数列的常用方法
注意：（1）前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明题；后两种方法常用于选择题、填空题.
（2）若要证明一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续的三项不成等比数列即可.
考点三 等比数列的性质及其应用
角度1 等比数列项的性质
例6 （2025·安徽宣城模拟）在等比数列{an}中，a3,a5是方程x2−15x+9=0的两个根，则a1a7−a4=（ ）
A. 12或18B. 6或12C. 6D. 12
【答案】B
【解析】因为a3,a5是方程x2−15x+9=0的两个根，所以a3a5=9.又在等比数列{an}中，有a1a7=a3a5=9=a42，所以a4=±3，于是a1a7−a4=9−3=6或a1a7−a4=9+3=12.故选B.
例7 已知在等比数列{an}中，公比q=12，前60项和S60=133，则a2+a5+⋯+a59=_ _ _ _ .
【答案】38
【解析】解法一：由已知得S60=[1−(12)60]a11−12=133，
所以a1=1332[1−(12)60].
由于{an}为等比数列，所以a2,a5,⋯ ,a59也构成等比数列，且公比为q3=(12)3，因此a2+a5+⋯+a59=a2[1−(q3)20]1−q3=a1q[1−(q3)20]1−q3=1332[1−(12)60]×12[1−(12)60]1−18=38.
解法二：由于q=12，若设a2+a5+⋯+a59=t，则a1+a4+⋯+a58=(a2+a5+⋯+a59)⋅1q=2t，a3+a6+⋯+a60=(a2+a5+⋯+a59)⋅q=12t，于是S60=2t+t+12t=133，解得t=38，即a2+a5+⋯+a59=38.
角度2 等比数列前n项和的性质
例8 （2023· 新课标Ⅱ卷·8，5分）记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4=−5，S6=21S2，则S8=（ ）
A. 120B. 85C. −85D. −120
【答案】C
【解析】解法一：设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,
由题意知an≠0，q≠±1.
由S6=21S2知a1(1−q6)1−q=21×a1(1−q2)1−q,
∴1−q6=21−21q2,∴q6−21q2+20=0,
∴(q2−1)(q4+q2−20)=0.
又q2≠1,∴q4+q2−20=0，∴q2=4,
∴S8=S4+S4q4=−5+(−5)×16=−85,故选C.
解法二：设等比数列{an}的公比为q,
∵S4=S2(1+q2)=−5,∴S2≠0.
由S6=21S2知S2(1+q2+q4)=21S2,
∴q4+q2−20=0,∴q2=4,
∴S8=S4(1+q4)=−85,故选C.
解法三：设等比数列{an}的公比为q,易知公比q≠−1，
由等比数列前n项和的性质可得S2，S4−S2，S6−S4，S8−S6成等比数列，
∴(S4−S2)2=S2(S6−S4)，
又S4=−5，S6=21S2，
∴(−5−S2)2=S2(21S2+5)，
∴S2=−1或S2=54，
易知S4=S2(1+q2),且q2>0,S4