2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用第02讲常用逻辑用语(高效培优讲义)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用第02讲常用逻辑用语(高效培优讲义)(学生版+解析)，共62页。试卷主要包含了判断元素与集合的关系"，集合中元素的特性"，集合间的基本关系"，集合的基本运算"，集合新定义"等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc206167438" 考情探究 PAGEREF _Tc206167438 \h 2
\l "_Tc206167439" 知识梳理 PAGEREF _Tc206167439 \h 3
\l "_Tc206167440" 探究核心考点4
\l "_考点一 判断元素与集合的关系" 考点一 充分条件与必要条件的判断 PAGEREF _Tc206167441 \h 4
\l "_考点二 集合中元素的特性" 考点二 充分条件与必要条件的应用5
\l "_考点三 集合间的基本关系" 考点三 判断命题的真假5
\l "_考点四 集合的基本运算" 考点四 含有量词命题的否定6
\l "_考点五 集合新定义" 考点五 全称量词命题、存在量词命题的应用6
\l "_Tc206167447" 三阶突破训练7
\l "__x0001__4" 基础过关7
\l "__x0001__5" 能力提升8
\l "__x0001__6" 真题感知10
一、5年真题考点分布
二、命题规律及备考策略
【命题规律】新高考卷中常用逻辑用语专题为热点内容，主要考查充分必要条件、全称量词与存在量词，题型以单选题为主，分值5分。
近三年考情显示，该专题可直接考察，也可作为知识点载体的形式考察，常与数列，函数等知识点结合，难度随载体的知识点而定。备考需强化反例法和集合思想的运用，注重逻辑链的完整性训练。
【备考策略】1.理解、掌握充分条件、必要条件、充要条件
2.能正确从集合角度理解充分条件与必要条件的判断及逻辑关系
3.能理解全称量词与存在量词的意义
4.能正确对全称量词命题和存在量词命题进行否定
【命题预测】本节内容常作为载体考查充分条件与必要条件，需对考纲内知识点熟练掌握；全称量词命题和存在量词命题的否定也是高考复习和考查的重点。
一、充分条件、必要条件、充要条件
1．定义
如果命题“若，则”为真(记作)，则是的充分条件；同时是的必要条件.
2．从逻辑推理关系上看
（1）若且，则是的 ；
（2）若且，则是的 ；
（3）若且，则是的的 (也说和等价)；
（4）若且，则不是的 .
对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：，则是的充分条件，同时是的必要条件.所谓“充分”是指只要成立，就成立；所谓“必要”是指要使得成立，必须要成立(即如果不成立，则肯定不成立).
二、全称量词与存在量词
（1）全称量词与全称量词命题.短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.含有全称量词的命题叫做 .全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为“”，读作“对任意属于，有成立”.
（2）存在量词与存在量词命题.短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.含有存在量词的命题叫做 .存在量词命题“存在中的一个，使成立”可用符号简记为“”，读作“存在中元素，使成立”（存在量词命题也叫存在性命题）.
三、含有一个量词的命题的否定
（1）全称量词命题的否定为，.
（2）存在量词命题的否定为.
【方法技巧与总结】
1．从集合与集合之间的关系上看
设.
（1）若，则是的充分条件()，是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且；
注：关于数集间的充分必要条件满足：“小大”.
（2）若，则是的必要条件，是的充分条件；
（3）若，则与互为充要条件.
考点一 判断元素与集合的关系
典例1．（25-26高三上·湖南长沙·开学考试）已知等差数列的前项和为，对任意，“数列为递增数列”是“数列为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
典例2．“其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语•子路》．意思是：领导者自身品行端正时，即使不发布命令，人们也会自觉遵行；自身行为不端时，即使发布命令，人们也不会听从．根据上述材料，“身正”是“令行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
跟踪训练1．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知是非零向量，则“与是相等向量或相反向量”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
跟踪训练2．（2025·浙江·三模）已知随机事件A，B发生的概率分别为，且则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
跟踪训练3．对于实数，“”是“且”的 条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）
考点二 集合中元素的特性
典例1．““是“函数为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
典例2．不等式对一切实数恒成立的的取值集合为，集合．
(1)求集合；
(2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．
跟踪训练1．设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
跟踪训练2．函数有且只有一个零点的充要条件是（ ）
A．B．C．D．或
跟踪训练3．已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ．
考点三 集合间的基本关系
典例1．（2025·四川·三模）已知，；，.下列结论正确的是（ ）
A．p是真命题，q是真命题B．p是真命题，是真命题
C．是真命题，q是真命题D．是真命题，是真命题
典例2．（2025·辽宁大连·模拟预测）已知命题：若，，则方程表示椭圆；命题：已知复数，若，则，下列选项中正确的是（ ）
A．和都是真命题B．和都是真命题
C．和都是真命题D．和都是真命题
跟踪训练1．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知“”是“”的必要不充分条件，是虚数单位，，，则（ ）
A．和都是真命题B．和都是真命题
C．和都是真命题D．和都是真命题
跟踪训练2．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知命题，；命题，，则（ ）
A．和都是真命题B．和都是真命题
C．和都是真命题D．和都是真命题
跟踪训练3．已知命题，，命题，恒成立.若和至多有一个为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
考点四 集合的基本运算
典例1．命题“，有”的否定是（ ）
A．，使得B．，有
C．，使得D．，有
典例2．已知命题：，则为（ ）
A．B．
C．D．
跟踪训练1．命题“对于任意，都有”的否定命题是（ ）
A．存在，使
B．存在，使
C．对于任意，不都有
D．对于任意，都没有
跟踪训练2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
考点五 集合新定义
典例1．（2025·湖北黄冈·模拟预测）若“”是真命题，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
典例2．（2025·宁夏银川·二模）若命题：“，都有”为真命题，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
跟踪训练1．（24-25高三上·江苏扬州·阶段练习）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是 .
跟踪训练2．已知命题：，；命题：，，若p和q都是真命题，则实数的取值范围是 ；
1．（25-26高三上·江苏南通·阶段练习）已知命题，则是（ ）
A．B．
C．D．
2．（24-25高三下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）函数在上单调递增的必要不充分条件为（ ）
A．B．C．D．
3．已知命题p：，，q：，，则下列均是真命题的是（ ）
A．p和qB．p和C．和qD．和
4．已知单位向量，，则（ ）
A．是的必要不充分条件B．是的必要不充分条件
C．是的充分不必要条件D．是的充分不必要条件
5．已知抛物线上有两点，焦点为F，则“”是“直线过”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．（24-25高三上·江苏扬州·开学考试）命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
7．记，分别为正项数列的前n项和与首项，设甲：是公差为的等差数列；乙：为等差数列，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．若数列的前项和为，则下列命题正确的是（ ）
A．若数列是递增数列，则数列也是递增数列
B．数列是递增数列的充要条件是数列的各项均为正数
C．若是等差数列（公差），则的充要条件是
D．若是等比数列，则的充要条件是
9．对直线系，有下列四个命题：
（1）中所有直线均经过同一个定点；
（2）存在定点，其不在中的任一条直线上；
（3）对于任意整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上；
（4）中的直线所能围成的正三角形面积都相等．其中真命题的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
10．下列命题：①“”是“存在，使得成立”的充分条件；②“”是“存在，使得成立”的必要条件；③“”是“不等式对一切恒成立”的充要条件.其中为真命题的序号是（ ）
A．③B．②③C．①②D．①③
1.“”是“函数在区间上单调递减”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2025·山东临沂·模拟预测）已知、、是直线，是平面，且，，则“，”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
3．（24-25高三下·上海·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，点是线段上一动点（不与，重合），则下列命题中：①平面平面；②一定是锐角；③；④三棱锥的体积为定值．其中真命题的有（ ）

A．①③B．②④C．①②③D．①③④
4．（2023·北京·三模）已知函数，则“”是“为奇函数”的（ ）条件
A．充分而不必要B．必要而不充分
C．充分必要D．既不充分也不必要
5．（2025·全国·二模）设等比数列的各项均为正数，其前项和为，则“”是“数列是递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．（多选）下列命题中的假命题是（ ）
A．命题“，”的否定是：，
B．设，则“”是“”的充分而不必要条件
C．若，则的最小值为4
D．
7．（25-26高一·全国·假期作业）已知函数的定义域为，则“，，”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知抛物线的方程为，则“抛物线经过点”是“抛物线的焦点为”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
9．已知，，，，，，，为各项都大于零的数列，命题①：，，，，，，，不是等比数列；命题②：，则命题②是命题①的 条件．
10．（24-25高三下·重庆北碚·阶段练习）已知数列的前项和（、为常数），则“”是“为递增的等差数列”的 条件.
1．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2025·天津·高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2024·上海·高考真题）定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（ ）
A．“”是“”的必要条件B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件D．“”是“”的充分条件
6．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（ ）
A．p和q都是真命题B．和q都是真命题
C．p和都是真命题D．和都是真命题
8．（2023·北京·高考真题）若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
9．（2023·全国甲卷·高考真题）设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
10．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2025年天津卷，第2题，5分
充分条件、必要条件
三角函数
2025年北京卷，第7题，5分
充分条件、必要条件
单调性与最值
2024年新Ⅱ卷，第2题，5分
判断命题的真假
全称量词命题的否定及其真假判断
存在量词命题的否定及其真假判断
单绝对值不等式
一元三次方程
2023年新I卷，第7题，5分
充分条件与必要条件
等差数列通项公式及前n项和
第02讲 常用逻辑用语
目录
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc206167438" 考情探究 PAGEREF _Tc206167438 \h 2
\l "_Tc206167439" 知识梳理 PAGEREF _Tc206167439 \h 3
\l "_Tc206167440" 探究核心考点4
\l "_考点一 判断元素与集合的关系" 考点一 充分条件与必要条件的判断 PAGEREF _Tc206167441 \h 4
\l "_考点二 集合中元素的特性" 考点二 充分条件与必要条件的应用6
\l "_考点三 集合间的基本关系" 考点三 判断命题的真假9
\l "_考点四 集合的基本运算" 考点四 含有量词命题的否定11
\l "_考点五 集合新定义" 考点五 全称量词命题、存在量词命题的应用 PAGEREF _Tc206167445 \h 12
\l "_Tc206167447" 三阶突破训练 PAGEREF _Tc206167447 \h 14
\l "__x0001__4" 基础过关 PAGEREF _Tc206167448 \h 14
\l "__x0001__5" 能力提升 PAGEREF _Tc206167449 \h 19
\l "__x0001__6" 真题感知24
一、5年真题考点分布
二、命题规律及备考策略
【命题规律】新高考卷中常用逻辑用语专题为热点内容，主要考查充分必要条件、全称量词与存在量词，题型以单选题为主，分值5分。
近三年考情显示，该专题可直接考察，也可作为知识点载体的形式考察，常与数列，函数等知识点结合，难度随载体的知识点而定。备考需强化反例法和集合思想的运用，注重逻辑链的完整性训练。
【备考策略】1.理解、掌握充分条件、必要条件、充要条件
2.能正确从集合角度理解充分条件与必要条件的判断及逻辑关系
3.能理解全称量词与存在量词的意义
4.能正确对全称量词命题和存在量词命题进行否定
【命题预测】本节内容常作为载体考查充分条件与必要条件，需对考纲内知识点熟练掌握；全称量词命题和存在量词命题的否定也是高考复习和考查的重点。
一、充分条件、必要条件、充要条件
1．定义
如果命题“若，则”为真(记作)，则是的充分条件；同时是的必要条件.
2．从逻辑推理关系上看
（1）若且，则是的充分不必要条件；
（2）若且，则是的必要不充分条件；
（3）若且，则是的的充要条件(也说和等价)；
（4）若且，则不是的充分条件，也不是的必要条件.
对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：，则是的充分条件，同时是的必要条件.所谓“充分”是指只要成立，就成立；所谓“必要”是指要使得成立，必须要成立(即如果不成立，则肯定不成立).
二、全称量词与存在量词
（1）全称量词与全称量词命题.短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为“”，读作“对任意属于，有成立”.
（2）存在量词与存在量词命题.短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在中的一个，使成立”可用符号简记为“”，读作“存在中元素，使成立”（存在量词命题也叫存在性命题）.
三、含有一个量词的命题的否定
（1）全称量词命题的否定为，.
（2）存在量词命题的否定为.
【方法技巧与总结】
1．从集合与集合之间的关系上看
设.
（1）若，则是的充分条件()，是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且；
注：关于数集间的充分必要条件满足：“小大”.
（2）若，则是的必要条件，是的充分条件；
（3）若，则与互为充要条件.
考点一 判断元素与集合的关系
典例1．（25-26高三上·湖南长沙·开学考试）已知等差数列的前项和为，对任意，“数列为递增数列”是“数列为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】根据充分必要的定义判断．
【详解】对于充分性：当时，单调递增，但不是单调递增的，
所以“数列为递增数列”不能推出“数列为递增数列”，充分性不成立；
对于必要性：当时，单调递增，
但不是单调递增的，
所以“数列为递增数列”不能推出“数列为递增数列”，必要性不成立；
所以“数列为递增数列”是“数列为递增数列”的既不充分也不必要条件．
故选：．
典例2．“其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语•子路》．意思是：领导者自身品行端正时，即使不发布命令，人们也会自觉遵行；自身行为不端时，即使发布命令，人们也不会听从．根据上述材料，“身正”是“令行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合题意即可得到答案.
【详解】由题意，“其身正，不令而行”，即身正令行，故“身正”是“令行”的充分条件；“其身不正，虽令不从”，即令行身正，所以“身正”是“令行”的必要条件．综上可知，“身正”是“令行”的充要条件.
故选：C．
跟踪训练1．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知是非零向量，则“与是相等向量或相反向量”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据数量积的运算律及充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】若，则，所以，
若，则，所以，
故由“或”推得出“”，即充分性成立；
若，则，所以，
所以由“”推不出“或”，故必要性不成立；
所以“与是相等向量或相反向量”是“”的充分不必要条件.
故选：A
跟踪训练2．（2025·浙江·三模）已知随机事件A，B发生的概率分别为，且则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据条件概率公式、对立事件概率公式判断.
【详解】若，则，
若，则不一定成立，则不一定成立，
如，时，，满足，但不满足，
若，则，故，即，
所以是的必要不充分条件，
故选：B.
跟踪训练3．对于实数，“”是“且”的 条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）
【答案】充分不必要
【分析】由，可得且，可知充分性成立，赋值法可判断必要性不成立.
【详解】由，可得且，所以且，
所以“”是“且”的充分条件；
满足且，但，
所以“”不是“且”的必要条件．
所以“”是“且”的充分不必要条件．
故答案为：充分不必要
考点二 集合中元素的特性
典例1．““是“函数为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先由为奇函数得到，再判断函数的定义域是否关于原点对称，从而得到函数为奇函数的充要条件，即可得是函数为奇函数的充分不必要条件.
【详解】若为奇函数，则，
即，整理得，
即，解得.
当时，函数的定义域为关于原点对称，且，所以为奇函数；
当时，函数的定义域为关于原点对称，且，所以为奇函数.
所以函数为奇函数的充要条件是或.
所以“”是“函数为奇函数”的充分不必要条件．
故选：A.
典例2．不等式对一切实数恒成立的的取值集合为，集合．
(1)求集合；
(2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当 时，显然成立；当时，由求解即可；
（2）由题设得，即在上恒成立，由解出m的取值范围即可.
【详解】（1）当 时， 显然恒成立；
当 时，不等式 对一切实数 都成立，
则 ，解得 ．
综上， ．
（2）因为“”是“”的充分条件，
所以．
又 ，即 在 上恒成立．
令 ，
则 ， 解得 ，
所以的取值范围为．
跟踪训练1．设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】解方程得A，再分析的根，得出B是A的子集时对应的，再由充分不必要条件的概念，真子集的概念得解.
【详解】，
若，则，BA，
若，则，BA，
若，则，BA，
∴BA的一个充分不必要条件是.
故选：B
跟踪训练2．函数有且只有一个零点的充要条件是（ ）
A．B．C．D．或
【答案】D
【分析】由题意得函数的图象过点，把问题转化为：函数没有零点函数的图象与直线无交点，数形结合可得解．
【详解】因为时，，可知函数的图象过点，
所以函数有且只有一个零点
函数没有零点
函数的图象与直线无交点．
当时，，
由图可知，函数 的图象与直线无交点或．
即函数有且只有一个零点的充要条件是或．
故选：D．
跟踪训练3．已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先解绝对值不等式和含参的一元二次不等式得出p和q对应的等价条件，再结合是的充分不必要条件得到集合间的包含关系，则参数m的范围可求．
【详解】由可得，即，
由可得，
即，
又因为是的充分不必要条件，所以是的真子集，
所以或，解得，
故答案为：．
考点三 集合间的基本关系
典例1．（2025·四川·三模）已知，；，.下列结论正确的是（ ）
A．p是真命题，q是真命题B．p是真命题，是真命题
C．是真命题，q是真命题D．是真命题，是真命题
【答案】C
【分析】特殊值法、分别判断的真假，即可得.
【详解】当时，，则p是假命题，即是真命题.
当时，，满足，则q是真命题，即是假命题..
故选：C
典例2．（2025·辽宁大连·模拟预测）已知命题：若，，则方程表示椭圆；命题：已知复数，若，则，下列选项中正确的是（ ）
A．和都是真命题B．和都是真命题
C．和都是真命题D．和都是真命题
【答案】C
【分析】对命题，举出反例即可；对命题，求出和即可判断，再利用原命题和命题的否定的关系即可判断.
【详解】命题，当时，此时方程表示圆，故命题为假命题，则为真命题；
命题，若，则，则，即，则，故命题为真命题，则为假命题.
故选：C.
跟踪训练1．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知“”是“”的必要不充分条件，是虚数单位，，，则（ ）
A．和都是真命题B．和都是真命题
C．和都是真命题D．和都是真命题
【答案】B
【分析】根据必要不充分条件的定义及存在命题的性质结合非的定义判断即可.
【详解】因为解得，所以“”是“”的充分不必要条件，是假命题，是真命题；
当时，，是真命题，是假命题．
综上可知，和都是真命题．
故选：B.
跟踪训练2．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知命题，；命题，，则（ ）
A．和都是真命题B．和都是真命题
C．和都是真命题D．和都是真命题
【答案】C
【分析】根据对数函数的性质判断命题的真假，通过取特殊值判断命题的真假，再根据命题的真假进行判断，即可做出判断.
【详解】对于命题，因为在上单调递增，
所以，有，所以为假命题，为真命题；
对于命题，当时，，所以为真命题.
故选：C
跟踪训练3．已知命题，，命题，恒成立.若和至多有一个为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据条件，先求出命题和命题同时为真命题时的取值范围，再求其补集，即可求解.
【详解】当命题为真命题，即，使成立，得到，即，
当命题为真命题，即对，恒成立，得到，
即，
所以当命题和命题同时为真命题时，有，即，
又命题和命题至多有一个为真命题，所以或，
故选：D.
考点四 集合的基本运算
典例1．命题“，有”的否定是（ ）
A．，使得B．，有
C．，使得D．，有
【答案】C
【分析】利用含有一个量词的命题的否定规律“改量词，否结论”分析判断即可得解.
【详解】解：因为命题“，有”是全称量词命题，
所以其否定是存在量词命题，即“，使得”.
故选：C.
典例2．已知命题：，则为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用含有一个量词的命题的否定规律“改量词，否结论”分析判断即可得解.
【详解】解：根据含有一个量词的命题的否定规律“改量词，否结论”可知，
∵命题：，
∴：.
故选：D.
跟踪训练1．命题“对于任意，都有”的否定命题是（ ）
A．存在，使
B．存在，使
C．对于任意，不都有
D．对于任意，都没有
【答案】B
【分析】利用含有一个量词的命题的否定规律“改量词，否结论”分析判断即可得解.
【详解】解：因为命题“对于任意，都有”是全称量词命题，
所以其否定命题为存在量词命题，即“存在，使”.
故选：B.
跟踪训练2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【分析】根据含有一个量词的命题的否定，特称命题的否定是全称命题，写出原命题的否定，得到答案.
【详解】因为特称命题的否定是全称命题，
所以命题“，”的否定是
“，”.
故选：A.
【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于简单题.
考点五 集合新定义
典例1．（2025·湖北黄冈·模拟预测）若“”是真命题，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由判别式即可求解.
【详解】由题意可得：，
解得：，
所以实数的取值范围为，
故选：A
典例2．（2025·宁夏银川·二模）若命题：“，都有”为真命题，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题目条件可得出：命题：“，都有”为真命题；再构造函数，利用导数判断其为增函数，进而可得出结果.
【详解】因为命题：“，都有”为真命题，
所以命题：“，都有”为真命题.
令，.
则.
因为，
所以，
所以函数为增函数.
又因为，
所以.
故选：B.
跟踪训练1．（24-25高三上·江苏扬州·阶段练习）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】由题意可得命题“”是真命题，利用二次函数的性质计算即可得.
【详解】由命题“”是假命题，
则命题“”是真命题，
则有，解得.
故答案为：.
跟踪训练2．已知命题：，；命题：，，若p和q都是真命题，则实数的取值范围是 ；
【答案】
【分析】若为真命题则可解出m的取值范围，若为真命题，则在上有解，利用导数求出函数的值域即可求得m的范围，再进行交集运算即可得.
【详解】若，，
则，解得；
若，，则在有解，
设，则，
当时，，函数在单调递减；
当时，，函数在单调递增；
所以当时，，当.
故当时，的值域为，
所以要使在上有解，则.
若p和q都是真命题，则，即.
故答案为：.
1．（25-26高三上·江苏南通·阶段练习）已知命题，则是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题求解即可.
【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题可知：
命题的否定：.
故选：B
2．（24-25高三下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）函数在上单调递增的必要不充分条件为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由函数在上单调递增，则在上恒成立，再根据二次函数恒成立的等价条件求解即可.
【详解】函数在上单调递增，
所以在上恒成立，
即，
解得，
所以A是充分条件，B是充要条件，C是既不充分也不必要条件，D是必要条件.
故选：D.
3．已知命题p：，，q：，，则下列均是真命题的是（ ）
A．p和qB．p和C．和qD．和
【答案】B
【分析】利用基本不等式求最值即可判断.
【详解】，，，则，当且仅当时等号成立，
则为真命题；
当时，，则，等号成立时，
则为假命题，为真命题．
故与均为真命题．
故选：B
4．已知单位向量，，则（ ）
A．是的必要不充分条件B．是的必要不充分条件
C．是的充分不必要条件D．是的充分不必要条件
【答案】D
【分析】根据向量模长等式进行平方运算，结合向量的运算性质，判断充分性和必要性.
【详解】由，得，解得，所以，充分性成立，
当时，得，，即，必要性成立，
故“”是“”的充要条件，A，C错误；
若，则，解得，则，所以，即，充分性成立，
当时，则或，所以或，必要性不成立，
故是的充分不必要条件，B错误，D正确．
故选：D.
5．已知抛物线上有两点，焦点为F，则“”是“直线过”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】设AB为，联立方程组，消x得，设，，则，．结合判断充分性与必要性．
【详解】设AB为，，消去x得，设，，
则，．
充分性：当时，则，即，又，
则，故直线不一定过，充分性不成立；
必要性：当直线过时，方程为，此时，故，
此时有，必要性成立．
故“”是“直线AB过F”的必要不充分条件．
故选：B.
6．（24-25高三上·江苏扬州·开学考试）命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】根据存在量词命题的否定的知识来确定正确答案.
【详解】命题是存在量词命题，则命题的否定是全称命题，
所以命题，的否定为：，.
故选：D.
7．记，分别为正项数列的前n项和与首项，设甲：是公差为的等差数列；乙：为等差数列，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据题意利用等差数列的定义和与的递推关系求解即可.
【详解】正项等差数列中，，则，
则，即，数列是等差数列，充分性成立；
设等差数列的公差为，，则，
则有，
当时，，即从第二项起，数列为等差数列，公差为，要使得为等差数列，则还需满足，
即，解得，题目中并未给出相应条件，必要性不成立．
故甲是乙的充分不必要条件．
故选：A
8．若数列的前项和为，则下列命题正确的是（ ）
A．若数列是递增数列，则数列也是递增数列
B．数列是递增数列的充要条件是数列的各项均为正数
C．若是等差数列（公差），则的充要条件是
D．若是等比数列，则的充要条件是
【答案】D
【分析】对于ABC，通过举特例可判断选项正误；对于D，设公比为q，由，可得；由，可得，据此可判断选项正误.
【详解】数列的前项和为，故.
对于A，若数列是递增数列，则数列不一定是递增数列，如当时，数列是递减数列，A不正确；
对于B，由数列是递增数列，不能推出数列的各项均为正数，
如数列：，满足是递增数列，但不满足数列的各项均为正数，B不正确；
对于C，若是等差数列（公差），则由不能推出，例如数列：，满足，但，C不正确．
对于D，若是等比数列，则.设公比为q，
若，则，不满足题意；
若，则，从而，故有；
由可得数列的公比为，
可得，故D正确．
故选：D．
9．对直线系，有下列四个命题：
（1）中所有直线均经过同一个定点；
（2）存在定点，其不在中的任一条直线上；
（3）对于任意整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上；
（4）中的直线所能围成的正三角形面积都相等．其中真命题的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】利用定点到动直线系的距离为定值1，可知直线系为圆的切线的集合．从而利用圆与切线的关系可以作出判断.
【详解】由点到直线系中每条直线的距离，
所以直线系：是圆的切线的集合．
对于（1），由于直线系表示圆的所有切线，其中存在两条切线平行，所以中所有直线均经过同一个定点不可能，故（1）为假命题；
对于（2），由（1）得中的任一条直线不过圆心，所以存在定点，其不在中的任一条直线上，故（2）为真命题；
对于（3），由于圆的所有外切正多边形的边都在圆的切线上，所以对于任意整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上，故（3）为真命题；
对于（4），如图所示，
中的直线所能围成的正三角形有两类，第一类，如，此类正三角形面积都相等，第二类，如，此类正三角形面积相等，但两类之间面积不等，故（4）为假命题．
故选：B．
10．下列命题：①“”是“存在，使得成立”的充分条件；②“”是“存在，使得成立”的必要条件；③“”是“不等式对一切恒成立”的充要条件.其中为真命题的序号是（ ）
A．③B．②③C．①②D．①③
【答案】B
【分析】对于①，可以举反例说明；对于②利用指数函数的性质即可判断；对于③，利用指数函数的在正整数集上的值域即可判断.
【详解】对于①，若取，满足，由，显然，故①是假命题；
对于②，因对于，必有，故由可得，
即由“存在，使得成立”可推得“”，故 ②是真命题；
对于③，根据指数函数的性质，对一切，都有 成立，
故“不等式对一切恒成立”等价于“”，故 ③是真命题.
故选：B.
1.“”是“函数在区间上单调递减”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由充分条件和必要条件的概念，以及二次函数的单调性可得结果.
【详解】充分性：当时，，
易知函数在区间上单调递减．
必要性：若在区间上单调递减，
则需，即，
故“”是“函数在区间上单调递减”的充分不必要条件．
故选：A.
2．（2025·山东临沂·模拟预测）已知、、是直线，是平面，且，，则“，”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】由线面垂直的定义及判定定理即可判断.
【详解】解：由得：
存在，满足，
若，则直线垂直平面中任意一条直线，
，，，，
，，，是否相交不确定，不一定成立，
“，”是“”的必要不充分条件．
故选：B
3．（24-25高三下·上海·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，点是线段上一动点（不与，重合），则下列命题中：①平面平面；②一定是锐角；③；④三棱锥的体积为定值．其中真命题的有（ ）

A．①③B．②④C．①②③D．①③④
【答案】D
【分析】根据线线垂直，线面垂直，面面垂直相互转化判断得出.
【详解】如图

因为，，，平面，
所以平面，即平面
又因为平面，故平面平面，所以①正确；
当为的中点时，，再由①知平面平面，平面平面，
所以平面，得，所以，一定是锐角错误，故②错误；
因为正方形中，所以有，又由正方体中有平面，得平面平面，
因为平面平面，所以平面，且平面，故，得③正确；
三角形的面积，三棱锥的高即为点到平面的距离，距离为，
故三棱锥的体积为定值，所以④正确.
故选：D.
4．（2023·北京·三模）已知函数，则“”是“为奇函数”的（ ）条件
A．充分而不必要B．必要而不充分
C．充分必要D．既不充分也不必要
【答案】C
【分析】利用奇函数的性质求参数关系，结合充分、必要性的定义即可得.
【详解】若为奇函数，则，
所以，即恒成立，
所以.
综上，“”是“为奇函数”的充要条件.
故选：C
5．（2025·全国·二模）设等比数列的各项均为正数，其前项和为，则“”是“数列是递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】把转化为，得，即是增数列，反之推导即可求解．
【详解】由得，所以，
又，所以是递增数列，
反之，等比数列的各项均为正数，且数列是递增数列，所以，即有，
所以，即，
所以是数列是递增数列的充要条件．
故选：C．
6．（多选）下列命题中的假命题是（ ）
A．命题“，”的否定是：，
B．设，则“”是“”的充分而不必要条件
C．若，则的最小值为4
D．
【答案】BCD
【分析】利用全称量词命题的否定判断A；举例说明判断BCD.
【详解】对于A，命题“，”的否定是：，，A正确；
对于B，取，满足，而，则“”不是“”充分条件，B错误；
对于C，取，满足，而，C错误；
对于D，当时，，D错误.
故选：BCD
7．（25-26高一·全国·假期作业）已知函数的定义域为，则“，，”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据赋值法结合充分条件、必要条件的概念求解即可.
【详解】先说明充分性：因为，，，
令，得到：，所以，
再令，得到，
所以，充分性成立；
再说明必要性，因为，所以，且，
所以有，必要性成立；
故“，，”是“”的充要条件.
故选：C
8．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知抛物线的方程为，则“抛物线经过点”是“抛物线的焦点为”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】结合抛物线定义和方程依次分析题设的充分性和必要性即可得解.
【详解】若抛物线经过点，，
所以抛物线方程为，则抛物线的焦点坐标为，故充分性不成立；
若抛物线的焦点为，则，
所以抛物线方程为，则，即抛物线不经过点，
所以必要性不成立，
故“抛物线经过点”是“抛物线的焦点为”的既不充分也不必要条件．
故选：D
9．已知，，，，，，，为各项都大于零的数列，命题①：，，，，，，，不是等比数列；命题②：，则命题②是命题①的 条件．
【答案】充分不必要
【分析】根据等比数列的知识和充分性、必要性的概念进行判断.
【详解】充分性：
假设是等比数列，公比为，则.
所以.
若，则.
因为，所以.
当时，；
当时，的正负性会随着的取值不同而变化，
但无论取何值，都能推出，所以数列不是等比数列，充分性成立；
必要性：
若数列不是等比数列，例如取，
此时，所以必要性不成立.
故答案为：充分不必要.
10．（24-25高三下·重庆北碚·阶段练习）已知数列的前项和（、为常数），则“”是“为递增的等差数列”的 条件.
【答案】充要
【分析】由时，求出，再证明为等差数列，要使为递增的等差数列则即可，再结合充分条件和必要的条件定义即可得出答案.
【详解】当时，，
当时，，
令时，，所以，
，
所以为公差为的等差数列，
，为公差，所以为递增的等差数列，
为递增的等差数列，则，解得：，
所以“”是“为递增的等差数列”的充要条件.
故答案为：充要.
1．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由函数值域的概念结合特例，再根据充分条件、必要条件的概念即可求解.
【详解】若函数的值域为，则对任意，一定存在，使得，
取，则，充分性成立；
取，，则对任意，一定存在，使得，
取，则，但此时函数的值域为，必要性不成立；
所以“的值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件.
故选：A.
2．（2025·天津·高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】通过判断是否能相互推出，由充分条件与必要条件的定义可得.
【详解】由，则“”是“”的充分条件；
又当时，，可知，
故“”不是“”的必要条件，
综上可知，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
3．（2024·上海·高考真题）定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】首先分析出三个向量共面，显然当时，三个向量构成空间的一个基底，则即可分析出正确答案.
【详解】由题意知这三个向量共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底，
对A，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故A错误；
对B，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故B错误；
对C， 由空间直角坐标系易知三个向量不共面，可构成空间的一个基底，
则由能推出，
对D，由空间直角坐标系易知三个向量共面，
则当无法推出，故D错误.
故选：C．
4．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断.
【详解】因为，可得，即，
可知等价于，
若或，可得，即，可知必要性成立；
若，即，无法得出或，
例如，满足，但且，可知充分性不成立；
综上所述，“”是“或”的必要不充分条件.
故选：B.
5．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（ ）
A．“”是“”的必要条件B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件D．“”是“”的充分条件
【答案】C
【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.
【详解】对A，当时，则，
所以，解得或，即必要性不成立，故A错误；
对C，当时，，故，
所以，即充分性成立，故C正确；
对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误；
对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误.
故选：C.
6．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.
【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件.
故选：C.
7．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（ ）
A．p和q都是真命题B．和q都是真命题
C．p和都是真命题D．和都是真命题
【答案】B
【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.
【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题，
对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题，
综上，和都是真命题.
故选：B.
8．（2023·北京·高考真题）若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】解法一：由化简得到即可判断；解法二：证明充分性可由得到，代入化简即可，证明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入即可，证明必要性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可.
【详解】解法一：
因为，且，
所以，即，即，所以.
所以“”是“”的充要条件.
解法二：
充分性：因为，且，所以，
所以，
所以充分性成立；
必要性：因为，且，
所以，即，即，所以.
所以必要性成立.
所以“”是“”的充要条件.
解法三：
充分性：因为，且，
所以，
所以充分性成立；
必要性：因为，且，
所以，
所以，所以，所以，
所以必要性成立.
所以“”是“”的充要条件.
故选：C
9．（2023·全国甲卷·高考真题）设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.
【详解】当时，例如但，
即推不出；
当时，，
即能推出.
综上可知，甲是乙的必要不充分条件.
故选：B
10．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.，
【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为，
则，
因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即为常数，设为，
即，则，有，
两式相减得：，即，对也成立，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C正确.
方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即，
则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即，
即，，
当时，上两式相减得：，当时，上式成立，
于是，又为常数，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
故选：C
5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2025年天津卷，第2题，5分
充分条件、必要条件
三角函数
2025年北京卷，第7题，5分
充分条件、必要条件
单调性与最值
2024年新Ⅱ卷，第2题，5分
判断命题的真假
全称量词命题的否定及其真假判断
存在量词命题的否定及其真假判断
单绝对值不等式
一元三次方程
2023年新I卷，第7题，5分
充分条件与必要条件
等差数列通项公式及前n项和