2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用第01讲集合(高效培优讲义)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用第01讲集合(高效培优讲义)(学生版+解析)，共62页。试卷主要包含了集合的含义与表示"，集合间的基本关系"，集合的基本运算"，venn图"，集合新定义6等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc206167438" 考情探究 PAGEREF _Tc206167438 \h 2
\l "__x0001__1" 知识梳理3
\l "_Tc206167440" 探究核心考点4
\l "_考点一 集合的含义与表示" 考点一 集合的含义与表示 PAGEREF _Tc206167441 \h 4
\l "_考点二 集合间的基本关系" 考点二 集合间的基本关系4
\l "_考点三 集合的基本运算" 考点三 集合的基本运算5
\l "_考点四 venn图" 考点四 venn图5
\l "__x0001__3" 考点五 集合新定义6
\l "_Tc206167447" 三阶突破训练7
\l "__x0001__3" 基础过关7
\l "__x0001__4" 能力提升8
\l "__x0001__5" 真题感知 PAGEREF _Tc206167450 \h 10
一、5年真题考点分布
二、命题规律及备考策略
【命题规律】集合是高考数学的必考考点，常见以一元一次、一元二次不等式的形式，结合有限集、无限集来考查集合的交、并、补集等运算，偶尔涉及集合的符号辨识，一般出现在高考的第1题，以简单题为
【备考策略】1.理解、掌握集合的表示方法，能够判断元素与集合、集合与集合的关系
2.能掌握集合交集、并集、补集的运算和性质
3.具备数形结合的思想意识，会借助Venn图、数轴等工具解决集合的计算问题
4.会解一元二次不等式、一元二次方程、简单的分式不等式、简单的根号不等式，简单的指对不等式，简单的高次不等式和简单的单绝对值不等式
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般给两个集合，要求通过解不等式求出一个集合，然后通过集合的运算得出答案。
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特征： 、 、 ．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法： 、 、 ．
(4)常见数集的记法
2．集合的基本关系
(1)子集：若对于任意的x∈A都有x∈B，则A⊆B；
(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A⫋B；
(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B；
(4)∅是任何集合的 ，是任何非空集合的 ．
3．集合的基本运算
考点一 集合的含义与表示
典例1．已知集合，且，则实数的值为（ ）
A．B．0C．3D．或3
典例2．若集合中只有一个元素，则 .
跟踪训练1．（2025·江苏·模拟预测）已知集合满足，若，则必有（ ）
A．B．C．D．
跟踪训练2．已知正六棱柱的底面为边长为2，高为3，则集合中元素的个数为（ ）
A．1B．2C．4D．8
考点二 集合间的基本关系
典例1．设集合，则的真子集的个数是（ ）
A．8B．7C．4D．3
典例2．（多选）已知集合，则（ ）
A．满足的数列的所有项构成的集合是集合A的子集
B．满足的数列的所有项构成的集合是集合A的子集
C．若m，，则
D．若m，，则
跟踪训练1．设集合，则集合的非空真子集的个数为（ ）
A．B．C．D．
跟踪训练2．（2025·河南·三模）(多选)已知全集，集合，，，若，则（ ）
A．的取值有个B．
C．D．所有子集的个数为
考点三 集合的基本运算
典例1．已知集合，若，则（ ）
A．B．C．D．
典例2．已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
典例3．（2025·陕西咸阳·三模）设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
跟踪训练1．设集合，.若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
跟踪训练2．已知非空集合A，B，，若，则实数的取值范围为 .
考点四 venn图
典例1．已知集合，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．B．
C．D．
典例2．某寺院有甲、乙、丙三口铜钟．甲钟每4秒敲响一声，乙钟每5秒敲响一声，丙钟每6秒敲响一声．新年到来时，三口钟同时敲响并且同时停敲，某人共听到365声钟响．若在此期间，甲、乙、丙三口钟敲响的次数分别，则（ ）
A．365B．256C．484D．516
典例3．（2025·广东佛山·二模）图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）

A．B．
C．D．
跟踪训练1．（2025·广东佛山·模拟预测）已知全集，集合，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
跟踪训练2．（多选）若表示集合和关系的图如图所示，则可能是（ ）
A．
B．
C．，
D．
跟踪训练3．一个学校只有三门课程：数学、语文、外语，已知修这三门课的学生分别有172，132，130人；同时修数学、语文两门课的学生有48人，同时修数学、外语两门课的学生有30人，同时修语文、外语两门课的学生有21人；三门课全修的学生有5人.问：
(1)该校共有多少学生？
(2)只修一门课的学生有多少？
(3)正好修两门课的学生有多少？
考点五 集合新定义
典例1．设，是两个非空集合，定义与的差集，则等于（ ）
A．PB．C．D．M
典例2．规定集合为集合的第个子集，其中，若，则的值是（ ）
A．20B．21C．22D．23
跟踪训练1．设是集合的两个子集，若规定满足的集合称为的理想配对，则满足条件的理想配对有（ ）.
A．8种B．9种C．27种D．16种
跟踪训练2．将集合分拆成两个集合和，且，，这样的分拆方法共有 种．
跟踪训练3．给定整数，设，，…，是互不相等的非负实数，记集合，，求的最小值，其中表示集合X中元素的个数．
1．已知集合，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．B．
C．D．
2．集合的子集个数为（ ）
A．15B．16C．31D．32
3．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·广东佛山·模拟预测）已知全集，集合，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
5．（2025·广东佛山·二模）图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）

A．B．
C．D．
6．（2025·甘肃白银·二模）已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．B．
C．D．
7．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知集合的最大元素等于该集合的所有元素之和，则实数（ ）
A．B．C．D．
8．（2025·云南玉溪·模拟预测）如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.若集合，集合，则集合（ ）
A．
B．
C．或
D．或
9．设集合，则（ ）
A．B．C．D．
1．已知集合，，则满足的集合的个数为（ ）
A．4B．7C．8D．15
2．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3.已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
4.已知集合 ，集合，则（ ）
A．B．C．D．
5.某寺院有甲、乙、丙三口铜钟．甲钟每4秒敲响一声，乙钟每5秒敲响一声，丙钟每6秒敲响一声．新年到来时，三口钟同时敲响并且同时停敲，某人共听到365声钟响．若在此期间，甲、乙、丙三口钟敲响的次数分别，则（ ）
A．365B．256C．484D．516
6.已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
7．（多选）已知全集，，，，，则下列选项正确的为（ ）
A．B．的不同子集的个数为4
C．D．
8．（多选）非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．称A为一个“封闭集”，以下说法正确的是（ ）
A．若A为一个“封闭集”，则
B．若A为一个“封闭集”，且，则
C．若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或
D．若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或
9.设集合，，，，，中，至少有两个元素，且，满足：①对于任意，，若，都有；②对于任意，，若，则．若有4个元素，则有 个元素．
10.一个学校只有三门课程：数学、语文、外语，已知修这三门课的学生分别有172，132，130人；同时修数学、语文两门课的学生有48人，同时修数学、外语两门课的学生有30人，同时修语文、外语两门课的学生有21人；三门课全修的学生有5人.问：
(1)该校共有多少学生？
(2)只修一门课的学生有多少？
(3)正好修两门课的学生有多少？
1．（2025·全国二卷·高考真题）已知集合则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2025·北京·高考真题）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·天津·高考真题）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·全国一卷·高考真题）已知集合，，则中元素个数为（ ）
A．0B．3C．5D．8
5．（2024·北京·高考真题）已知是平面直角坐标系中的点集.设是中两点间距离的最大值，是表示的图形的面积，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
6．（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
7．（2024·全国甲卷·高考真题）若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·全国甲卷·高考真题）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
9．（2025·上海·高考真题）已知全集，集合，则 ．
10．（2024·上海·高考真题）设全集，集合，则 ．
5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2025年北京卷，第一题，5分
集合的交集
无
2025年，全国I卷，5分
集合的补集
无
2024年新I卷，第1题,5分
集合的交集
一元三次不等式的解法及范围估算
2023年新I卷，第1题,5分
集合的交集
一元二次不等式的解法
2023年新Ⅱ卷，第2题,5分
元素的性质、集合的子集
无
2022年新I卷，第1题,5分
集合的交集
根号不等式的解法
2022年新Ⅱ卷，第1题,5分
集合的交集
单绝对值不等式的解法
2021年新I卷，第1题,5分
集合的交集
无
2021年新Ⅱ卷，第2题,5分
集合的交集、补集
无
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
表示
运算
文字语言
集合语言
图形语言
记法
交集
属于A且属于B的所有元素组成的集合
{x|x∈A，且x∈B}

并集
属于A或属于B的元素组成的集合
{x|x∈A，或x∈B}

补集
全集U中不属于A的元素组成的集合称为集合A相对于集合U的补集
{x|x∈U，x∉A}

第01讲 集合
目录
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc206167438" 考情探究 PAGEREF _Tc206167438 \h 2
\l "__x0001__1" 知识梳理3
\l "_Tc206167440" 探究核心考点4
\l "_考点一 集合的含义与表示" 考点一 集合的含义与表示 PAGEREF _Tc206167441 \h 4
\l "_考点二 集合间的基本关系" 考点二 集合间的基本关系 PAGEREF _Tc206167442 \h 5
\l "_考点三 集合的基本运算" 考点三 集合的基本运算7
\l "_考点四 venn图" 考点四 venn图 PAGEREF _Tc206167444 \h 9
\l "__x0001__3" 考点五 集合新定义12
\l "_Tc206167447" 三阶突破训练 PAGEREF _Tc206167447 \h 14
\l "__x0001__3" 基础过关 PAGEREF _Tc206167448 \h 14
\l "__x0001__4" 能力提升 PAGEREF _Tc206167449 \h 17
\l "__x0001__5" 真题感知23
一、5年真题考点分布
二、命题规律及备考策略
【命题规律】集合是高考数学的必考考点，常见以一元一次、一元二次不等式的形式，结合有限集、无限集来考查集合的交、并、补集等运算，偶尔涉及集合的符号辨识，一般出现在高考的第1题，以简单题为
【备考策略】1.理解、掌握集合的表示方法，能够判断元素与集合、集合与集合的关系
2.能掌握集合交集、并集、补集的运算和性质
3.具备数形结合的思想意识，会借助Venn图、数轴等工具解决集合的计算问题
4.会解一元二次不等式、一元二次方程、简单的分式不等式、简单的根号不等式，简单的指对不等式，简单的高次不等式和简单的单绝对值不等式
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般给两个集合，要求通过解不等式求出一个集合，然后通过集合的运算得出答案。
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
2．集合的基本关系
(1)子集：若对于任意的x∈A都有x∈B，则A⊆B；
(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A⫋B；
(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B；
(4)∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．集合的基本运算
考点一 集合的含义与表示
典例1．已知集合，且，则实数的值为（ ）
A．B．0C．3D．或3
【答案】C
【分析】由或求得并代入集合检验．
【详解】因为，所以分为以下两种情况讨论．
①或，当时，集合，满足题意；当时，集合，不满足集合的互异性，故舍去．
②，此时集合，不满足集合的互异性，故舍去．综上所述，．
故选：C．
典例2．若集合中只有一个元素，则 .
【答案】0或1
【分析】分和时分别讨论计算求解即可.
【详解】因集合中只有一个元素，
则当时，方程为，解得，即集合，则，
当时，由，解得，集合，则，
所以或.
故答案为：0或1
跟踪训练1．（2025·江苏·模拟预测）已知集合满足，若，则必有（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据交集和并集结果分析即可得解.
【详解】因为，所以必有，且，
又，则和4均仅是集合A中元素或仅是集合B中元素.
若，则必有.
故选：C
跟踪训练2．已知正六棱柱的底面为边长为2，高为3，则集合中元素的个数为（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】A
【分析】根据空间向量数量积公式及运算律计算求解.
【详解】因为正六棱柱的底面为边长为2，高为3，平面，所以，
则.
故选：A.
考点二 集合间的基本关系
典例1．设集合，则的真子集的个数是（ ）
A．8B．7C．4D．3
【答案】D
【分析】写出集合，计算真子集个数.
【详解】，因为集合中有个元素，所以真子集个数为.
故选：D.
典例2．（多选）已知集合，则（ ）
A．满足的数列的所有项构成的集合是集合A的子集
B．满足的数列的所有项构成的集合是集合A的子集
C．若m，，则
D．若m，，则
【答案】AC
【分析】对于A由即可判断，对于B由于即可判断，对于C存在，，，使得，，计算是否满足集合即可判断，对于D验证是否满足集合即可判断.
【详解】对于A：因为对任意的，均有，显然，，故的所有项构成的集合是A的子集，故A正确；
对于B：数列的首项，，a，，故B错误；
对于C：若m，，则存在，，，使得，，则，故，故C正确；
对于D：由C项知，
但不一定是整数，故不一定有，故D错误．
故选：AC.
跟踪训练1．设集合，则集合的非空真子集的个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】结合不等式及幂函数的性质求出集合，进而结合非空真子集的结论求解即可.
【详解】由，，则，即，，
由，，，，则，
所以，共有个元素，
所以集合的非空真子集的个数为.
故选：B.
跟踪训练2．（2025·河南·三模）(多选)已知全集，集合，，，若，则（ ）
A．的取值有个B．
C．D．所有子集的个数为
【答案】BCD
【分析】利用集合的包含关系结合集合元素的互异性可求出的值，可判断A选项；利用交集的定义可判断B选项；利用并集的定义可判断C选项；利用集合的运算结合子集个数公式可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为，，且，
则或，且，，解得，故的取值只有个，故A错误；
对于B选项，，，所以，故B正确；
对于C选项，，，故C正确；
对于D选项，，
所以，，则，
其的子集的个数为，故D正确．
故选：BCD.
考点三 集合的基本运算
典例1．已知集合，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题可得1是方程的根，据此可得答案.
【详解】因为，,
所以1是方程的根，3不一定是方程的根，
则，解得，
故，符合题意，
故．
故选：B．
典例2．已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据分式不等式求解方法求出，利用指数函数的性质求出，再根据集合间的交集和补集计算即可.
【详解】由题意，即，解得，
可得，所以，
故，
故选：D.
典例3．（2025·陕西咸阳·三模）设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据已知写出集合，再由集合的交运算求集合.
【详解】由题设，则.
故选：D
跟踪训练1．设集合，.若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先解对数不等式和分式不等式得到集合和，再分、和对含参一元二次不等式的解集进行讨论可得结果.
【详解】，
．
当时，，由得；
当时，，由得；
当时，，与不符．
综上，.
故选：D．
跟踪训练2．已知非空集合A，B，，若，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】解不等式得到，根据交集结果得到答案.
【详解】由题意可知，
因为，则，所以实数的取值范围为.
故答案为：
考点四 venn图
典例1．已知集合，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】解一元二次不等式求集合，再应用集合的交补运算求阴影部分集合.
【详解】由题得，，则或，
所以图中阴影部分表示的集合为.
故选：A
典例2．某寺院有甲、乙、丙三口铜钟．甲钟每4秒敲响一声，乙钟每5秒敲响一声，丙钟每6秒敲响一声．新年到来时，三口钟同时敲响并且同时停敲，某人共听到365声钟响．若在此期间，甲、乙、丙三口钟敲响的次数分别，则（ ）
A．365B．256C．484D．516
【答案】C
【分析】根据题意分析，结合容斥原理求解即可.
【详解】设敲钟持续的时间为秒，
则甲乙丙钟敲响次数分别为，，，
由于甲乙敲响周期的最小公倍数为20，则甲乙同时敲响次数为，
由于甲丙敲响周期的最小公倍数为12，则甲丙同时敲响次数为，
由于乙丙敲响周期的最小公倍数为30，则乙丙同时敲响次数为，
由于甲乙丙敲响周期的最小公倍数为60，则甲乙丙同时敲响次数为，
由容斥原理易知，
解得，则．
故选：C．
典例3．（2025·广东佛山·二模）图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）

A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】 根据集合的运算即可得到答案.
【详解】 在阴影部分区域内任取一个元素，则或，
故阴影部分所表示的集合为或者，故A正确.
故选：A.
跟踪训练1．（2025·广东佛山·模拟预测）已知全集，集合，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用韦恩图法即可判断.
【详解】如图，对于A：，所以A错误；
对于B：，所以B错误；
对于D：，所以D错误，
对于C：由图观察显然，故C正确．
故选：C
跟踪训练2．（多选）若表示集合和关系的图如图所示，则可能是（ ）
A．
B．
C．，
D．
【答案】AD
【分析】根据可知,即可结合选项逐一判断即可.
【详解】由可知,
对于A,满足,故A正确，
对于B, ，此时不满足,故B错误，
对于C, ，当且仅当取等号，故，此时,故C错误，
对于D，或，故,D正确，
故选：AD
跟踪训练3．一个学校只有三门课程：数学、语文、外语，已知修这三门课的学生分别有172，132，130人；同时修数学、语文两门课的学生有48人，同时修数学、外语两门课的学生有30人，同时修语文、外语两门课的学生有21人；三门课全修的学生有5人.问：
(1)该校共有多少学生？
(2)只修一门课的学生有多少？
(3)正好修两门课的学生有多少？
【答案】(1)340人
(2)251人
(3)84人
【分析】（1）设修数学、语文、外语的学生组成集合为，由容斥原理求解即可；
（2）由容斥原理只修一门课的学生有
；
（3）由容斥原理正好修两门课的学生有
【详解】（1）设修数学、语文、外语的学生组成集合为，
则，
，
，
所以该校共有340人.
（2）只修一门课的学生有
,
所以只修一门课的学生有251人.
（3）正好修两门课的学生有
，
所以正好修两门课的学生有84人.
考点五 集合新定义
典例1．设，是两个非空集合，定义与的差集，则等于（ ）
A．PB．C．D．M
【答案】A
【分析】根据题目当中给出的定义，画出韦恩图，进行集合的运算即可.
【详解】当时，由韦恩图知，为下图中的阴影部分，则显然为P．

当时，，
则
故选：A．
典例2．规定集合为集合的第个子集，其中，若，则的值是（ ）
A．20B．21C．22D．23
【答案】D
【分析】根据二进制写出即可求出.
【详解】因，
则．
故选：D．
跟踪训练1．设是集合的两个子集，若规定满足的集合称为的理想配对，则满足条件的理想配对有（ ）.
A．8种B．9种C．27种D．16种
【答案】C
【分析】根据题意，对于1，3，5每个数都有3种选择，故有种.
【详解】根据题意，对1，3，5而言，要么只在集合中，要么只在集合中，要么不在这两个集合的任意一个中，即每个数都有3种选择，故有种.
故选：C
跟踪训练2．将集合分拆成两个集合和，且，，这样的分拆方法共有 种．
【答案】
【分析】按集合中元素的个数进行分类，再应用二项式展开式逆用求解.
【详解】按集合中的元素个数进行分类：
若中有0个元素（即种）时，则有种，共有种；
若中有1个元素（即种）时，则有种，共有种；
若中有2个元素（即种）时，则有种，共有种；
若中有3个元素（即种）时，则有种，共有种；
…
若中有个元素（即种）时，则有种，共有种.
可得，故这样的分拆方法有种.
故答案为：
跟踪训练3．给定整数，设，，…，是互不相等的非负实数，记集合，，求的最小值，其中表示集合X中元素的个数．
【答案】
【分析】由集合新定义即可求解.
【详解】不妨设，
则，所以．
又，所以．
故，当时，等号成立．
1．已知集合，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】解一元二次不等式求集合，再应用集合的交补运算求阴影部分集合.
【详解】由题得，，则或，
所以图中阴影部分表示的集合为.
故选：A
2．集合的子集个数为（ ）
A．15B．16C．31D．32
【答案】B
【分析】根据定义域的求法，先解对数不等式；再利用集合子集个数的计算公式，即可求解.
【详解】依题意得，，所以，
因为，所以，
所以集合的子集个数为．
故选：B．
3．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】解不等式及分式不等式，再根据集合的关系进行判断即可.
【详解】等价于，解得，
所以，
，即，
因为函数为增函数，所以，
即，
所以，.
故选：B.
4．（2025·广东佛山·模拟预测）已知全集，集合，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用韦恩图法即可判断.
【详解】如图，对于A：，所以A错误；
对于B：，所以B错误；
对于D：，所以D错误，
对于C：由图观察显然，故C正确．
故选：C
5．（2025·广东佛山·二模）图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）

A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】 根据集合的运算即可得到答案.
【详解】 在阴影部分区域内任取一个元素，则或，
故阴影部分所表示的集合为或者，故A正确.
故选：A.
6．（2025·甘肃白银·二模）已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】解不等式求得集合,然后求交集.
【详解】由图知，阴影部分表示的集合为，
或，.
或或，，
.
故选：B
7．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知集合的最大元素等于该集合的所有元素之和，则实数（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分类讨论，根据题意列出关系式求解即可.
【详解】根据集合中元素的互异性可得：，且.
当集合时，集合的最大元素为；当集合时，集合的最大元素为；
根据题意可得：集合的所有元素之和为.
且或，
解得：.
故选：B.
8．（2025·云南玉溪·模拟预测）如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.若集合，集合，则集合（ ）
A．
B．
C．或
D．或
【答案】D
【分析】根据给定的韦恩图，结合集合的运算求解.
【详解】集合，集合，则，
由韦恩图得或.
故选：D
9．设集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用解分式不等式来求解集合，然后利用交集运算即可．
【详解】由题可知：或，
所以．
因为，所以.
故选：B
1．已知集合，，则满足的集合的个数为（ ）
A．4B．7C．8D．15
【答案】B
【分析】根据题意写出集合，再由子集和真子集的定义即可解得.
【详解】方法一：的含义是有的都有，有的都有，但不能等于．
因为集合，，
所以集合可为，共7个．
方法二：集合中有2个元素，中有5个元素，则集合可以是集合的任意一个真子集与集合并集组成，
所以满足的集合有（个）．
故选：B．
2．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据一元二次不等式的解法解出集合，再利用并集和补集的定义求解即可.
【详解】由可得或，
解得或，即或，
因此，，则.
故选：C.
3.已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】通过解不等式化简集合，再求
【详解】由得，即，∴，
由，得，∴．
所以．
故选：B．
4.已知集合 ，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】解一元二次不等式求集合，再由集合并运算求集合.
【详解】由，，
所以.
故选：A
5.某寺院有甲、乙、丙三口铜钟．甲钟每4秒敲响一声，乙钟每5秒敲响一声，丙钟每6秒敲响一声．新年到来时，三口钟同时敲响并且同时停敲，某人共听到365声钟响．若在此期间，甲、乙、丙三口钟敲响的次数分别，则（ ）
A．365B．256C．484D．516
【答案】C
【分析】根据题意分析，结合容斥原理求解即可.
【详解】设敲钟持续的时间为秒，
则甲乙丙钟敲响次数分别为，，，
由于甲乙敲响周期的最小公倍数为20，则甲乙同时敲响次数为，
由于甲丙敲响周期的最小公倍数为12，则甲丙同时敲响次数为，
由于乙丙敲响周期的最小公倍数为30，则乙丙同时敲响次数为，
由于甲乙丙敲响周期的最小公倍数为60，则甲乙丙同时敲响次数为，
由容斥原理易知，
解得，则．
故选：C．
6.已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】首先分别求出集合和集合的解集，再求两个集合的交集.
【详解】因为，，且，，所以必有，解得，则.
又，故．
故选：B.
7．（多选）已知全集，，，，，则下列选项正确的为（ ）
A．B．的不同子集的个数为4
C．D．
【答案】AC
【分析】根据集合之间的关系作出图，逐项判断即可.
【详解】，
由，，，，，
作出图，如图所示，
由图可知，，，故A，正确；
集合的子集个数为个，故B错误；
因为，所以，错误.
故选：AC
8．（多选）非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．称A为一个“封闭集”，以下说法正确的是（ ）
A．若A为一个“封闭集”，则
B．若A为一个“封闭集”，且，则
C．若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或
D．若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或
【答案】ABD
【分析】对于AB，由“封闭集”的定义可得正确；对于C，举出反例；D选项，先证明充分性，再利用反证法证明必要性成立，得到D正确.
【详解】对于A，因为A为一个“封闭集”，所以由定义可知若，则，那么，A正确．
对于B，因为A为一个“封闭集”，，所以，所以，B正确．
对于C，不妨取“封闭集”，
则也是“封闭集”，显然或不成立，C错误．
对于D，充分性：都是“封闭集”，
若或，则或，则是“封闭集”．
必要性：若是“封闭集”，令，
假设或不成立，则存在，同时，
因为是“封闭集”，所以，
分两类情况讨论，
若，又当时，，所以，这与假设矛盾，
若，又当时，，所以，这与假设矛盾，
故假设不成立，原结论是“封闭集”，则或成立，即必要性成立．D正确．
故选：ABD.
9.设集合，，，，，中，至少有两个元素，且，满足：①对于任意，，若，都有；②对于任意，，若，则．若有4个元素，则有 个元素．
【答案】7
【分析】先通过特例法找出集合中的元素个数，再设集合，且，，，，，得，，，，，，并结合题意和并集的运算求出，进而可得出答案.
【详解】由题可知，，，有4个元素，若取，则，此时，包含7个元素，具体如下：
设集合，且，，，，，
则，且，则，
同理，，，，．
①若，则，且，，，，则，故，
所以，又，故，所以，故，
此时，，故，与有4个元素矛盾，舍去．
②若，则，故，所以.
同理，故，所以.
又，故，
所以，故，此时．
若，则，故，，，，.
故，，，，，即.
故，此时，
即中有7个元素．
故答案为：7.
10.一个学校只有三门课程：数学、语文、外语，已知修这三门课的学生分别有172，132，130人；同时修数学、语文两门课的学生有48人，同时修数学、外语两门课的学生有30人，同时修语文、外语两门课的学生有21人；三门课全修的学生有5人.问：
(1)该校共有多少学生？
(2)只修一门课的学生有多少？
(3)正好修两门课的学生有多少？
【答案】(1)340人
(2)251人
(3)84人
【分析】（1）设修数学、语文、外语的学生组成集合为，由容斥原理求解即可；
（2）由容斥原理只修一门课的学生有
；
（3）由容斥原理正好修两门课的学生有
【详解】（1）设修数学、语文、外语的学生组成集合为，
则，
，
，
所以该校共有340人.
（2）只修一门课的学生有
,
所以只修一门课的学生有251人.
（3）正好修两门课的学生有
，
所以正好修两门课的学生有84人.
1．（2025·全国二卷·高考真题）已知集合则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】求出集合后结合交集的定义可求.
【详解】，故，
故选：D.
2．（2025·北京·高考真题）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出集合，再根据集合的交集运算即可解出.
【详解】因为，所以，
故选：D.
3．（2025·天津·高考真题）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由集合的并集、补集的运算即可求解.
【详解】由，则，
集合，
故
故选：D.
4．（2025·全国一卷·高考真题）已知集合，，则中元素个数为（ ）
A．0B．3C．5D．8
【答案】C
【分析】根据补集的定义即可求出．
【详解】因为，所以， 中的元素个数为，
故选：C．
5．（2024·北京·高考真题）已知是平面直角坐标系中的点集.设是中两点间距离的最大值，是表示的图形的面积，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】先以t为变量，分析可知所求集合表示的图形即为平面区域，结合图形分析求解即可.
【详解】对任意给定，则，且，
可知，即，
再结合x的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域，
如图阴影部分所示，其中，
可知任意两点间距离最大值，
阴影部分面积.
故选：C.
6．（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】直接根据并集含义即可得到答案.
【详解】由题意得.
故选：C.
7．（2024·全国甲卷·高考真题）若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据集合的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算.
【详解】依题意得，对于集合中的元素，满足，
则可能的取值为，即，
于是.
故选：C
8．（2024·全国甲卷·高考真题）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由集合的定义求出，结合交集与补集运算即可求解.
【详解】因为，所以，
则，
故选：D
9．（2025·上海·高考真题）已知全集，集合，则 ．
【答案】/
【分析】根据补集的含义即可得到答案.
【详解】根据补集的含义知.
故答案为：.
10．（2024·上海·高考真题）设全集，集合，则 ．
【答案】
【分析】根据补集的定义可求.
【详解】由题设有，
故答案为：
5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2025年北京卷，第一题，5分
集合的交集
无
2025年，全国I卷，5分
集合的补集
无
2024年新I卷，第1题,5分
集合的交集
一元三次不等式的解法及范围估算
2023年新I卷，第1题,5分
集合的交集
一元二次不等式的解法
2023年新Ⅱ卷，第2题,5分
元素的性质、集合的子集
无
2022年新I卷，第1题,5分
集合的交集
根号不等式的解法
2022年新Ⅱ卷，第1题,5分
集合的交集
单绝对值不等式的解法
2021年新I卷，第1题,5分
集合的交集
无
2021年新Ⅱ卷，第2题,5分
集合的交集、补集
无
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
表示
运算
文字语言
集合语言
图形语言
记法
交集
属于A且属于B的所有元素组成的集合
{x|x∈A，且x∈B}
A∩B
并集
属于A或属于B的元素组成的集合
{x|x∈A，或x∈B}
A∪B
补集
全集U中不属于A的元素组成的集合称为集合A相对于集合U的补集
{x|x∈U，x∉A}
∁UA