2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用重难点专训01抽象函数的应用(高效培优专项训练)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用重难点专训01抽象函数的应用(高效培优专项训练)(学生版+解析)，共7页。试卷主要包含了一次函数模型，指数型模型，对数型模型，幂函数型模型，二次函数模型等内容，欢迎下载使用。
\l "_Tc207494153" 题型通法及变式提升 PAGEREF _Tc207494153 \h 3
\l "_Tc207494154" 题型一：抽象函数的赋值求值 PAGEREF _Tc207494154 \h 3
\l "_Tc207494155" 题型二：抽象函数“一次函数模型” PAGEREF _Tc207494155 \h 4
\l "_Tc207494156" 题型三：抽象函数“指数函数模型” PAGEREF _Tc207494156 \h 7
\l "_Tc207494157" 题型四：抽象函数“对数函数模型” PAGEREF _Tc207494157 \h 11
\l "_Tc207494158" 题型五：抽象函数“幂函数模型” PAGEREF _Tc207494158 \h 14
\l "_Tc207494159" 题型六：抽象函数“二次函数模型” PAGEREF _Tc207494159 \h 16
\l "_Tc207494160" 题型七：抽象函数的奇偶性与对称性 PAGEREF _Tc207494160 \h 19
\l "_Tc207494161" 重难专题分层过关练 PAGEREF _Tc207494161 \h 23
\l "_Tc207494162" 巩固过关 PAGEREF _Tc207494162 \h 23
\l "_Tc207494163" 创新提升 PAGEREF _Tc207494163 \h 32
1、一次函数模型
模型1：若，则；
模型2：若，则为奇函数；
模型3：若则；
模型4：若则；
2、指数型模型
模型1：若，则；
单调性判断：先得出，再比较和1（即）的大小关系
模型2：若，则；
模型3：若，则；
模型4：若，则；
3、对数型模型
模型1：若，则
模型2：若，则
单调性判断：由，则有
记， ，再结合题目给的在或上的正负.
模型3：若，则
模型4：若，则
模型5：若，则
4、幂函数型模型
模型1：若，则
奇偶性性判断：令
单调性判断：
模型2：若，则
代入则可化简为幂函数；
5、二次函数模型
模型：若
则此结论过于复杂，只做了解无需记忆，大概知道是二次函数，有个做题方向，实际做题还是赋值法处理；
题型一：抽象函数的赋值求值
典例1-1．设函数的定义域为，若，则 ．
典例1-2．函数的定义域为，若，则（ ）
A．－2B．－4C．2D．4
变式1-1．已知函数的定义域为，且，，则 ．
变式1-2．已知定义在上的函数满足对任意的正数，，都有，若，则（ ）
A．12B．6C．D．
题型二：抽象函数“一次函数模型”
典例2-1．已知定义在上的函数，满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
典例2-2．已知定义在上的函数，满足，而且当时，有．
（1）求证：在上是增函数；
（2）判断与的大小，并说明理由．
变式2-1．定义在非零实数集上的函数对任意非零实数满足:,且当时.
(1)求及的值；
(2)求证:是偶函数；
(3)解不等式：.
变式2-2．已知函数满足，当时，，则（ ）
A．为奇函数B．若，则
C．若，则D．若，则
题型三：抽象函数“指数函数模型”
典例3-1．（多选）已知函数的定义域为R，且，若，则下列说法正确的是（ ）
A．B．有最大值
C．D．函数是奇函数
典例3-2．已知定义在上的函数满足：①对任意的，都有；②当且仅当时，成立．
(1)求；
(2)判断并证明的单调性；
(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
变式3-1．已知函数对任意实数，恒有，且当时，，又．
(1)判断的奇偶性及单调性并证明你的结论；
(2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．
变式3-2．已知函数定义域为，且函数同时满足下列个条件：①对任意的实数，恒成立；②当时，；③.
(1)求及的值；
(2)求证：函数既是上的奇函数，同时又是上的增函数；
(3)若，求实数的取值范围.
题型四：抽象函数“对数函数模型”
典例4-1．下列函数中，满足“”的单调递增函数是（ ）
A．B．
C．D．
典例4-2． 已知：定义在R上的函数，对于任意实数a, b都满足，且，当．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）证明在上是增函数；
（Ⅲ）求不等式的解集.
变式4-1．如果且，则（ ）
A．B．C．D．
变式4-2．（多选）已知定义在上的函数同时满足：①偶函数；②当时，；③当，时，，则（ ）
A．
B．
C．在上单调递增
D．不等式的解集为
题型五：抽象函数“幂函数模型”
典例5-1．已知定义在上的函数，满足，对于任意正实数、都有，当时，，且.
(1)求证：；
(2)证明：在上为减函数；
(3)若，求实数的值.
变式5-1．若函数对任意实数x，y都有，则称其为“保积函数”．
(1)若“保积函数”满足，判断其奇偶性并证明；
(2)对于（1）中的“保积函数”，若时，，且，试求不等式的解集．
变式5-2．已知对任意实数都有，且，当时，，若且，的取值范围 .
题型六：抽象函数“二次函数模型”
典例6-1．已知函数的定义域为，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．方程有解
C．是偶函数D．是偶函数
典例6-2．（多选）已知函数对任意恒有，且，则（ ）
A．B．可能是偶函数
C．D．可能是奇函数
变式6-1．已知函数对一切都有成立.
（1）求的值；
（2）求的解析式；
（3）已知，设：当时，不等式恒成立，：当时，不是单调函数，求满足为真命题且为假命题的的取值范围.
变式6-2．已知定义域为的函数满足对任意，都有.
（1）求证：是奇函数；
（2）设，且时，，
①求证：在上是减函数；
②求不等式的解集.
题型七：抽象函数的奇偶性与对称性
典例7-1．（多选）已知函数的定义域为，，，则（ ）
A．B．的图象关于点对称
C．的图象关于直线对称D．
典例7-2．（多选）已知定义在上的连续函数满足，，，当时，恒成立，则下列说法正确的是（ ）
A．B．是偶函数
C．D．的图象关于对称
变式7-1．（多选）若函数的定义域为，且，，则（ ）
A．B．为偶函数
C．的图象关于点对称D．
变式7-2．（多选）已知函数的定义域为，，，都有，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．，都有
C．关于点对称
D．若，则
巩固过关
1．已知函数的定义域为，，且，，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知定义在上的函数满足，且当时，，则（ ）
A．B．
C．D．
3．已知函数的定义域为，且，则（ ）
A．－3B．－2C．0D．1
4．已知函数的定义域为，且，若，则（ ）
A．B．C．为增函数D．为奇函数
5．（多选）已知函数的定义域为，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．函数是偶函数
C．函数是周期为4的周期函数D．
6．（多选）已知定义在R上的单调函数，满足，，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．可能是单调递减函数
C．为奇函数D．若，则
7．（多选）已知函数的定义域为，，则（ ）
A．B．
C．为减函数D．为奇函数
8．（多选）定义在上的函数满足，当时，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．是奇函数
C．在上单调递减
D．不等式的解集为
9．（多选）已知函数的定义域是，对任意的实数、满足，且，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．函数为上的增函数D．函数为奇函数
10．设函数是增函数，对于任意x，都有．
(1)写一个满足条件的并证明；
(2)证明是奇函数；
(3)解不等式．
11．函数的定义域为D，满足对任意的，都有.
（1）若，试判断的奇偶性并证明你的结论；
（2）若，且在定义域D上是单调函数，满足，解不等式.
12．已知函数定义在上，对任意，都有，且存在正数满足，求证：
(1)是偶函数；
(2)是的周期；
(3)当在上是减函数时，的最小正周期是．
13．已知函数对任意实数x，y，均有，，且存在非零常数c，使.
(1)求的值；
(2)判断的奇偶性并证明；
(3)求证是周期函数，并求出的一个周期.
创新提升
1．（多选）已知定义在上的函数满足，且当时，，则有（ ）
A．是奇函数
B．
C．
D．
2．已知定义在R上的函数满足：对任意实数m，n均有，若，且时，，则关于x的不等式的解集为 .
3．（多选）若函数满足：对任意，恒有，则称函数为“类余弦型”函数.已知函数为“类余弦型”，若，且对任意非零实数，.则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．函数为偶函数
D．若有理数，满足，则
4．（多选）已知定义域为的函数满足，且，，则（ ）
A．B．为偶函数
C．D．
重难点专训01 抽象函数的应用
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc207494152" 解题方法及技巧提炼 PAGEREF _Tc207494152 \h 1
\l "_Tc207494153" 题型通法及变式提升 PAGEREF _Tc207494153 \h 3
\l "_Tc207494154" 题型一：抽象函数的赋值求值 PAGEREF _Tc207494154 \h 3
\l "_Tc207494155" 题型二：抽象函数“一次函数模型” PAGEREF _Tc207494155 \h 4
\l "_Tc207494156" 题型三：抽象函数“指数函数模型” PAGEREF _Tc207494156 \h 7
\l "_Tc207494157" 题型四：抽象函数“对数函数模型” PAGEREF _Tc207494157 \h 11
\l "_Tc207494158" 题型五：抽象函数“幂函数模型” PAGEREF _Tc207494158 \h 14
\l "_Tc207494159" 题型六：抽象函数“二次函数模型” PAGEREF _Tc207494159 \h 16
\l "_Tc207494160" 题型七：抽象函数的奇偶性与对称性 PAGEREF _Tc207494160 \h 19
\l "_Tc207494161" 重难专题分层过关练 PAGEREF _Tc207494161 \h 23
\l "_Tc207494162" 巩固过关 PAGEREF _Tc207494162 \h 23
\l "_Tc207494163" 创新提升 PAGEREF _Tc207494163 \h 32
1、一次函数模型
模型1：若，则；
模型2：若，则为奇函数；
模型3：若则；
模型4：若则；
2、指数型模型
模型1：若，则；
单调性判断：先得出，再比较和1（即）的大小关系
模型2：若，则；
模型3：若，则；
模型4：若，则；
3、对数型模型
模型1：若，则
模型2：若，则
单调性判断：由，则有
记， ，再结合题目给的在或上的正负.
模型3：若，则
模型4：若，则
模型5：若，则
4、幂函数型模型
模型1：若，则
奇偶性性判断：令
单调性判断：
模型2：若，则
代入则可化简为幂函数；
5、二次函数模型
模型：若
则此结论过于复杂，只做了解无需记忆，大概知道是二次函数，有个做题方向，实际做题还是赋值法处理；
题型一：抽象函数的赋值求值
典例1-1．设函数的定义域为，若，则 ．
【答案】
【详解】令，则，即，可得；
令，则，即，可得；
令，可得.
故答案为：.
典例1-2．函数的定义域为，若，则（ ）
A．－2B．－4C．2D．4
【答案】C
【详解】方法一：利用赋值法，
令，则，所以．
令，，则，所以．
令，则．
令，则．
所以，
若恒成立，则与题设条件矛盾，所以不恒为0，
所以，所以，
所以，所以4为的一个周期，
所以．令，得，
又，所以，，所以，
故选：C．
方法二：举满足条件的特例函数，即令，
检验得，且，符合题意，
所以，
故选：C．
变式1-1．已知函数的定义域为，且，，则 ．
【答案】2
【详解】由，取可得，又，所以．
故答案为：
变式1-2．已知定义在上的函数满足对任意的正数，，都有，若，则（ ）
A．12B．6C．D．
【答案】D
【详解】∵对任意的正数，，都有，
∴令可得，解得；
令，可得，∴.
∴，即.
令，可得，∴.
故选：D.
题型二：抽象函数“一次函数模型”
典例2-1．已知定义在上的函数，满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】令，则，解得，
令，则，解得，
令，则，解得，
令，则，解得，
，
依次类推可得。
故选：C
典例2-2．已知定义在上的函数，满足，而且当时，有．
（1）求证：在上是增函数；
（2）判断与的大小，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析，（2），理由见解析
【解析】（1）运用已给条件构造出,代入题中的函数法则中进行化简,结合增函数的定义进行判定.
（2）结合条件中的函数法则,对与进行化简,结合函数的单调性进行证明其大小关系.
【详解】（1）任取且,则,有,
由已知得,
所以即,
故在上是增函数；
（2）当且仅当取等号
理由如下:又当且仅当取等号,即,又函数在上是增函数,
所以
即
因此当且仅当取等号．
【点睛】本题考查了抽象函数单调性的证明和不等关系的判定,在证明抽象函数的单调性时的方法时需要构造的数量关系是,然后灵活运用题目的法则进行求解证明是关键,在证明过程中题目中的每一句都要进行灵活运用,类似单调性定义证法作差,化简,定号.本题有难度,需要在平常学习过程中多积累,多思考,多运用方法解题.
变式2-1．定义在非零实数集上的函数对任意非零实数满足:,且当时.
(1)求及的值；
(2)求证:是偶函数；
(3)解不等式：.
【答案】（1）f(-1)=0，f(1)=0；（2）见解析；（3）
【详解】(1)在中,令,可得,解得.
令,可得:,解得:.
(2) 中,令,可得,
所以函数 是偶函数.
(3)当时, ,由题意得:
,
所以在上是增函数,
又由(2)知是偶函数,
所以 等价于,等价于,
又在上是增函数,所以,且,
解得:且,
所以不等式的解集为
【点睛】本题考查了抽象函数的奇偶性和单调性的证明,利用奇偶性和单调性解不等式.属难题.
变式2-2．已知函数满足，当时，，则（ ）
A．为奇函数B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】C
【详解】令，，，所以；
令，，则．
令，得，故为偶函数．A错误，
任取，，，则，
则，故在上为减函数．
由已知，可得，故，解得，且．B错误，
若，则，C正确，
若，则，，
，所以，故D错误，
故选：C．
题型三：抽象函数“指数函数模型”
典例3-1．（多选）已知函数的定义域为R，且，若，则下列说法正确的是（ ）
A．B．有最大值
C．D．函数是奇函数
【答案】ACD
【详解】对于A中，令，可得，令，
则，解得，所以A正确；
对于B中，令，且，则，
可得，
若时，时，，此时函数为单调递增函数；
若时，时，，此时函数为单调递减函数，
所以函数不一定有最大值，所以B错误；
对于C中，令，可得，
即，
所以
，所以C正确；
对于D中，令，可得，可得，
即，所以函数是奇函数，所以D正确；
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题主要是对抽象函数利用赋值法可求解出，函数是奇函数.
典例3-2．已知定义在上的函数满足：①对任意的，都有；②当且仅当时，成立．
(1)求；
(2)判断并证明的单调性；
(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)单调递增，证明见解析
(3)
【详解】（1）令，则，
解得；
（2）函数在上单调递增，
证明：任取，
则，
所以，
因为，
所以，则，
所以，即，
所以函数在上单调递增；
（3）由（2）函数在上单调递增，
所以不等式恒成立，即恒成立，，
当恒成立时，，又，所以，
当恒成立时，，
令，则，且，
所以，
当时，，
所以，
综合得
变式3-1．已知函数对任意实数，恒有，且当时，，又．
(1)判断的奇偶性及单调性并证明你的结论；
(2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)函数为奇函数，在上单调递减，证明见解析.
(2)
【详解】（1）解：函数为奇函数，在上单调递减，证明如下：
因为函数对任意实数，恒有，
所以，令得，解得，
令得，即，
所以，函数为奇函数，
因为当时，，
故设且，则，
所以，，即，
所以，在上单调递减.
（2）解：因为，
所以，，
因为，
因为等价于，，
所以，对任意，恒成立，
因为由（1）得在上单调递减，
所以，在上恒成立，
所以，当时，显然在上不恒成立，不满足题意；
当时，要使其成立，则，解得，
综上，的取值范围是
变式3-2．已知函数定义域为，且函数同时满足下列个条件：①对任意的实数，恒成立；②当时，；③.
(1)求及的值；
(2)求证：函数既是上的奇函数，同时又是上的增函数；
(3)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)，；
(2)证明见解析；
(3).
【详解】（1）解：因为对任意的实数、，恒成立，
所以在上式中令得，即，
又在上式中令，得.
又，.
（2）证明：在等式中令得.
即，且定义域为，则函数为奇函数.
又由已知可得：当时，，
任取、，并且，则，即，
所以，即，
则函数在区间上为增函数.
（3）解：因为对任意的实数、，恒成立，
令，则，即，
又因为，所以，
又由（2）知函数为上的奇函数，则，
即，
又因为，所以，
又由（1）知，即，
则，也即，
又由（2）知函数为上的增函数，
所以，即，解得或，
故所求实数的取值范围为.
题型四：抽象函数“对数函数模型”
典例4-1．下列函数中，满足“”的单调递增函数是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意满足以及函数为增函数即可求解.
【详解】对于A，由，，
，即，故A不正确；
对于B，由，，，
所以，且为增函数，故B正确；
对于C，由，，，
所以，故C不正确；
对于D，由，函数为减函数，故D不正确；
故选：B
【点睛】本题主要考查函数的性质以及指数的运算性质，属于基础题.
典例4-2． 已知：定义在R上的函数，对于任意实数a, b都满足，且，当．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）证明在上是增函数；
（Ⅲ）求不等式的解集.
【答案】（Ⅰ）1（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）
【详解】试题分析：（1）利用赋值法求的值；（2）利用函数单调性的定义与赋值法进行证明；（3）先将
化为，即不等式化为，再利用函数的单调性进行求解．
解题思路:处理抽象函数问题时，往往是利用赋值法（合理赋值）进行处理，在证明函数的单调性或奇偶性时，要用定义进行证明；求解抽象不等式时，要利用函数的单调性．
试题解析：（Ⅰ）解：令
（Ⅱ）证明：当
由 得
设
（Ⅲ）解：
由（Ⅱ）可得： 解得
所以原不等式的解集是．
考点：1．抽象不等式；2．函数的单调性；3．解抽象不等式．
变式4-1．如果且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】，，
，，，
，，，
，
故选：C．
变式4-2．（多选）已知定义在上的函数同时满足：①偶函数；②当时，；③当，时，，则（ ）
A．
B．
C．在上单调递增
D．不等式的解集为
【答案】AC
【详解】A：由当，时，，可令，
可得，又由条件②当时，，即，
所以，故A正确；
B：由条件①偶函数，所以，
由条件③，令可得，
又由条件②当时，，即，所以，故B错误；
C：取，且，
则，
因为，所以，，
所以，所以，即，
所以在上单调递增，故C正确；
D：因为，
所以不等式等价于，
又在上单调递增，且由条件①得为偶函数，
所以，即解集为，故D错误；
故选：AC.
题型五：抽象函数“幂函数模型”
典例5-1．已知定义在上的函数，满足，对于任意正实数、都有，当时，，且.
(1)求证：；
(2)证明：在上为减函数；
(3)若，求实数的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）证明：在等式中，令，，可得，
所以，，
对任意的，在等式中，令，可得.
（2）证明：由题意可知，当时，，且对任意的，，
任取、且，则，
所以，，所以，，
所以，函数在上为减函数.
（3）解：因为，则，
因为函数在上为减函数，则，解得.
变式5-1．若函数对任意实数x，y都有，则称其为“保积函数”．
(1)若“保积函数”满足，判断其奇偶性并证明；
(2)对于（1）中的“保积函数”，若时，，且，试求不等式的解集．
【答案】(1)函数是偶函数，证明见解析
(2)[－9，9]
【详解】（1）解;函数是偶函数，证明如下：
令，则对任意实数x都成立，
所以是偶函数．
（2）解：，
因为，所以．
设任意的，则，所以，
所以，所以在上单调递增，
所以不等式等价于．
又是R上的偶函数，所以，解得，
所以不等式的解集为[－9，9]．
变式5-2．已知对任意实数都有，且，当时，，若且，的取值范围 .
【答案】
【详解】令，则，
，为偶函数.
设，，
因为时，，所以，
所以，故在上是增函数.
因为，又，
所以，
因为，所以，即，又，故.
故答案为：.
题型六：抽象函数“二次函数模型”
典例6-1．已知函数的定义域为，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．方程有解
C．是偶函数D．是偶函数
【答案】C
【详解】对于A，因为函数的定义域为，且满足，
取，得，则，
取，得，则，故错误；
对于B，取，得，则，
所以，
以上各式相加得，
所以，
令，得，此方程无解，故B错误.
对于CD，由知，
所以是偶函数，
不是偶函数，故C正确，错误.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用赋值法得到，再利用等差数列数列的求和公式得到，从而得解.
典例6-2．（多选）已知函数对任意恒有，且，则（ ）
A．B．可能是偶函数
C．D．可能是奇函数
【答案】AB
【详解】对于选项A，令，得，则，所以选项A正确；
令，得，则，
对于选项B，若是偶函数，则，所以选项B正确；
对于选项D，若是奇函数，则，所以不可能是奇函数，所以选项D错误；
对于选项C，令，得，所以选项C错误；
故选：AB.
变式6-1．已知函数对一切都有成立.
（1）求的值；
（2）求的解析式；
（3）已知，设：当时，不等式恒成立，：当时，不是单调函数，求满足为真命题且为假命题的的取值范围.
【答案】（1）1；（2）；（3）.
【详解】（1）由，
取得.
（2）取，得，①
将换成，有②
①×2＋②得，
故的解析式为.
（3）（i）若为真命题，有当时，不等式恒成立，
即恒成立，记，
有对称轴，，所以.
（ii）若为真命题，，对称轴：，
由于当时，不是单调函数，所以，
即.
综上，满足为真命题且为假命题的满足，解得，
故满足为真命题且为假命题的的取值范围为.
【点睛】方法点睛：求不等式恒成立问题的方法
（1）分离参数法
若不等式（是实参数）恒成立，将转化为或恒成立，进而转化为或，求的最值即可.
（2）数形结合法
结合函数图象将问题转化为函数图象的对称轴、区间端点的函数值或函数图象的位置关系（相对于轴）求解.此外，若涉及的不等式转化为一元二次不等式，可结合相应一元二次方程根的分布解决问题.
（3）主参换位法
把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解，一般情况下条件给出谁的范围，就看成关于谁的函数，利用函数的单调性求解.
变式6-2．已知定义域为的函数满足对任意，都有.
（1）求证：是奇函数；
（2）设，且时，，
①求证：在上是减函数；
②求不等式的解集.
【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；②.
【详解】（1）取，得，
取，得，
取，，得，
所以是奇函数.
（2）①由及，
可得是偶函数且，
设，则，
由时，得，
所以，
所以在上是减函数.
②由是偶函数且在上是减函数，
可得
或或，
所以不等式的解集为.
【点睛】本题主要考查抽象函数的奇偶性，单调性及其应用，还考查了转化论证运算求解的能力，属于中档题.
题型七：抽象函数的奇偶性与对称性
典例7-1．（多选）已知函数的定义域为，，，则（ ）
A．B．的图象关于点对称
C．的图象关于直线对称D．
【答案】ABD
【详解】对于A，令，则，
因为，所以，解得，故A正确；
对于B，令，则，得，
由A可知，所以，即，
所以的图象关于点对称，故B正确；
对于C，令，则，即.
假设的图象关于直线对称，则有，与矛盾，
所以假设不成立，的图象不关于直线对称，故C错误；
对于D，由于且，则有，即，
所以，故D正确.
故选：ABD.
典例7-2．（多选）已知定义在上的连续函数满足，，，当时，恒成立，则下列说法正确的是（ ）
A．B．是偶函数
C．D．的图象关于对称
【答案】BCD
【详解】因为，，
令可得，解得或，
又当时，恒成立，所以，故A错误；
令，，则，即，
所以为偶函数，故B正确；
令，，则，所以，
令，，则，所以，故C正确；
令可得，
令，可得，又，
所以，即，
所以，
所以的图象关于对称，故D正确.
故选：BCD
变式7-1．（多选）若函数的定义域为，且，，则（ ）
A．B．为偶函数
C．的图象关于点对称D．
【答案】BCD
【详解】对于A，令，则，
因为，所以，则，
故A错误；
对于B，令，则，
则，故B正确；
对于C，令得，，
所以，
令得，，
则的图象关于点对称，故C正确；
对于D，由得，
又，所以，
则，，
所以，则函数的周期为，
又，，
则，
，
则，
所以，
故D正确，
故选：BCD.
变式7-2．（多选）已知函数的定义域为，，，都有，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．，都有
C．关于点对称
D．若，则
【答案】BCD
【详解】A：在等式中，令，则有
，或，所以本选项不正确；
B： 由上可知：，或，
当时，在等式中，令，
则有，
当时，在等式中，令，
，即，
综上所述：，都有，所以本选项正确；
C：在等式中，令，
得，即，所以关于点对称，因此本选项正确；
D：因为，
所以，而，
所以，
因此，所以函数的周期为，
在等式中，令，
则有，
因为，所以，因此，即，
，，于是，
在等式中，令，
则，
，
，
，
所以有当为正奇数时，，
于是有
因此本选项正确，
故选：BCD.
【点睛】关键点睛：利用函数的周期性是解题的关键.
巩固过关
1．已知函数的定义域为，，且，，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题，，设，，
则，，，，，
所以函数的周期为6，
故，，，．
由，则，即，
由，则，即，
所以，可得无法确定．
所以，无法判断．
综上所述，．
故选：B.
2．已知定义在上的函数满足，且当时，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】由题意，，.
赋值，得；
赋值，得，即，
当时，，
当时，则，所以，即；
赋值，得，解得，
即；
AC项，由，，
得，
其中由，可知，
当时，，即；
当时，，即；故AC错误；
BD项，，得；
又，所以，
则，
故，且不恒为，故B错误，D正确.
故选：D.
3．已知函数的定义域为，且，则（ ）
A．－3B．－2C．0D．1
【答案】B
【详解】因为，令可得，，所以，
令可得，，即，所以函数为偶函数，
令得，，则有，
从而可得，，故，
即，所以函数的一个周期为6．
因为，
，，
所以．
因为2025除以6余3，所以．
故选：B．
4．已知函数的定义域为，且，若，则（ ）
A．B．C．为增函数D．为奇函数
【答案】C
【详解】对于A，令，则，
又因为，所以，
令，则，解得，故A错误；
对于B，令，则，又，
解得，故B错误；
对于C，令，则有，
又因为，所以，
所以函数为单调递增函数，故C正确；
对于D，由C可知，为非奇非偶函数，故D错误.
故选：C.
5．（多选）已知函数的定义域为，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．函数是偶函数
C．函数是周期为4的周期函数D．
【答案】ABD
【详解】对于A，由，令，可得，
因为，所以，故A正确；
对于B，令，可得，即，所以为偶函数，故B正确；
对于C，令，得，
，从而得，即，
所以，所以是周期为6的周期函数，故C错误；
对于D，令，得，
用代替，得，
，由可得，
，故D正确.
故选：ABD.
6．（多选）已知定义在R上的单调函数，满足，，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．可能是单调递减函数
C．为奇函数D．若，则
【答案】ACD
【详解】因为定义在R上的单调函数，则，.
对于A，令，则或，
若，则对，取，都有，不满足单调函数性质，
故，故A正确；
对于B，令，则或（舍），则，
因，结合为定义在R上的单调函数，则只能是单调递增函数；
对于C，令，则（舍），
则，取，取，
则，又定义为R，则为奇函数，故C正确；
对于D，令，则，令，
则，
则，故D正确.
故选：ACD
7．（多选）已知函数的定义域为，，则（ ）
A．B．
C．为减函数D．为奇函数
【答案】ABD
【详解】因为，，
令，可得，则，
令，可得，则.
对于A选项：令，可得，所以A正确；
对于B选项：令可得，所以B正确；
对于C选项：因为、，所以不可能为上减函数，故C错误；
对于D选项：函数的定义域为，定义域关于原点对称，
令，可得，
所以，所以为奇函数，所以D正确.
故选：ABD.
8．（多选）定义在上的函数满足，当时，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．是奇函数
C．在上单调递减
D．不等式的解集为
【答案】BCD
【详解】因为，
取可得，
所以，A错误；
函数的定义域为，定义域关于原点对称，
由，
用替换可得，，
所以，即，
所以函数为奇函数，B正确；
任取，，
则，
又当时，，且，
所以，故，
所以函数在上单调递减，C正确；
因为，
所以不等式可化为，
所以，又函数在上单调递减，
所以，
所以，所以不等式的解集为，D正确.
故选：BCD.
9．（多选）已知函数的定义域是，对任意的实数、满足，且，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．函数为上的增函数D．函数为奇函数
【答案】ACD
【详解】对于A选项，对任意的实数、满足，
令可得，解得，A对；
对于B选项，令，可得，
即，解得，
再令可得，B错；
对于D选项，令，
由可得，
即，且，
令，则，即，
所以，函数为奇函数，D对；
对于C选项，由题意可知，当时，，
当时，，即时，，
故当时，，
任取、且，
则，
即函数在上为增函数，C对.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法：
（1）取值：设、是所给区间上的任意两个值，且；
（2）作差变形：即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；
（3）定号：确定差的符号；
（4）下结论：判断，根据定义得出结论.
即取值作差变形定号下结论.
10．设函数是增函数，对于任意x，都有．
(1)写一个满足条件的并证明；
(2)证明是奇函数；
(3)解不等式．
【答案】(1)，证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）解：因为函数是增函数，对于任意x，都有，这样的函数很多，其中一种为：．
证明如下：函数满足是增函数，
因为，
所以满足题意．
（2）证明：令，则由，得，即；
令，则由，得，
即，故是奇函数．
（3）因为，所以，
则，即，
因为，所以，
所以，
又因为函数是增函数，所以，所以或．
所以不等式的解集为.
11．函数的定义域为D，满足对任意的，都有.
（1）若，试判断的奇偶性并证明你的结论；
（2）若，且在定义域D上是单调函数，满足，解不等式.
【答案】（1）偶函数,证明见解析 （2）
【详解】（1）令,则,故
令,则,故
令,则即,
所以为偶函数
（2）令,则
故
由,又,且在定义域D上是单调函数
所以在定义域D上是单调增函数
带入可得
根据条件变形为
可得
解得
即不等式的解集为
【点睛】本题考查了抽象函数奇偶性的证明,利用赋值法求函数值,根据函数的定义域及单调性解不等式,综合性强,属于中档题.
12．已知函数定义在上，对任意，都有，且存在正数满足，求证：
(1)是偶函数；
(2)是的周期；
(3)当在上是减函数时，的最小正周期是．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）令得，
由得，又，
得，所以是偶函数．
（2）由，得，即，
故，，
所以是的周期．
（3）设是的最小正周期，若，则，
又在上单调递减，，故．
在中取，得，
则，又，则．
但，矛盾，所以的最小正周期不小于，
又是的正周期，故是的最小正周期．
13．已知函数对任意实数x，y，均有，，且存在非零常数c，使.
(1)求的值；
(2)判断的奇偶性并证明；
(3)求证是周期函数，并求出的一个周期.
【答案】(1)1
(2)偶函数，证明见解析
(3)证明见解析，
【详解】（1）∵任意均有，
令，则.∵，∴.
（2）由题意知定义域为，关于原点对称
令，∴，∴，∴为偶函数.
（3）∵，又，
∴，即，
∴，
∴的周期为.
创新提升
1．（多选）已知定义在上的函数满足，且当时，，则有（ ）
A．是奇函数
B．
C．
D．
【答案】ACD
【详解】∵定义在上的函数满足，
∴令得，即；
令得．∴是奇函数，故选项A正确；
，故选项B错误；
同理，.
当时，，，.
∵当时，，，
∴函数在上单调递增.
∵，，即，故选项C正确；
，
，
∵，，，
故选项D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于利用赋值法推导出函数的奇偶性与单调性，综合利用函数的单调性与奇偶性即可求解.
2．已知定义在R上的函数满足：对任意实数m，n均有，若，且时，，则关于x的不等式的解集为 .
【答案】
【详解】因为，
所以对任意实数x，，则，
假设存在使得，
则对任意实数x有，
此时为常数函数，与矛盾，故不存在使得，
所以即恒成立.
令，则，
因为，所以即.
又由可得，
任取，则，所以由题意，
所以
，
所以，所以为R上的增函数，
因为，所以，
所以，
所以等价于，
令，则有即，
所以，解得或，即或，
又为R上的增函数，，，
所以或.
所以关于x的不等式的解集为.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键点1是由已知条件证明得即恒成立关键点2是通过赋值法求出，，以及利用单调性定义证明函数为R上的增函数，从而将原题设中的不等式变形为求得或，进而再利用单调性即可得解.
3．（多选）若函数满足：对任意，恒有，则称函数为“类余弦型”函数.已知函数为“类余弦型”，若，且对任意非零实数，.则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．函数为偶函数
D．若有理数，满足，则
【答案】ACD
【详解】对于选项A，令，得到，
又因为对任意非零实数，，所以，故选项A正确，
对于选项B，令，得，由选项A知，
又，，得到，所以选项B错误，
对于选项C，令，得到，又，得到，所以C正确，
对于选项D，因为时，，则，所以，
令，即对任意的正整数有，
则，
所以，对于任意正整数，成立，
对任意的、且，则有成立，
、为有理数，所以可设，，其中、为非负整数，、为正整数，则，，
令，，，则、为正整数，
，，所以，，即，
由选项C知，函数为偶函数，，，，故选项D正确，
故选：ACD.
4．（多选）已知定义域为的函数满足，且，，则（ ）
A．B．为偶函数
C．D．
【答案】BCD
【详解】令，，则，所以，
令，，则，所以，
令，，则，所以，故A错误；
令，则，
所以，则，
令，则，所以，所以，
所以为偶函数，故B正确；
令，则，
所以，则，
所以，故C正确；
由，得，所以4为的一个周期，
由，得，，
所以，
所以，D正确.
故选：BCD.
【点睛】难点点睛：本题难点在于合理赋值，利用对称性求得周期，然后即可求解.