2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用考点培优练02复数2大考点(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用考点培优练02复数2大考点(学生版+解析)，共7页。试卷主要包含了已知复数满足,则的虚部为，已知复数,则，在复平面内,对应的点位于，已知复数满足,则，已知复数z满足, 则的最小值为等内容，欢迎下载使用。

TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc2518" 考点01 复数的有关概念 PAGEREF _Tc2518 \h 1
\l _Tc826 考点02 复数的运算2
考点01复数的有关概念
1．在复平面内,复数对应的点的坐标是,则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数,则在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．已知复数满足,则的虚部为（ ）
A．1B．C．D．
4．已知复数,则（ ）
A．若复数z为实数,则
B．若复数z为纯虚数,则
C．当时,
D．复数z在复平面内对应的点不可能在第二象限
5．设,在复平面内z对应的点为Z,则下列结论中满足条件的点Z的集合对应的图形正确的是（ ）．
A．若,则点Z的集合是圆
B．若,则点Z的集合是两个圆所夹的圆环（包括边界）
C．若,则点Z的集合是y轴所在的直线
D．若,则点Z的集合是一、三象限角平分线
6．若为实数,且复数为纯虚数,则的值为 ．
7．已知复数,其中且,则的最小值是 .
考点02 复数的运算
8．在复平面内,对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
9．已知复数满足,则（ ）
A．1B．2C．D．3
10．已知复数z满足, 则的最小值为（ ）
A．B．C．3D．2
11．角的始边为x轴非负半轴,复数z满足,且复数z对应的点在角的终边上,则的值为（ ）
A．B．C．D．
12．设复数,其中,若是虚数,则（ ）
A．B．C．D．
13．已知为虚数单位,若,则复数的虚部是（ ）
A．B．C．D．
14．已知方程有两个虚根,且则实数的值为（ ）
A．B．C．D．2
15．（多选题）已知复数,则（ ）
A．B．
C．z在复平面内对应的点位于第一象限D．z是方程的一个复数根
16．（多选题）已知复数是其共轭复数,下列说法正确的是（ ）
A．若,则为实数
B．若,则
C．
D．
17．（多选题）已知复数,为的共轭复数,则（ ）
A．B．
C．D．
18．（多选题）设为复数,则（ ）
A．
B．
C．若,则的值只能取
D．若为实系数一元二次方程的两虚根,则
19．已知,其中a为实数,若,则a= .
20．已知是关于x的方程的一个根,则 .
21．在复平面内,复数（是虚数单位,）是纯虚数,其对应的点为,为曲线上的动点,则与之间的最小距离为 ．
1．复数的有关概念
(1)复数的定义：形如a＋bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中a是实部,b是虚部,i为虚数单位．
(2)复数的分类：
满足条件(a,b为实数)
复数的分类
a＋bi为实数⇔b＝0
a＋bi为虚数⇔b≠0
a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a,b,c,d∈R)．
(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c,b＝－d(a,b,c,d∈R)．
(5)模：向量eq \(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z＝a＋bi的模,记作|a＋bi|或|z|,即|z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2)(a,b∈R)．
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi(a,b∈R)复平面内的点Z(a,b)．
(2)复数z＝a＋bi(a,b∈R)平面向量eq \(OZ,\s\up6(→)).
解读：
(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚部．
(3)|z|表示复数z对应的点与原点的距离．
1.复数的四则运算
设z1＝a＋bi,z2＝c＋di,a,b,c,d∈R.
2.复数运算的几何意义
复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义,即eq \(OZ,\s\up6(→))＝eq \(OZ1,\s\up6(→))＋eq \(OZ2,\s\up6(→)),eq \(Z1Z2,\s\up6(→))＝eq \(OZ2,\s\up6(→))－eq \(OZ1,\s\up6(→)).
解读：
(1)复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可．
(2)复数除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题中要注意把i的幂写成最简形式.
(3)复数的运算与复数概念的综合题．先利用复数的运算法则化简,一般化为a＋bi(a,b∈R)的形式,再结合相关定义解答．
(4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简,一般化为a＋bi(a,b∈R)的形式,再结合复数的几何意义解答．
(5)复数的综合运算．分别运用复数的乘法、除法法则进行运算,要注意运算顺序,要先算乘除,后算加减,有括号要先算括号里面的．
(6)在进行复数的运算时,不能把实数集的运算法则和性质照搬到复数集中来,如下面的结论,当z∈C时,不是总成立的：(1)(zm)n＝zmn(m,n为分数)；(2)若zm＝zn,则m＝n(z≠1)；(3)若zeq \\al(2,1)＋zeq \\al(2,2)＝0,则z1＝z2＝0.
结论：
(1)(1±i)2＝±2i,eq \f(1＋i,1－i)＝i,eq \f(1－i,1＋i)＝－i；
(2)ω2＋ω＋1＝0,ω3＝1,其中ω＝－eq \f(1,2)±eq \f(\r(3),2)i；
(3)in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)；
(4)；
(5)；
(6)在方程中,若,
则,.
考点培优练02 复数2大考点
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc2518" 考点01 复数的有关概念 PAGEREF _Tc2518 \h 1
\l _Tc826 考点02 复数的运算 PAGEREF _Tc826 \h 3
考点01复数的有关概念
1．在复平面内,复数对应的点的坐标是,则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为复数对应的点的坐标是,所以,故选B.
2．已知复数,则在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【解析】由,则复数在复平面内所对应的点为,所以在复平面内所对应的点位于第二象限,故选B.
3．已知复数满足,则的虚部为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【解析】设,则,由,可得,化简得,
从而,即,所以,的虚部为.故选B.
4．已知复数,则（ ）
A．若复数z为实数,则
B．若复数z为纯虚数,则
C．当时,
D．复数z在复平面内对应的点不可能在第二象限
【答案】ACD
【解析】对于A,依题意可得,即,则,故A正确；对于B,依题意可得,故B错误；对于C,依题意可得,所以,故C正确；对于D,若复数z在平面内对应的点在第二象限,则,所以D正确,故选ACD．
5．设,在复平面内z对应的点为Z,则下列结论中满足条件的点Z的集合对应的图形正确的是（ ）．
A．若,则点Z的集合是圆
B．若,则点Z的集合是两个圆所夹的圆环（包括边界）
C．若,则点Z的集合是y轴所在的直线
D．若,则点Z的集合是一、三象限角平分线
【答案】ABC
【解析】A：表示以原点为圆心,1为半径的圆,对；B：表示以原点为圆心,半径分别为1、2的两个圆所成圆环（含边界）,对；C：表示到两点距离相等的点,即为轴所在直线,对；D：表示到两点距离相等的点,即为二、四象限的角平分线,错.故选ABC.
6．若为实数,且复数为纯虚数,则的值为 ．
【答案】2
【解析】由纯虚数的概念知,由可得.
7．已知复数,其中且,则的最小值是 .
【答案】
【解析】复数在复平面内对应的点,在直线上,的几何意义是点到点的距离,其最小值为点到直线的距离,故最小值为.
考点02 复数的运算
8．在复平面内,对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】因为,所以其在复平面内对应的点为,位于第四象限.
故选D.
9．已知复数满足,则（ ）
A．1B．2C．D．3
【答案】C
【解析】因为,所以,,故C正确.故选C.
10．已知复数z满足, 则的最小值为（ ）
A．B．C．3D．2
【答案】B
【解析】解法一：设复数,因为,可得,即,
所以复数z在复平面上对应的点的轨迹是以原点为圆心,半径的圆.
对于复数,则表示点到点的距离,
因点到原点的距离为,点到点的距离最小值为,也即,故选B.
解法二：因为,所以,故选B.
11．角的始边为x轴非负半轴,复数z满足,且复数z对应的点在角的终边上,则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】依题意由可得,因此复数z对应的点的坐标为,即点在角的终边上,所以可知.故选D.
12．设复数,其中,若是虚数,则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由复数可得,所以,
,
所以,因为是虚数,所以,故选D
13．已知为虚数单位,若,则复数的虚部是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】已知,等式两边同时除以可得,所以
,复数的虚部是,故选D.
14．已知方程有两个虚根,且则实数的值为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【详解】因为方程有两个虚根,所以,解不等式可得,,
=3==3,解得,满足.故选B.
15．（多选题）已知复数,则（ ）
A．B．
C．z在复平面内对应的点位于第一象限D．z是方程的一个复数根
【答案】AC
【解析】,所以,故A正确；
,故B错误；z在复平面内对应的点为,位于第一象限,故C正确；若z是方程的一个复数根,则有,,但,故D错误.故选AC.
16．（多选题）已知复数是其共轭复数,下列说法正确的是（ ）
A．若,则为实数
B．若,则
C．
D．
【答案】AD
【解析】由题意设,则.选项A, ,则,所以为实数,所以A正确；选项B, 当时,,此时,所以B错误；
选项C,当,,此时,所以C错误；
选项D,,即,所以D正确.故选A D.
17．（多选题）已知复数,为的共轭复数,则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【解析】因为,则,则,A正确．因为,B正确．
因为,所以,,,故C正确,D错误．故选ABC．
18．（多选题）设为复数,则（ ）
A．
B．
C．若,则的值只能取
D．若为实系数一元二次方程的两虚根,则
【答案】ABD
【解析】对于A,设,则,,所以,A正确．对于B,设,则,,,故,因此B正确．
对于C,若,易知的值可以是或．C错误．
对于D,易知,由可得；
由求根公式可得,故．D正确．故选ABD．
19．已知,其中a为实数,若,则a= .
【答案】
【解析】易得,若,则,解得.
20．已知是关于x的方程的一个根,则 .
【答案】14
【解析】由是方程的一个根,得是方程的另一个根,则,解得,所以.
21．在复平面内,复数（是虚数单位,）是纯虚数,其对应的点为,为曲线上的动点,则与之间的最小距离为 ．
【答案】1
【解析】复数是纯虚数,,,解得,,其对应的点为,为曲线上的动点,则点在以原点为圆心,半径的圆上,所以与之间的最小距离.
1．复数的有关概念
(1)复数的定义：形如a＋bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中a是实部,b是虚部,i为虚数单位．
(2)复数的分类：
满足条件(a,b为实数)
复数的分类
a＋bi为实数⇔b＝0
a＋bi为虚数⇔b≠0
a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a,b,c,d∈R)．
(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c,b＝－d(a,b,c,d∈R)．
(5)模：向量eq \(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z＝a＋bi的模,记作|a＋bi|或|z|,即|z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2)(a,b∈R)．
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi(a,b∈R)复平面内的点Z(a,b)．
(2)复数z＝a＋bi(a,b∈R)平面向量eq \(OZ,\s\up6(→)).
解读：
(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚部．
(3)|z|表示复数z对应的点与原点的距离．
1.复数的四则运算
设z1＝a＋bi,z2＝c＋di,a,b,c,d∈R.
2.复数运算的几何意义
复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义,即eq \(OZ,\s\up6(→))＝eq \(OZ1,\s\up6(→))＋eq \(OZ2,\s\up6(→)),eq \(Z1Z2,\s\up6(→))＝eq \(OZ2,\s\up6(→))－eq \(OZ1,\s\up6(→)).
解读：
(1)复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可．
(2)复数除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题中要注意把i的幂写成最简形式.
(3)复数的运算与复数概念的综合题．先利用复数的运算法则化简,一般化为a＋bi(a,b∈R)的形式,再结合相关定义解答．
(4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简,一般化为a＋bi(a,b∈R)的形式,再结合复数的几何意义解答．
(5)复数的综合运算．分别运用复数的乘法、除法法则进行运算,要注意运算顺序,要先算乘除,后算加减,有括号要先算括号里面的．
(6)在进行复数的运算时,不能把实数集的运算法则和性质照搬到复数集中来,如下面的结论,当z∈C时,不是总成立的：(1)(zm)n＝zmn(m,n为分数)；(2)若zm＝zn,则m＝n(z≠1)；(3)若zeq \\al(2,1)＋zeq \\al(2,2)＝0,则z1＝z2＝0.
结论：
(1)(1±i)2＝±2i,eq \f(1＋i,1－i)＝i,eq \f(1－i,1＋i)＝－i；
(2)ω2＋ω＋1＝0,ω3＝1,其中ω＝－eq \f(1,2)±eq \f(\r(3),2)i；
(3)in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)；
(4)；
(5)；
(6)在方程中,若,
则,.