2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 033-能力提升6 三角函数中有关ω 的求解（教用）

这是一份2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 033-能力提升6 三角函数中有关ω 的求解（教用），共15页。试卷主要包含了利用三角函数的对称性求ω，利用三角函数的单调性求ω，利用三角函数的最值求ω，利用三角函数的零点求ω等内容，欢迎下载使用。
能力提升6 三角函数中有关ω 的求解
在三角函数的图象与性质中，ω 的值（或范围）的求解是近年高考的一个热点内容，但因其情况复杂多变，涉及的知识点多，历来是学习中的难点.
题型一 利用三角函数的对称性求ω
例1
（1） （2025·云南昆明模拟）若函数f(x)=sinωx+3csωx(ω>0)图象的一个对称中心为点(π2,0)，则ω 的最小值为（ ）
A. 43B. 53C. 2D. 54
（2） （2025·天津河西一模）已知函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)图象的一条对称轴是直线x=π2，且在[0,π]上有且仅有两个对称中心，则函数f(x)的解析式为（ ）
A. f(x)=sin(13x+π3)B. f(x)=sin(73x+π3)
C. f(x)=sin(2x+π3)D. f(x)=sin(103x+π3)
【答案】（1） A
（2） B
【解析】
（1） f(x)=sinωx+3csωx=2sin(ωx+π3)，因为f(x)图象的一个对称中心为点(π2,0)，所以f(π2)=2sin(π2ω+π3)=0，于是π2ω+π3=kπ(k∈Z)，则ω=2k−23(k∈Z).因为ω>0，所以当k=1时，ω 取得最小值，为43.故选A.
（2） 因为f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)图象的一条对称轴为直线x=π2，所以πω2+π3=kπ+π2(k∈Z)，解得ω=2k+13(k∈Z).当0≤x≤π 时，π3≤ωx+π3≤πω+π3，因为函数f(x)的图象在[0,π]上有且仅有两个对称中心，所以2π≤πω+π30)的图象关于直线x=2π3对称，且f(x)在区间(0,π3)上单调递增，则ω 的值为_ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） A
（2） 12
【解析】
（1） 令t=ωx+π4，因为x∈(0,7π4)，所以t∈(π4,7π4ω+π4)，因为函数f(x)=cs(ωx+π4)(ω>0)在(0,7π4)上单调递减，所以函数y=cst在(π4,7π4ω+π4)上单调递减，则有7π4ω+π4≤π ，解得ω≤37，所以ω 的最大值为37.故选A.
（2） 因为函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)的图象关于直线x=2π3对称，所以ω⋅2π3+π6=kπ+π2(k∈Z)，解得ω=3k+12(k∈Z).由x∈(0,π3),得ωx+π6∈(π6,π3ω+π6)，又函数在(0,π3)上单调递增，所以(π6,π3ω+π6)⊆(2kπ−π2,2kπ+π2)(k∈Z)，则k=0，所以π3ω+π6≤π2，解得ω≤1，结合ω>0和ω=3k+12(k∈Z)，得到ω=12.
归纳总结
根据三角函数的单调性确定ω 的方法
（1）通过单调区间的长度与周期的大小关系建立不等式（组）确定ω 的取值范围；
（2）通过整体换元根据所给单调区间与正弦函数单调区间端点的包含关系建立不等式（组）确定ω 的取值范围.
提醒：函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0) 在(a,b) 上单调，则b−a≤T2=πω,即00,00，所以由x∈[0,π2)，得ωx−π3∈[−π3,ωπ2−π3).
画出y=sinx的图象，如图.
由图可得π23π2，解得53113.故选C.
题型四 利用三角函数的零点求ω
例4
（1） ［2022·全国甲卷（理）·11，5分］设函数f(x)=sin(ωx+π3)在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω 的取值范围是（ ）
A. [53,136)B. [53,196)C. (136,83]D. (136,196]
（2） 设ω>0，已知函数f(x)=sin(3ωx−π4)⋅sin(2ωx+5π6)在(0,π)上恰有6个零点，则ω 的取值范围为（ ）
A. (1912,74]B. (1712,1912]C. (1312,1712]D. (34,1312]
【答案】（1） C
（2） B
【解析】
（1） 因为x∈(0,π)，
所以ωx+π3∈(π3,ωπ+π3)，
当ω0.
y=sinx，x∈(π3,3π)的图象如下所示：
要使函数f(x)在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，
需满足5π20)的图象经过点(0,23)，若f(x)在[0,π]上没有零点，则ω 的取值范围为（ ）
A. (0,1)B. (0,1]C. (0,23)D. (0,23]
【答案】A
【解析】f(x)=sinωx+acs2ωx2=sinωx+a2csωx+a2，因为f(0)=23，所以0+a2+a2=23，可得a=23，所以f(x)=sinωx+3csωx+3=2sin(ωx+π3)+3.令t=ωx+π3，则当x∈[0,π]时，t∈[π3,ωπ+π3]，依题意得y=2sint+3在[π3,ωπ+π3]上无零点，即sint>−32在[π3,ωπ+π3]上恒成立，当t≥π3时，使得sint=−32成立的最小的值为t=4π3，所以要使sint>−32在[π3,ωπ+π3]上恒成立，需满足ωπ+π3