2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用考点培优练01直线与圆29大考点(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用考点培优练01直线与圆29大考点(学生版+解析)，共7页。试卷主要包含了【多选】等内容，欢迎下载使用。

TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc29115" 考点01 直线的倾斜角与斜率 PAGEREF _Tc29115 \h 1
\l "_Tc10473" 考点02 三点共线问题 PAGEREF _Tc10473 \h 2
\l "_Tc7196" 考点03 直线与线段的相交关系求斜率范围 PAGEREF _Tc7196 \h 3
\l "_Tc6653" 考点04 求直线的方程 PAGEREF _Tc6653 \h 3
\l "_Tc29918" 考点05 直线与坐标轴围成的三角形问题 PAGEREF _Tc29918 \h 4
\l "_Tc5604" 考点06 两直线的夹角问题 PAGEREF _Tc5604 \h 5
\l "_Tc20548" 考点07 直线过定点问题 PAGEREF _Tc20548 \h 6
\l "_Tc29052" 考点08 两直线位置关系的判定 PAGEREF _Tc29052 \h 7
\l "_Tc25275" 考点09 求与已知直线平行、垂直的直线方程 PAGEREF _Tc25275 \h 7
\l "_Tc32380" 考点10 两直线的交点与距离问题 PAGEREF _Tc32380 \h 8
\l "_Tc21037" 考点10 有关距离的最值问题 PAGEREF _Tc21037 \h 10
\l "_Tc16877" 考点11 直线的对称问题 PAGEREF _Tc16877 \h 11
\l "_Tc21283" 考点12 直线系方程 PAGEREF _Tc21283 \h 12
\l "_Tc23375" 考点13 直线方程的综合应用 PAGEREF _Tc23375 \h 13
\l "_Tc14286" 考点14 求圆的方程 PAGEREF _Tc14286 \h 14
\l "_Tc2555" 考点15 用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件 PAGEREF _Tc2555 \h 15
\l "_Tc18533" 考点16 点与圆的位置关系判断 PAGEREF _Tc18533 \h 16
\l "_Tc27267" 考点17 圆过定点问题 PAGEREF _Tc27267 \h 16
\l "_Tc14213" 考点18 与圆有关的轨迹问题 PAGEREF _Tc14213 \h 17
\l "_Tc5148" 考点19 与圆有关的对称问题 PAGEREF _Tc5148 \h 18
\l "_Tc23152" 考点20 直线与圆的位置关系的判断 PAGEREF _Tc23152 \h 19
\l "_Tc15962" 考点21 弦长问题 PAGEREF _Tc15962 \h 20
\l "_Tc19548" 考点22 切线问题 PAGEREF _Tc19548 \h 21
\l "_Tc6596" 考点23 切点弦问题 PAGEREF _Tc6596 \h 22
\l "_Tc7479" 考点24 圆上的点到直线距离个数问题 PAGEREF _Tc7479 \h 23
\l "_Tc6663" 考点25 圆与圆的位置关系 PAGEREF _Tc6663 \h 24
\l "_Tc28554" 考点26 两圆的公共弦问题 PAGEREF _Tc28554 \h 24
\l "_Tc9945" 考点27 两圆的公切线问题 PAGEREF _Tc9945 \h 25
\l "_Tc18010" 考点28 与圆有关的最值问题 PAGEREF _Tc18010 \h 27
\l "_Tc4289" 考点29 直线与圆的综合问题 PAGEREF _Tc4289 \h 29
考点01 直线的倾斜角与斜率
1．（2025·四川眉山·模拟预测）已知点，若向量是直线的方向向量，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025高二·江西九江·阶段练习）已知直线的斜率，则的倾斜角的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·江西新余·模拟预测）已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
4．【多选】（25-26高二·重庆·阶段练习）已知直线经过点，且不经过第四象限，则直线的斜率的取值可以是（ ）
A．0B．C．2D．3
考点02 三点共线问题
5．（2024高三·全国·专题练习）若、、三点共线，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2025高二·全国·课后作业）若A(a，0)，B(0，b)，C(，)三点共线，则 .
考点03 直线与线段的相交关系求斜率范围
7．（25-26高二·广西·阶段练习）直线过点，且与以为端点的线段有公共点，则直线的斜率范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2025·山西太原·模拟预测）已知点，与直线，且直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A．或B．或C．D．
9．（25-26高二·广东佛山·阶段练习）已知的顶点坐标分别为、、，过原点斜率为的直线与的边有公共点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．（2025·陕西渭南·模拟预测）已知，，点是线段（包括端点）上的动点，则的取值范围是 ．
11．（25-26高二·广东揭阳·阶段练习）已知、，点在线段上，则的取值范围为 .
考点04 求直线的方程
12．（25-26高二·江苏·阶段练习）直线经过点，且倾斜角为直线的倾斜角的一半，则的方程为 .
13．（2025高二·山东菏泽·期末）已知的三个顶点为，则边上的高所在直线的方程为 .
14．（25-26高二·河南·阶段练习）经过点，且在轴和轴上截距相等的直线方程是（ ）
A．B．或
C．D．或
考点05 直线与坐标轴围成的三角形问题
15．（25-26高二·江西·阶段练习）已知为坐标原点，直线过点，且与轴负半轴交于点，与轴正半轴交于点，则的面积的最小值为（ ）
A．12B．C．8D．6
16．（25-26高二·安徽·阶段练习）已知为坐标原点，过点的直线分别与轴的正半轴交于两点，则当的面积取得最小值时，直线的纵截距为（ ）
A．4B．7C．8D．14
17．（2025·辽宁大连·模拟预测）设，过定点的动直线和过定点的动直线相交于点不重合），则面积的最大值是（ ）
A．B．5C．D．
18．（2025高三·全国·专题练习）已知直线过定点，分别交轴、轴于点，求解下列问题．
（1）当时，的面积的最小值是 ；
（2）当的面积时，直线的条数为 ；
（3）当的面积时，直线的条数为 ；
（4）当的面积时，直线的条数为 ；
（5）当时，的最小值是 ；
（6）当直线在轴、轴上的截距的绝对值相等时，直线的方程是 ；
（7）若，则的最小值是 ；
（8）若，则的最小值是 ；
（9）若，则周长的最小值是 ；
（10）若，则外接圆面积的最小值是 ．
考点06 两直线的夹角问题
19．（25-26高二·江苏常州·阶段练习）直线与直线的夹角为 ．
20．（2025高一·上海嘉定·期中）直线与直线的夹角的大小为 ．
21．（2025高二·上海·阶段练习）已知直线，，则与的夹角大小是 ．
22．（2025高二·上海·课后作业）若直线过点且与直线，的夹角相等，则直线的方程是 ．
考点07 直线过定点问题
23．（25-26高二·天津西青·阶段练习）直线，无论取何值，该直线恒过定点（ ）
A．B．C．D．
24．（25-26高二·全国·课后作业）不论为何实数，直线过定点（ ）
A．B．C．D．
25．（25-26高二·辽宁沈阳·阶段练习）直线，恒过定点，则的值为（ ）
A．-5B．-4C．-3D．3
26．（25-26高二·江苏连云港·阶段练习）无论取任何实数，直线必经过一个定点，则定点的坐标是 （ ）
A．B．
C．D．
27．【多选】（广东省多校2025-2026学年高二学期10月份联考数学试卷）已知直线，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则或
C．若，则D．若，则
28．【多选】（25-26高二·黑龙江大庆·阶段练习）已知直线：，：（），则（ ）
A．直线过定点B．当时，
C．当时，D．当时，两直线，之间的距离为2
考点08 两直线位置关系的判定
29．【多选】（25-26高二·江西抚州·阶段练习）已知直线，下列选项正确的有（ ）
A．若，则斜率不存在
B．若不经过第三象限，则
C．若或-1，则
D．若，则
30．【多选】（25-26高二·山东青岛·阶段练习）若三条直线： ，：，：不能围成三角形，则的取值可以为（ ）
A．0B．C．1D．4
考点09 求与已知直线平行、垂直的直线方程
31．（2025·山东·模拟预测）已知直线与直线平行，且在轴上的截距是，则直线的方程是（ ）．
A．B．
C．D．
32．（25-26高二·江苏·阶段练习）已知直线过点且与直线平行，则该直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
33．（25-26高二·江苏连云港·阶段练习）过点且与直线垂直的直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
34．（25-26高二·广西·阶段练习）根据下列条件分别写出直线的方程．并化为一般式方程．
(1)求经过点，且与直线平行的直线方程；
(2)已知点，．求线段的垂直平分线的方程；
35．（2025·重庆·模拟预测）已知直线经过点，且，两点到直线的距离相等，则的方程为 .
考点10 两直线的交点与距离问题
36．（25-26高二·江西·阶段练习）过直线与直线的交点和原点的直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
37．（2025高二·福建泉州·期中）直线与线段没有公共点，其中，，则实数b的取值范围是 .
38．（25-26高二·江苏镇江·阶段练习）直线与直线的交点在第四象限，则实数k的取值范围为 ．
39．（2026高三·全国·专题练习）若三条直线相交于一点，则m的值为 .
40．（2025高二·全国·专题练习）已知三条直线，与不能围成三角形，则a=（ ）．
A．B．C．D．或或
41．（25-26高二·山西晋中·阶段练习）函数的最小值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
42．（25-26高二·江苏盐城·阶段练习）著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
43．（25-26高二·河南·阶段练习）已知，是直线上的两点，若，则 ．
44．（25-26高二·山东菏泽·阶段练习）求点到直线的距离.（ ）
A．B．C．D．
45．（2025·广东深圳·模拟预测）点关于直线的对称点为，则点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
46．（2025·上海浦东新·模拟预测）设点满足，则“”是“为定值”的（ ）.
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
47．（2025·四川成都·模拟预测）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ）
A．B．C．D．
48．（2025高二·新疆省直辖县级单位·阶段练习）若两平行直线与之间的距离是，则（ ）
A．B．2C．0D．
考点10 有关距离的最值问题
49．（25-26高二·山东菏泽·阶段练习）点到直线的距离的最大值是（ ）
A．2B．C．D．4
50．（2025·重庆·模拟预测）当点到直线l：的距离最大时，实数的值为（ ）
A．B．1C．D．2
51．（2025高二·湖北荆门·期中）已知直线：及点，点Q在l上，当的值最大时，点的坐标为 ，的最大值为 .
52．（2025高二·河南南阳·期末）点为两条直线和的交点，则点到直线：的距离最大为（ ）
A．B．C．D．5
53．【多选】（2025高二·福建厦门·期中）已知点和是直线上的动点，则（ ）
A．的最小值是
B．的最大值是
C．存在，使最小
D．存在，使最小
考点11 直线的对称问题
54．（2025高二·上海·阶段练习）点关于直线的对称点为（ ）
A．B．C．D．
55．（2025高二·湖北·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
56．（2025高三·全国·专题练习）与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
57．（25-26高二·北京·阶段练习）与直线关于y轴对称的直线的方程为（ ）.
A．B．
C．D．
58．（2025高二·江苏苏州·期末）直线关于直线：对称的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
59．（25-26高二·河北邯郸·阶段练习）已知一条入射光线经过两点，经轴反射后，则反射光线所在直线方程为（ ）
A．B．C．D．
60．（25-26高二·江苏·阶段练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A．4B．5C．D．
考点12 直线系方程
61．（2025高二·全国·课后作业）过两直线和的交点和原点的直线方程为（ ）
A．3x-19y=0B．19x-3y=0
C．19x+3y=0D．3x+19y=0
62．（2025高二·重庆·阶段练习）经过直线和的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
63．（2025高三·全国·专题练习）已知直线，直线过与的交点且过点，求的方程．
考点13 直线方程的综合应用
64．（25-26高二·广东·阶段练习）已知直线.
(1)求证：直线过定点；
(2)若当时，直线上的点都在轴下方，求的取值范围；
(3)若直线与轴的负半轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是坐标原点，设三角形的面积为S，求S的最小值及此时直线的方程.
65．（2025高二·北京大兴·期中）已知直线l1，l2的方程分别是，点A的坐标为（）.过点A的直线l的斜率为k，且与l1，l2分别交于点M，N（M，N的纵坐标均为正数）.
(1)若，且A为线段MN中点，求实数a的值及的面积；
(2)是否存在实数a，使得的值与k无关？若存在，求出所有这样的实数a；若不存在，说明理由.
66．（2025高二·贵州遵义·阶段练习）已知的三个顶点是，，．
(1)过点的直线与边相交于点，若的面积是面积的3倍，求直线的方程；
(2)求的角平分线所在直线的方程．
67．（2025高二·安徽·阶段练习）已知为坐标原点，，过点且斜率为的直线与轴负半轴及轴正半轴分别交于点.
(1)求的最小值；
(2)若的面积为，且对于每一个的值满足条件的值只有2个，求的取值范围.
考点14 求圆的方程
68．（25-26高二·江苏镇江·阶段练习）过点，，的圆的圆心坐标为（ ）．
A．B．C．D．
69．（2025·北京海淀·模拟预测）圆心为且与轴相切的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
70．（2025高二·重庆·阶段练习）已知、，则以为直径的圆的一般方程为（ ）
A．B．
C．D．
考点15 用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件
71．（25-26高二·重庆·阶段练习）已知方程表示圆，则k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
72．（25-26高二·江苏·阶段练习）若方程表示一个圆，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
73．（25-26高二·山西晋中·期中）已知圆的方程为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
74．（25-26高二·宁夏银川·阶段练习）“关于x，y的方程：表示圆”是“”的（ ）
A．必要不充分条件B．充要条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
75．（25-26高二·安徽·阶段练习）已知点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
76．（2025高一·重庆·期末）若方程表示圆，且圆心位于第四象限，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
考点16 点与圆的位置关系判断
77．（2025·河北邯郸·模拟预测）“”是“点在圆外部”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
78．（2025高二·山东青岛·阶段练习）已知点关于直线对称的点在圆上，则（ ）
A．4B．5C．-4D．-5
79．（2025·贵州黔南·模拟预测）已知直线与直线的交点在圆的内部，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
考点17 圆过定点问题
80．（2025高二·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（ ）
A． B．
C． D．
81．（2025高二·河北沧州·期末）已知点为直线上任意一点，为坐标原点．则以为直径的圆除过定点外还过定点（ ）
A．B．C．D．
82．（2025高二·安徽·阶段练习）若圆过坐标原点，则实数m的值为（ ）
A．1B．2C．2或1D．－2或－1
考点18 与圆有关的轨迹问题
83．（25-26高二·江苏·阶段练习）已知定点，点P是圆上一动点，点Q是线段AP的中点，则点Q的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
84．（2025高二·云南·阶段练习）已知动点M与两个定点，，且，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
85．（25-26高二·江苏连云港·阶段练习）已知点和点，动点与点的距离是它与点的距离的倍，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
86．（25-26高二·江西萍乡·阶段练习）已知点，若圆上存在点A，使得线段PA的中点也在圆O上，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
87．（25-26高二·湖南长沙·阶段练习）已知点，直线与直线交于点，则的值可以为（ ）．
A．7B．6C．8D．19
88．（2025高二·江苏南京·阶段练习）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（ ）
A．(B．
C． D．
考点19 与圆有关的对称问题
89．（25-26高二·浙江·阶段练习）已知圆关于直线对称，则（ ）
A．4B．-4C．2D．-2
90．（2025高二·四川成都·期末）圆关于直线对称后的方程为（ ）
A．B．C．D．
91．（2025高一·重庆·期末）若圆上有两点关于直线对称，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
92．（2025高二·湖南永州·期中）已知圆关于直线(为大于0的常数)对称，则ab的最大值为（ ）
A．B．C．1D．2
考点20 直线与圆的位置关系的判断
93．（25-26高二·江苏·阶段练习）对于圆C：，直线l：，点在圆C外，则直线l与圆C（ ）
A．相切B．相交C．相离D．不确定
94．（25-26高二·河北邢台·阶段练习）已知直线与圆，则直线与圆的位置关系是（ ）
A．相离B．相切
C．相交D．与的取值有关
95．（25-26高三·广西柳州·开学考试）直线与圆的位置关系为（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不确定的
96．（25-26高二·江苏·阶段练习）已知直线和圆，若直线与圆相切，则（ ）
A．B．C．或D．或
97．（25-26高二·陕西·阶段练习）若方程恰有两个不等的实根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
98．（25-26高二·天津·阶段练习）若直线与曲线至少有一个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
99．（2025高三·河南南阳·期末）直线交圆于、两点，则（ ）
A．B．C．1D．2
100．（2025高二·浙江嘉兴·期末）直线与曲线的交点个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
考点21 弦长问题
101．（25-26高二·河南·阶段练习）已知直线与圆相交于两点，则（ ）
A．2B．2C．2D．3
102．（25-26高二·湖北·期中）已知三点，记的外接圆为圆.
(1)求圆的方程；
(2)若直线与圆交于两点，求的面积.
103．（2025高二·四川凉山·期末）若直线被圆C截得的弦长为，则（ ）
A．±2B．C．2D．2
104．（2025高三·全国·专题练习）已知一条直线截圆所得的弦长为定值，则该定值为（ ）
A．B．C．D．
105．（25-26高二·江西抚州·阶段练习）已知直线与圆相交于两点，则当取最小值时，（ ）
A．1B．-1C．D．2
106．（2025高三·全国·专题练习）是半径为5的圆上的定点，是圆上的动弦，且弦长为6，则的最大值为（ ）
A．30B．36C．54D．60
考点22 切线问题
107．（2025高二·贵州黔西·期末）过原点且与圆相切的直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
108．（25-26高二·江西·阶段练习）过点作圆：的切线，则的方程为（ ）
A．B．或
C．D．或
109．（25-26高三·安徽·开学考试）已知过点与圆相切的两条直线的夹角为α，则tanα＝（ ）
A．B．C．D．
110．（2025高二·甘肃·期末）过圆外的点作O的一条切线，切点为A，则（ ）
A．B．C．D．5
111．（2025·四川成都·模拟预测）过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（ ）
A．B．5C．D．
考点23 切点弦问题
112．（23-24高三下·海南·阶段练习）过点作圆的两条切线，设切点分别为，，则（ ）
A．B．C．D．
113．（22-23高二下·河南漯河·期末）设点P为直线l：上任意一点，过点P作圆O：的切线，切点分别为A，B，则直线AB必过定点（ ）
A．B．C．D．
114．（2024·广西南宁·三模）已知圆，点在线段（）上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，以为直径作圆，则圆的面积的最大值为（ ）.
A．B．C．D．
115．（23-24高二上·浙江·期末）已知圆与直线，过上任意一点向圆引切线，切点为和，若线段长度的最小值为，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
考点24 圆上的点到直线距离个数问题
116．（25-26高二上·山东·阶段练习）已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于的点的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
117．（24-25高二上·吉林长春·期中）已知圆，直线，则圆上到直线的距离为的点的个数为（ ）
A．B．C．D．
118．（25-26高二上·重庆·开学考试）直线的方程为，则圆上到直线距离为1的点的个数为（ ）
A．4B．2C．1D．3
考点25 圆与圆的位置关系
119．（25-26高二上·江苏连云港·阶段练习）圆和圆的位置关系是（ ）
A．内含B．相交C．内切D．外切
120．（25-26高二上·湖南长沙·阶段练习）圆与圆的位置关系为（ ）．
A．内切B．相交C．外切D．外离
121．（25-26高二上·北京·阶段练习）已知圆与圆外切，则（ ）
A．B．C．D．
122．（25-26高二上·河南驻马店·阶段练习）若圆上总存在两个点到点的距离为6，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
考点26 两圆的公共弦问题
123．（25-26高二上·江西·阶段练习）已知圆与圆 交于A，B两点，则直线AB的一般式方程为（ ）
A．B．
C．D．
124．（25-26高二上·河北邢台·阶段练习）已知圆与圆相交于两点，则点到直线的距离是（ ）
A．3B．C．D．2
125．（25-26高二上·山西临汾·阶段练习）已知圆，圆，则两圆的公共弦长为（ ）
A．B．C．D．
126．（25-26高二上·全国·单元测试）若圆，圆的两交点分别为A，B，则（ ）
A．B．C．D．
127．（25-26高二上·黑龙江大庆·阶段练习）已知圆和圆，若点在两圆的公共弦上，则的最小值为（ ）
A．2B．4.5C．5D．6.5
考点27 两圆的公切线问题
128．（25-26高二上·山西晋中·阶段练习）圆：与圆：公切线的条数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
129．（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）已知，若两圆和恰有三条公切线，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
130．（2025·浙江·三模）若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（ ）
A．1B．C．D．2
131．（2025·山东·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（）
A．B．
C．D．
132．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知圆心均在x轴上的两圆外切，半径分别为，若两圆的一条公切线的方程为 ，则（ ）
A．B．2C．D．3
133．（24-25高二上·湖南·阶段练习）圆：与圆：的内公切线长为（ ）
A．3B．5C．D．4
134．（2019高二上·河北·学业考试）若直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则（ ）
A．B．C．D．
考点28 与圆有关的最值问题
135．（25-26高二上·江苏·阶段练习）点为圆上的一动点，为圆上一动点，为坐标原点，则的最小值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
136．（25-26高二上·江苏常州·阶段练习）已知为曲线上任意一点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
137．（25-26高二上·吉林长春·阶段练习）点满足方程，则的最小值为（ ）
A．17B．19C．23D．25
138．（25-26高二上·北京·阶段练习）已知实数，，，满足：，，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
139．（25-26高二上·河南驻马店·阶段练习）圆上任意一点到直线的距离的最大值为（ ）
A．B．C．D．
140．（24-25高二下·河南·阶段练习）直线被圆截得的最短的弦长为（ ）
A．B．C．4D．
141．（25-26高二上·浙江·阶段练习）过点作直线与曲线交于，两点，为坐标原点，则面积的最大值为（ ）
A．1B．C．2D．
142．（2025高三·全国·专题练习）过点的直线l交圆C：于A，B两点，若，垂足为Q，则点Q到直线的最大距离为（ ）
A．B．1C．D．
143．（2025高三·全国·专题练习）设，圆M：．若动直线：与圆M交于点A，C，动直线：与圆M交于点B，D，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
考点29 直线与圆的综合问题
144．（24-25高二上·云南·阶段练习）已知圆分别与，轴的正半轴交于，两点，为圆上的动点（异于，两点）.
(1)若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程；
(2)若直线与轴交于点，直线与轴交于点，证明：为定值，并求出该定值.
145．（25-26高二上·重庆·阶段练习）已知圆过点和点，且圆心在直线上.
(1)求圆的方程；
(2)已知圆外有一定点，过作圆的切线，切点分别为，两点，求；
(3)已知点，过的直线交圆于，两点（不在直线上），直线，分别与直线交于，两点，则以为直径的圆是否过除点以外的定点？若过定点，求出此点的坐标；若不过定点，请说明理由.
146．（23-24高二上·北京西城·期中）已知圆：与直线交于M、N两点，点P为线段的中点，为坐标原点，直线的斜率为.
(1)求的值及的面积；
(2)若圆C与x轴交于A、B两点，点Q是圆C上异于A、B的任意一点，直线、分别交：于R、S两点.当点Q变化时，以为直径的圆是否过圆C内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由.
147．（25-26高二上·河北邢台·阶段练习）已知圆经过两点，且圆心在直线上.
(1)求圆的标准方程.
(2)已知斜率为的直线过点，且与圆交于两点，直线与直线交于点.
①记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：.
②试问点是否在定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，请说明理由.
148．（25-26高二上·山东泰安·阶段练习）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，记线段中点的运动轨迹为曲线
(1)求曲线的方程．
(2)过点作直线与曲线相切，切点分别为点，求直线的方程．
(3)斜率为的直线与曲线相交于异于原点的两点，直线的斜率分别为，且．若为垂足，证明：存在定点，使得为定值．
149．（25-26高二上·重庆·阶段练习）已知圆和点．
(1)过圆上一点作两条相异直线分别与圆相交于两点，且直线和直线的倾斜角互补，求证：直线的斜率为定值．
(2)已知，设P为满足方程的任意一点，过点向圆引切线，切点为B，试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由．
150．（25-26高二上·江西·阶段练习）已知圆的圆心与圆的圆心关于直线对称.
(1)求圆的标准方程；
(2)若直线交圆于，两点，点，证明：当不断变化时，轴始终平分；
(3)设为圆上任意一点，过点作圆的切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.
1．要注意斜率的各种求法的局限性，如k＝eq \f(y1－y2,x1－x2)(x1≠x2)，k＝tanαeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2))).
2．处理斜率范围和倾斜角范围时，由于涉及正切函数的单调性，因此常常借助正切函数图象，将角分为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))两部分，分别对应斜率中的非负值和负值．
斜率是反映直线相对于轴正方向的倾斜程度的，直线上任意两点所确定的方向不变，即在同一直线上任意不同的两点所确定的斜率相等．这正是利用斜率可证三点共线的原因．
一般地，若已知，过点作垂直于轴的直线，过点的任一直线的斜率为，则当与线段不相交时，夹在与之间；当与线段相交时，在与的两边．
求直线方程的两种方法
(1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式．
(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数．
注：①选用直线方程时，注意其适用条件.②注意截距相等包含截距为0的情形，截距不是距离.③若已知直线的一个方向向量的坐标为(m,n),mn≠0,则直线的斜率为nm；若已知直线的一个方向向量的坐标为(m,0),m≠0,则直线的斜率为0；若已知直线的一个方向向量的坐标为(0,n),n≠0,则直线的斜率不存在.
（1）由于已知直线的倾斜角（与斜率有关）及直线与坐标轴围成的三角形的面积（与截距有关），因而可选择斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有“题目决定解法”之说．
（2）在求直线方程时，要恰当地选择方程的形式，每种形式都具有特定的结论，所以根据已知条件恰当地选择方程的类型往往有助于问题的解决．例如：已知一点的坐标，求过这点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定该直线在y轴上的截距；已知截距或两点，选择截距式或两点式．在求直线方程的过程中，确定的类型后，一般采用待定系数法求解，但要注意对特殊情况的讨论，以免遗漏．
若直线与直线的夹角为，则.
直线过定点问题的核心是找到无论参数取何值，都能满足方程的固定点，以下是具体解题策略：
1.点斜式法：先将直线方程整理成点斜式“y-y₀=k(x-x₀)”（k为参数，x₀、y₀为常数），根据点斜式定义，直线必过定点(x₀,y₀)。
2.分离参数法：按参数“分拆”方程，令系数均为0
将直线方程中含参数的项与不含参数的项分离，写成“参数×A+B=0”（A、B是关于x、y的式子），因参数可取任意值，故需A=0且B=0，解方程组得定点坐标。
3.特殊值法：取两组参数值，求两直线交点
取参数的两个不同值，代入直线方程得到两条具体直线，求这两条直线的交点，该交点即为直线过的定点（需验证：将交点代入原方程，确认对任意参数都成立）。
判断两直线的位置关系可以从斜率是否存在分类判断，也可以按照以下方法判断：一般地，设（不全为0），（不全为0），则：
当时，直线相交；
当时，直线平行或重合，代回检验；
当时，直线垂直，与向量的平行与垂直类比记忆．
求与已知直线平行或垂直的直线方程，核心是利用“平行斜率相等、垂直斜率乘积为-1”的性质，
1.直接设方程：根据平行、垂直关系设含参数方程，代入条件求解
①平行直线：
若已知直线为Ax+By+C=0（A、B不同时为0），则平行直线可设为(Ax+By+D=0（D≠C)，保证两直线不重合），再将已知条件（如过某点）代入，解出D的值，即可得所求方程。
②垂直直线：若已知直线为Ax+By+C=0，则垂直直线可设为Bx-Ay+D=0（交换A、B并变其中一个符号，保证斜率乘积为-1），再代入已知条件求D，得到所求方程。
2.求斜率后求方程：先算已知直线斜率，再用点斜式写方程步骤
①求已知直线的斜率若已知直线为斜截式y=kx+b，直接得斜率k；若已知直线为一般式Ax+By+C=0(B≠0），斜率k=；若B=0（直线垂直x轴），则平行直线也垂直x轴，垂直直线平行x轴。②根据平行、垂直定所求直线斜率平行：
③用点斜式写方程并整理。
1．求过两直线交点的直线方程的方法
求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程，也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程．
2．点到直线、两平行直线间的距离公式的使用条件
(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．
(2)求两平行直线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．
数形结合，利用距离的几何意义进行转化．
1.求点关于点中心对称的点，由中点坐标公式得
2.求点关于直线对称的点
方法一：（一中一垂），即线段的中点M在对称轴上，若直线的斜率存在，则直线的斜率与对称轴的斜率之积为－1，两个条件建立方程组解得点
方法二：先求经过点且垂直于对称轴的直线（法线），然后由得线段的中点，从而得
3. 求直线l关于点中心对称的直线
求解方法是：在已知直线l上取一点关于点中心对称得，再利用，由点斜式方程求得直线的方程（或者由，且点到直线l及的距离相等来求解）．
4.求直线l关于直线对称的直线
若直线，则，且对称轴与直线l及之间的距离相等．
此时分别为，由，求得，从而得．
若直线l与不平行，则．在直线l上取异于Q的一点，然后求得关于直线对称的点，再由两点确定直线（其中）．
5.对称问题的求解策略
(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解．
(2)中心对称可以利用中点坐标公式，两点轴对称问题利用垂直和中点两个条件列方程(组)解题．
常见直线系方程
（1）过定点(x1,y1)的直线系方程：y−y1=k(x−x1)和x=x1.
（2）平行于直线Ax+By+C=0的直线系方程：Ax+By+λ=0(λ≠C).
（3）垂直于直线Ax+By+C=0的直线系方程：Bx−Ay+λ=0.
（4）过两条已知直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程：A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0（不包括直线A2x+B2y+C2=0）和A2x+B2y+C2=0.
处理直线方程综合应用的两大策略
(1)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．
(2)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点(或平行)的直线系，即能够看出“动中有定”．
提醒：涉及直线与坐标轴截距问题时一般设截距式．
求圆的方程的两种方法：(1) 根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程；(2) 若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
方程表示圆的充要条件是，故在解决圆的一般式方程的有关问题时，必须注意这一隐含条件．在圆的一般方程中，圆心为，半径
在处理点与圆的位置关系问题时，应注意圆的不同方程形式对应的不同判断方法，另外还应注意其他约束条件，如圆的一般方程的隐含条件对参数的制约．
圆过定点，可以类比含参直线过定点。形如，则圆恒过交点。
求与圆有关的轨迹问题的方法
1、直接法：直接根据题目提供的条件列出方程；
2、定义法：根据圆、直线等定义列方程；
3、几何法：利用圆的几何性质列方程；
4、代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式
（1）圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称
（2）圆关于点对称：
①求已知圆关于某点对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程
②两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点
（3）圆关于直线对称：
①求已知圆关于某条直线对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程
②两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线
判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系判断．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
弦长的两种求法
(1) 代数方法：将直线和圆的方程联立得到方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，得到根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．
(2) 几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2eq \r(,r2－d2)．
（1）圆的切线方程的求法
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①点在圆上，
法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于，即．
法二：圆心到直线的距离等于半径．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出．
注意：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．
（2）常见圆的切线方程
过圆上一点的切线方程是；
过圆上一点的切线方程是．
过圆外一点作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为
过曲线上，做曲线的切线，只需把替换为，替换为，替换为，替换为即可，因此可得到上面的结论．
圆上的点到直线的距离为定值的点的个数问题
该类问题常借助于图形转化为点到直线的距离求解．设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d．
如图①，若圆上恰有一点到直线的距离为t，则需满足d＝r＋t．
如图②，若圆上恰有三点到直线的距离为t，则需满足d＝r－t．
由图①②可知，若圆上恰有两个点到直线的距离为t，则需满足r－t＜d＜r＋t．
若圆上恰有四点到直线的距离为t，则需满足d＜r－t．
判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．
两圆公共弦长的求法
先求出公共弦所在直线的方程，在其中一圆中，由弦心距d，弦长的一半l2，半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解，且l＝2r2−d2．
两圆的公切线问题，核心是先判断两圆的位置关系（外离、外切、相交、内切、内含），再结合位置关系确定公切线条数或求解公切线方程，
1.判断两圆位置关系：先算 “圆心距” 与 “两圆半径和 、 差”
2.求公切线条数：根据位置关系直接对应公切线条数由两圆位置关系唯一确定，无需额外计算，直接对应如下：外离：4 条公切线（2 条外公切线，2 条内公切线）；外切：3 条公切线（2 条外公切线，1 条内公切线，切点在两圆连心线上）；相交：2 条公切线（仅 2 条外公切线，无内公切线）；内切：1 条公切线（仅 1 条公切线，两圆切于一点，切线过该切点且垂直于连心线）；内含（含同心圆）：0 条公切线（两圆无公共点，无公切线）。
3.求公切线方程：分 “外公切线”“内公切线”，设方程代入求解求公切线方程的核心是：设公切线方程为Ax + By + C = 0（或斜截式y = kx + b，注意斜率不存在的情况），利用 “圆心到切线的距离等于半径” 列方程，解出参数A、B、C（或k、b）。
①判断两圆位置关系，确定有外公切线 / 内公切线；
②设公切线方程（斜率存在时设y = kx + b，整理为kx - y + b = 0；斜率不存在时设x = m；
③根据 “圆心到切线距离 = 半径”，对两圆分别列方程，得到关于k、b（或m）的方程组；
④解方程组，得到参数值，代入即得公切线方程（注意排除两圆重合的切线，若有）。
注：区分外公切线与内公切线：外公切线：两圆在切线同侧，列方程时，两圆的 “圆心到切线距离 = 半径” 表达式中，常数项符号一致（如均为正或均为负）；内公切线：两圆在切线异侧，列方程时，两圆的 “圆心到切线距离 = 半径” 表达式中，常数项符号相反。
4.由公切线条数求参数：先对应位置关系，再列不等式或等式已知公切线条数，先反向确定两圆位置关系，再根据位置关系对应的 “圆心距与半径和、 差” 关系，列不等式或等式，求解参数（通常是半径或圆心坐标中的参数）。
①明确公切线条数对应的位置关系（如 3 条公切线对应外切，2 条对应相交）；
②写出圆心距d、半径和、半径差的表达式（含参数）；
③根据位置关系列等式或不等式
④解等式或不等式，得到参数的值或取值范围。
1．与圆有关的最值问题的三种几何转化法
(1)斜率型：形如μ＝y−bx−a形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题．
(2)截距型：形如t＝ax＋by形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题．
(3)距离型：形如m＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
2．建立函数关系式求最值问题的解题策略
根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、单调法等，利用基本不等式求最值．
3．求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：
(1)“动化定”：把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；(2)“曲化直”：将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．
立足直线与圆的位置关系，将几何问题代数化是求解本类题目的关键．同时，在坐标运算中，借助圆的几何性质，可以大大提高运算速度．
考点培优练01 直线与圆29大考点
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc29115" 考点01 直线的倾斜角与斜率 PAGEREF _Tc29115 \h 1
\l "_Tc10473" 考点02 三点共线问题 PAGEREF _Tc10473 \h 3
\l "_Tc7196" 考点03 直线与线段的相交关系求斜率范围 PAGEREF _Tc7196 \h 4
\l "_Tc6653" 考点04 求直线的方程 PAGEREF _Tc6653 \h 8
\l "_Tc29918" 考点05 直线与坐标轴围成的三角形问题 PAGEREF _Tc29918 \h 9
\l "_Tc5604" 考点06 两直线的夹角问题 PAGEREF _Tc5604 \h 15
\l "_Tc20548" 考点07 直线过定点问题 PAGEREF _Tc20548 \h 17
\l "_Tc29052" 考点08 两直线位置关系的判定 PAGEREF _Tc29052 \h 20
\l "_Tc25275" 考点09 求与已知直线平行、垂直的直线方程 PAGEREF _Tc25275 \h 21
\l "_Tc32380" 考点10 两直线的交点与距离问题 PAGEREF _Tc32380 \h 24
\l "_Tc21037" 考点10 有关距离的最值问题 PAGEREF _Tc21037 \h 30
\l "_Tc16877" 考点11 直线的对称问题 PAGEREF _Tc16877 \h 34
\l "_Tc21283" 考点12 直线系方程 PAGEREF _Tc21283 \h 38
\l "_Tc23375" 考点13 直线方程的综合应用 PAGEREF _Tc23375 \h 40
\l "_Tc14286" 考点14 求圆的方程 PAGEREF _Tc14286 \h 45
\l "_Tc2555" 考点15 用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件 PAGEREF _Tc2555 \h 47
\l "_Tc18533" 考点16 点与圆的位置关系判断 PAGEREF _Tc18533 \h 49
\l "_Tc27267" 考点17 圆过定点问题 PAGEREF _Tc27267 \h 51
\l "_Tc14213" 考点18 与圆有关的轨迹问题 PAGEREF _Tc14213 \h 52
\l "_Tc5148" 考点19 与圆有关的对称问题 PAGEREF _Tc5148 \h 56
\l "_Tc23152" 考点20 直线与圆的位置关系的判断 PAGEREF _Tc23152 \h 58
\l "_Tc15962" 考点21 弦长问题 PAGEREF _Tc15962 \h 62
\l "_Tc19548" 考点22 切线问题 PAGEREF _Tc19548 \h 65
\l "_Tc6596" 考点23 切点弦问题 PAGEREF _Tc6596 \h 68
\l "_Tc7479" 考点24 圆上的点到直线距离个数问题 PAGEREF _Tc7479 \h 72
\l "_Tc6663" 考点25 圆与圆的位置关系 PAGEREF _Tc6663 \h 74
\l "_Tc28554" 考点26 两圆的公共弦问题 PAGEREF _Tc28554 \h 76
\l "_Tc9945" 考点27 两圆的公切线问题 PAGEREF _Tc9945 \h 79
\l "_Tc18010" 考点28 与圆有关的最值问题 PAGEREF _Tc18010 \h 84
\l "_Tc4289" 考点29 直线与圆的综合问题 PAGEREF _Tc4289 \h 92
考点01 直线的倾斜角与斜率
1．（2025·四川眉山·模拟预测）已知点，若向量是直线的方向向量，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据直线的方向向量、斜率公式及倾斜角与斜率的关系即可求解.
【详解】直线的斜率，
所以直线的倾斜角为.
故选：.
2．（2025高二·江西九江·阶段练习）已知直线的斜率，则的倾斜角的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用斜率的定义得到直线倾斜角的正切值的范围，再利用正切函数的性质即可得解.
【详解】设的倾斜角为，则，且，
如图，由正切函数的性质知.
故选：C.
3．（2025·江西新余·模拟预测）已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】求出直线的斜率的取值范围，利用直线倾斜角与斜率的关系可得出直线的倾斜角的取值范围.
【详解】直线的斜率为，设该直线的倾斜角为，则，
又因为，故.
故选：D.
4．【多选】（25-26高二·重庆·阶段练习）已知直线经过点，且不经过第四象限，则直线的斜率的取值可以是（ ）
A．0B．C．2D．3
【答案】ABC
【分析】求出极端位置的斜率即可得到答案.
【详解】如图，，，只有当直线落在图中所示位置时才符合题意，故.
对比选项可知ABC符合题意．
故选：ABC.
考点02 三点共线问题
5．（2024高三·全国·专题练习）若、、三点共线，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据斜率公式可得出，可得出实数的值.
【详解】由于、、三点共线，则，
即，解得.
故选：A.
6．（2025高二·全国·课后作业）若A(a，0)，B(0，b)，C(，)三点共线，则 .
【答案】
【分析】由斜率相等得的关系．
【详解】解析：由题意得，
ab+2(a+b)=0，．
故答案为：．
考点03 直线与线段的相交关系求斜率范围
7．（25-26高二·广西·阶段练习）直线过点，且与以为端点的线段有公共点，则直线的斜率范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】分别计算直线过点A，B的斜率，数形结合，即得解
【详解】

当直线过点B时，设直线的斜率为，则
当直线过点A时，设直线的斜率为，则
故要使直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，
则直线的斜率的取值范围为：或.
故选：B.
8．（2025·山西太原·模拟预测）已知点，与直线，且直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A．或B．或C．D．
【答案】A
【分析】直线经过定点，求得、的斜率，再数形结合可得直线的斜率的取值范围.
【详解】解：已知点，与直线，且直线与线段相交，
直线，即直线，它经过定点，
的斜率为，的斜率为，
则直线的斜率的取值范围为或，
故选：.
【点睛】本题主要考查直线的斜率，考查数形结合思想，属于基础题.
9．（25-26高二·广东佛山·阶段练习）已知的顶点坐标分别为、、，过原点斜率为的直线与的边有公共点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】作出图形，将过原点直线记为直线，将直线绕着原点按逆时针方向旋转，观察该直线倾斜角的变化，可得出的取值范围.
【详解】如下图所示：
将过原点直线记为直线，将直线绕着原点按逆时针方向旋转，
当的倾斜角为锐角时，且当直线从靠近轴的位置旋转至直线时，
此时直线的倾斜角逐渐增大，其斜率也在逐渐增大，则；
当的倾斜角为钝角时，且当直线从直线的位置旋转至靠近轴的位置时，
此时直线的倾斜角逐渐增大，其斜率也在逐渐增大，则，
当直线与轴重合时，.
综上所述，的取值范围是.
故选：D.
10．（2025·陕西渭南·模拟预测）已知，，点是线段（包括端点）上的动点，则的取值范围是 ．
【答案】[1，2]
【分析】可以看成过点与坐标原点的直线的斜率，数形结合即得解
【详解】设，则可以看成过点与坐标原点的直线的斜率.
当点在线段上由点运动到点时，直线的斜率由增大到，如图所示.

又，，所以，即的取值范围是[1，2].
故答案为：[1，2]
11．（25-26高二·广东揭阳·阶段练习）已知、，点在线段上，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据直线与倾斜角的关系，再结合数形结合可得.
【详解】由直线的斜率公式可得：；.

将看成线段上一点与定点连线的斜率，
结合图形，要使直线经过点，且与线段有交点，
的斜率需满足或.
故答案为：
考点04 求直线的方程
12．（25-26高二·江苏·阶段练习）直线经过点，且倾斜角为直线的倾斜角的一半，则的方程为 .
【答案】
【分析】易知直线的倾斜角为，所以直线的倾斜角为，求出直线的斜率，再由直线的点斜式方程可求得结果.
【详解】显然直线的斜率为，所以可知其倾斜角为，
所以直线的倾斜角为，其斜率为，
又直线过点，所以的方程为,
即.
故答案为：.
13．（2025高二·山东菏泽·期末）已知的三个顶点为，则边上的高所在直线的方程为 .
【答案】
【分析】由两点斜率公式求得，根据垂直直线的斜率关系求边上的高所在直线的斜率，再由直线的点斜式求边上的高所在直线的方程.
【详解】因为，
所以，设边上的高所在直线的斜率为，则
，所以，故边上的高所在直线的斜率为，
所以边上的高所在直线的方程为，即.
故答案为：.
14．（25-26高二·河南·阶段练习）经过点，且在轴和轴上截距相等的直线方程是（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】B
【分析】分别讨论截距为0和不为0两种情况，设出直线方程，将点代入求解即可.
【详解】当直线在轴和轴上截距都为0时，设直线方程为，将点代入解得，
此时直线方程为，
当直线在轴和轴上截距相等且不为0时，设直线方程为，将点代入解得，
此时直线方程为，
所以满足题意的直线方程为或，
故选：B
考点05 直线与坐标轴围成的三角形问题
15．（25-26高二·江西·阶段练习）已知为坐标原点，直线过点，且与轴负半轴交于点，与轴正半轴交于点，则的面积的最小值为（ ）
A．12B．C．8D．6
【答案】D
【分析】设直线的方程为，由题意得到，再结合基本不等式即可求解.
【详解】依题意设直线的方程为，则，
所以，，
所以，即，当且仅当时，等号成立，
所以的面积，
则的面积的最小值为6.
故选：D
16．（25-26高二·安徽·阶段练习）已知为坐标原点，过点的直线分别与轴的正半轴交于两点，则当的面积取得最小值时，直线的纵截距为（ ）
A．4B．7C．8D．14
【答案】D
【分析】设直线，根据已知有，再应用基本不等式求得，即可得面积最小值，确定等号成立条件即可得.
【详解】设直线，其中，而，解得，
当且仅当，即时等号成立，
故，此时直线的纵截距为14.
故选：D
17．（2025·辽宁大连·模拟预测）设，过定点的动直线和过定点的动直线相交于点不重合），则面积的最大值是（ ）
A．B．5C．D．
【答案】D
【分析】由题意结合直线位置关系的判断可得两直线互相垂直，由直线过定点可得定点与定点，进而可得，再利用基本不等式及三角形面积公式即得．
【详解】由题意直线过定点，
直线可变为，所以该直线过定点，
所以，
又，
所以直线与直线互相垂直，
所以，
所以即，
当且仅当时取等号,
所以，，即面积的最大值是.
故选：D.
18．（2025高三·全国·专题练习）已知直线过定点，分别交轴、轴于点，求解下列问题．
（1）当时，的面积的最小值是 ；
（2）当的面积时，直线的条数为 ；
（3）当的面积时，直线的条数为 ；
（4）当的面积时，直线的条数为 ；
（5）当时，的最小值是 ；
（6）当直线在轴、轴上的截距的绝对值相等时，直线的方程是 ；
（7）若，则的最小值是 ；
（8）若，则的最小值是 ；
（9）若，则周长的最小值是 ；
（10）若，则外接圆面积的最小值是 ．
【答案】 4 3 4 2 ，， 4 10
【分析】（1）根据截距式，结合基本不等式求解即可；（2）由题设，得到坐标，再利用即可求解；（3）根据（2），同理可求解；（4）根据（2），同理可求解；（5）根据（1）的截距式，结合基本不等式求解即可；（6）根据题意分截距为0及截距不为0两种情况进行讨论求解即可；（7）设，得到即可求解；（8）由（7）得，根据，其中，然后利用基本不等式结合三角恒等变形处理最值即可；（9）由题知，令，则式子化为,再利用基本不等式求最值即可；（10）由题知为外接圆直径，由（8）即可求解.
【详解】（1）由题意，设直线的截距式方程为,由点在直线上，可得，
由，解得，当且仅当，即时取等，
所以，即的最小值是4.
（2）由题知斜率存在，设，则，
所以，
或，
解得或，故共有三条直线满足条件．
（3）由题知斜率存在，设，则，
所以，
即或，
解得或，故共有四条直线满足条件．
（4）由题知斜率存在，设，则，
所以，
即或，
解得或，故共有两条直线满足条件．
（5）如图5,
因为，设，则，
当且仅当，即时，取最小值．
（6）如图6,
①当时，易得直线的方程为；
②当时，由，可得或，即或．
此时直线的方程为．
（7）如图7,
设，则（当时取等），
（8）如图8,
设，则，
不妨取，则
，（因）
当且仅当，即时取等，
所以，即，
又，当时取等，
所以，当且仅当时等号同时成立，
所以的最小值是.
（9）如图9,
设，则，，
．
令，
则上式化为
．
当，即时等号成立．
（10）如图10,
由于三角形是直角三角形，所以其外接圆的圆心在上，半径为,
故圆的面积取最小值，即长最小时，
．
．
故答案为：①4；②3；③4；④2；⑤；
⑥；⑦4；⑧；⑨10；⑩.
考点06 两直线的夹角问题
19．（25-26高二·江苏常州·阶段练习）直线与直线的夹角为 ．
【答案】
【分析】先求出两直线的斜率，再利用两直线夹角公式计算即得.
【详解】设直线和的斜率分别为，
则，
设两直线的夹角为，则，
因，则.
故答案为：.
20．（2025高一·上海嘉定·期中）直线与直线的夹角的大小为 ．
【答案】
【分析】根据直线方程确定直线的倾斜角大小，即可求夹角.
【详解】由的斜率为，故其倾斜角为，且的倾斜角为，
所以两直线夹角为.
故答案为：
21．（2025高二·上海·阶段练习）已知直线，，则与的夹角大小是 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，求出两条直线的倾斜角，进而求出它们的夹角.
【详解】直线的斜率为1，则倾斜角；
直线的斜率为，倾斜角，
所以与的夹角.
故答案为：
22．（2025高二·上海·课后作业）若直线过点且与直线，的夹角相等，则直线的方程是 ．
【答案】或
【分析】设直线斜率为，依题意可得，求出的值，再由点斜式写出直线方程即可.
【详解】直线的斜率，直线的斜率，
依题意直线的斜率存在，设斜率为，
所以，整理得，可得或，
又直线过点，则或，
整理得或.
故答案为：或
考点07 直线过定点问题
23．（25-26高二·天津西青·阶段练习）直线，无论取何值，该直线恒过定点（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将方程变形，解方程组即可得定点.
【详解】，即，
当时，解得，
故该直线过定点，
故选：B.
24．（25-26高二·全国·课后作业）不论为何实数，直线过定点（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】法一：直线方程可化为，解方程组即可求解；
法二：直线方程可化为，解方程组即可求解.
【详解】法一：直线方程可化为，
令，解得，即定点坐标为.
法二：直线方程可化为，
则，解得，即定点坐标为.
故选：B.
25．（25-26高二·辽宁沈阳·阶段练习）直线，恒过定点，则的值为（ ）
A．-5B．-4C．-3D．3
【答案】B
【分析】根据给定条件，列式求出定点坐标即得.
【详解】由整理得：，
由，解得，
即直线恒过点，故，所以.
故选：B
26．（25-26高二·江苏连云港·阶段练习）无论取任何实数，直线必经过一个定点，则定点的坐标是 （ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】分离参数，直线方程即，由求定点的坐标．
【详解】化简得，即，
由，所以直线过定点.
故选：B
27．【多选】（广东省多校2025-2026学年高二学期10月份联考数学试卷）已知直线，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则或
C．若，则D．若，则
【答案】AC
【分析】根据两直线平行和垂直分别列出方程求出的值，对照各选项即可判断.
【详解】若，则，解得或.
当时，，方程均为，此时与重合；
当时，，，此时.
所以时，，故A正确，B错误.
若，则，解得，所以C正确，D错误.
故选：AC.
28．【多选】（25-26高二·黑龙江大庆·阶段练习）已知直线：，：（），则（ ）
A．直线过定点B．当时，
C．当时，D．当时，两直线，之间的距离为2
【答案】AB
【分析】将直线变形为即可求解定点坐标，进而可判断A；将直线化为斜截式方程，再根据两直线垂直和平行满足的关系判断BC；根据两平行线间距离公式可判断D.
【详解】将直线的方程变形为，
由 ，则，因此直线过定点，故A正确；
当时，，，
斜率相等，纵截距不等，故两直线平行，故B正确；
当时，，：，
因斜率之积不为，故两直线不垂直，故C错误；
当时，则满足，解得，
此时：，：，则两直线间的距离为，故D错误．
故选：AB．
考点08 两直线位置关系的判定
29．【多选】（25-26高二·江西抚州·阶段练习）已知直线，下列选项正确的有（ ）
A．若，则斜率不存在
B．若不经过第三象限，则
C．若或-1，则
D．若，则
【答案】AC
【分析】由确定直线方程，可判断A，通过满足题意可判断B，由两直线位置与斜率的关系可判断CD.
【详解】对于A，当时，，斜率不存在，正确；
对于B，当时，不经过第三象限，错误；
对于C，当时，，此时；
当时，，垂直，正确，
对于D，当时，此时两直线重合，错误，
故选：AC
30．【多选】（25-26高二·山东青岛·阶段练习）若三条直线： ，：，：不能围成三角形，则的取值可以为（ ）
A．0B．C．1D．4
【答案】BCD
【分析】不能围成三角形可分为两种情况，一是三条直线交于同一个点，联立方程组即可求得的值.二是三条直线中有两条平行，由平行线斜率相等即可求得的值.
【详解】①三条直线交于同一点，
联立方程组得，解得，即.
②三条直线中由两直线平行，
，，，
∵
∴当时，，即，
当时，，即，
∴，
故选：BCD.
考点09 求与已知直线平行、垂直的直线方程
31．（2025·山东·模拟预测）已知直线与直线平行，且在轴上的截距是，则直线的方程是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】依题意设直线的方程为，代入求出参数的值，即可得解.
【详解】因为直线平行于直线，所以直线可设为，
因为在轴上的截距是，则过点，代入直线方程得，
解得，所以直线的方程是.
故选：C
32．（25-26高二·江苏·阶段练习）已知直线过点且与直线平行，则该直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先由平行得直线斜率，再由点斜式即可得解.
【详解】与直线即平行的直线斜率为，
所以过点且与直线平行的直线方程为即.
故选：B
33．（25-26高二·江苏连云港·阶段练习）过点且与直线垂直的直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设所求直线方程为，把点代入得的值即可.
【详解】设过点且与直线垂直的直线方程为.
把点代入得，解得c＝8，
所求直线的方程为.
故选：C.
34．（25-26高二·广西·阶段练习）根据下列条件分别写出直线的方程．并化为一般式方程．
(1)求经过点，且与直线平行的直线方程；
(2)已知点，．求线段的垂直平分线的方程；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设与直线平行的直线方程为，代点即可求解.
（2）根据点求中点坐标及其斜率，与线段的垂直的直线的斜率与，点斜式写直线方程即可.
【详解】（1）设与直线平行的直线方程为，过，则，则，所以直线的一般方程为.
（2）因为点，，中点为，，
则垂直平分线的斜率，则，
直线方程为，所以直线的一般方程为.
35．（2025·重庆·模拟预测）已知直线经过点，且，两点到直线的距离相等，则的方程为 .
【答案】或.
【分析】根据题意，分两种情况，分别求直线的斜率，即可求直线方程.
【详解】当直线与直线平行，或直线过线段的中点时，满足条件，
第一种情况：当直线与直线平行时，,此时直线的方程为，即，
第二种情况，当直线过线段的中点时，中点坐标，此时直线的斜率，方程为，即.
综上可知，直线的方程为或.
故答案为：或
考点10 两直线的交点与距离问题
36．（25-26高二·江西·阶段练习）过直线与直线的交点和原点的直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先解方程组得交点坐标，再由直线过原点即可求解.
【详解】由题，解得，则交点为，
又因直线过原点，所以直线斜率为，则直线方程为，即，故B正确.
故选：B.
37．（2025高二·福建泉州·期中）直线与线段没有公共点，其中，，则实数b的取值范围是 .
【答案】
【分析】数形结合即可求得的取值范围.
【详解】由题可知，当直线经过点时，
当直线经过点时，
当直线与线段没有公共点，
则或.
故答案为：.
38．（25-26高二·江苏镇江·阶段练习）直线与直线的交点在第四象限，则实数k的取值范围为 ．
【答案】
【分析】首先可得，再联立两直线方程求出交点坐标，由交点在第四象限，列不等式组求实数的取值范围.
【详解】由题意可得，两条直线不平行，故它们的斜率不相等，即，
由，解得，
因为两直线的交点在第四象限，则有，解得，
所以实数k的取值范围为.
故答案为：.
39．（2026高三·全国·专题练习）若三条直线相交于一点，则m的值为 .
【答案】
【分析】先由求得交点坐标，代入即可求解.
【详解】由，解得
所以，点满足方程，
即.
所以.
故答案为：
40．（2025高二·全国·专题练习）已知三条直线，与不能围成三角形，则a=（ ）．
A．B．C．D．或或
【答案】D
【分析】利用至少两直线平行或三条直线交于同一点进行求解．
【详解】三条直线，与不能围成三角形，
①若与直线平行，
则，解得，经检验满足要求；
②若与直线平行，
则，解得，经检验满足要求；
③若三条直线交于同一点，则联立，得，
∴交点坐标为，代入直线，得，
∴．
综上所述，则或或.
故选：D.
41．（25-26高二·山西晋中·阶段练习）函数的最小值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【分析】根据两点间距离公式，结合两点间线段最短进行求解即可.
【详解】由，
设，，.
得的几何意义为的值.
点关于轴对称点，
所以.
故选：B
42．（25-26高二·江苏盐城·阶段练习）著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】将转化成到点的距离与到点的距离之差，再结合和两点间的距离公式进行求解．
【详解】由，
可转化成轴上一点到点的距离与到点的距离之差，
则（当且仅当三点共线时取等号），
所以的最大值为．
故选：D
43．（25-26高二·河南·阶段练习）已知，是直线上的两点，若，则 ．
【答案】13
【分析】根据题意结合直线方程可得，再利用两点间距离公式运算求解.
【详解】因为，在直线上，则，．
又因为，则，
所以．
故答案为：13.
44．（25-26高二·山东菏泽·阶段练习）求点到直线的距离.（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用点到直线的距离公式即可求解.
【详解】由题意有：，
故选：B.
45．（2025·广东深圳·模拟预测）点关于直线的对称点为，则点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由对称关系求得，再由点到线距离公式求解；
【详解】设关于直线的对称点为，
由对称关系可得，
解得．
则点到直线：的距离为．
故选：C．
46．（2025·上海浦东新·模拟预测）设点满足，则“”是“为定值”的（ ）.
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据几何意义，将所求式转化为点到直线的距离，进而研究图像求解.
【详解】若为定值，
即点到直线两条直线距离之和为定值，
显然，这两条直线平行，如图，

所以当点在与这两条直线平行的直线上时，此时直线满足且，
即，且，为定值，
所以“”是“为定值”的必要不充分条件.
故选：B
47．（2025·四川成都·模拟预测）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出，然后由平行线之间的距离求解即可.
【详解】直线即直线，与直线平行，则，
故所求即为平行直线与之间的距离，
即所求为.
故选：B.
48．（2025高二·新疆省直辖县级单位·阶段练习）若两平行直线与之间的距离是，则（ ）
A．B．2C．0D．
【答案】D
【分析】利用两直线平行求得的值，再根据两平行直线的距离公式计算求得的值即得.
【详解】因直线与直线平行，则，即
又因直线与直线的距离为，
则有，即解得或（舍去），
故.
故选：D
考点10 有关距离的最值问题
49．（25-26高二·山东菏泽·阶段练习）点到直线的距离的最大值是（ ）
A．2B．C．D．4
【答案】C
【分析】利用点到直线距离公式和辅助角公式得到，结合正弦函数有界性求出最大值.
【详解】点到直线的距离为
，
由于，
故当时，取得最大值，最大值为.
故选：C
50．（2025·重庆·模拟预测）当点到直线l：的距离最大时，实数的值为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【分析】先求得直线过的定点，再由点P与定点的连线与直线垂直求解.
【详解】直线l：，
整理得，
由，可得，
故直线恒过点，
点到的距离，
故；
直线l：的斜率，
故，解得
故选：B.
51．（2025高二·湖北荆门·期中）已知直线：及点，点Q在l上，当的值最大时，点的坐标为 ，的最大值为 .
【答案】 .
【分析】由图，求出B关于l的对称点为的坐标，当A，，Q三点共线时，可求的最大值及相应Q坐标.
【详解】如图，设B关于l的对称点为，因，
则，即.
连接，则所在的直线方程为.
由得与l的交点为，记此点为Q，又在直线任取一点M，
连接BM，，由对称性，，则
当A，，M三点共线时，即M与Q重合时，
此时的值最大且为.
故答案为：；
52．（2025高二·河南南阳·期末）点为两条直线和的交点，则点到直线：的距离最大为（ ）
A．B．C．D．5
【答案】B
【分析】求出点坐标，且直线过定点，当直线与直线垂直时，此时点到直线的距离最大，利用两点间的距离公式计算可得答案.
【详解】由得，即，
直线：，所以直线过定点，
所以当直线与直线垂直时，此时点到直线的距离最大，
且最大值为.
故选：B.
53．【多选】（2025高二·福建厦门·期中）已知点和是直线上的动点，则（ ）
A．的最小值是
B．的最大值是
C．存在，使最小
D．存在，使最小
【答案】ABD
【分析】求出关于直线的对称点坐标，即为的最小值，判断A
的最大值为（是直线与的交点），判断B，
线段的垂直平分线与的交点使得最小为，判断C，
利用函数性质可得的最小值，从而判断D．
【详解】在平面直角坐标系中作出点和直线，
由图可知，点和在直线同侧，
设点关于直线的对称点为，
则有，解得，得，
则，当且仅当为直线与直线的交点时，有最小值，
直线的斜率为，方程为，
由，解得，
所以存在，使最小，
最小值为，A选项正确；

又，当且仅当为直线与直线的交点时有最大值，
直线的方程为，即，
由，解得，
存在，使最大，最大值为，B选项正确；
最小值为，当且仅当，即为线段的垂直平分线与直线的交点，
的中点坐标为，直线的斜率为，
则线段的垂直平分线方程为，即，
由，解得，
存在，使最小，C选项错误
设，
当时有最小值，此时，
所以存在，使最小，D选项正确.
故选：ABD．
考点11 直线的对称问题
54．（2025高二·上海·阶段练习）点关于直线的对称点为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设点关于直线的对称点为，列出方程组，即可求解.
【详解】设点关于直线的对称点为，
则满足，解得，即.
故选：C.
55．（2025高二·湖北·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分析可知，直线为线段的垂直平分线，求出线段的垂直平分线方程，即为所求.
【详解】由题意可知，直线为线段的垂直平分线，且，
所以直线的斜率为，
又因为线段的中点为，所以直线的方程为，
整理可得.
故选：C.
56．（2025高三·全国·专题练习）与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设出所求对称直线上的点的坐标，求出关于原点的对称点坐标，代入已知直线方程，即可.
【详解】设直线上一点关于坐标原点对称的点为，
则，，解得，，
代入，得，
即所求直线的方程为．
故选：D．
57．（25-26高二·北京·阶段练习）与直线关于y轴对称的直线的方程为（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据点关于y轴对称的点为，利用相关点法求直线方程.
【详解】在所求直线上任取一点，则点关于y轴对称的点为，
可知点在直线上，可得，即，
所以所求直线方程为.
故选：A.
58．（2025高二·江苏苏州·期末）直线关于直线：对称的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先求两直线的交点，再在直线取点，求点关于直线的对称点，依据两点，，可得所求直线的方程.
【详解】联立，解得.则交点坐标为.
取直线上一点，设点关于直线：的对称点为，
则由，且线段的中点在直线上，
得，解得.
故所求直线过点，.
所以所求直线方程为：，即.
故选：B
59．（25-26高二·河北邯郸·阶段练习）已知一条入射光线经过两点，经轴反射后，则反射光线所在直线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求得关于轴的对称点，即可求解.
【详解】关于轴的对称点坐标分别为，
由对称性可知反射光线经过，，
所以反射光线所在直线方程为，
即.
故选：C
60．（25-26高二·江苏·阶段练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A．4B．5C．D．
【答案】B
【分析】求出点关于直线的对称点坐标，再由两点间距离公式计算可得结果.
【详解】设关于直线的对称点，如下图所示：

则，解得，即
此时即为最短路程，易知.
所以最短总路程为.
故选:C
考点12 直线系方程
61．（2025高二·全国·课后作业）过两直线和的交点和原点的直线方程为（ ）
A．3x-19y=0B．19x-3y=0
C．19x+3y=0D．3x+19y=0
【答案】D
【分析】设过两直线交点的直线系方程为，代入原点坐标，得，求解即可.
【详解】设过两直线交点的直线系方程为，
代入原点坐标，得，解得，
故所求直线方程为，即.
故选：D.
62．（2025高二·重庆·阶段练习）经过直线和的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【分析】设直线方程为，求出其在两坐标轴上的截距，令其相等，解方程即可求出结果.
【详解】解：设直线方程为，
即
令，得，
令，得.
由，
得或.
所以直线方程为或.
故选：C.
【点睛】此题是一道中档题也是一道易错题，要求学生会利用待定系数法求直线的方程，学生做题时往往会把过原点的情况忽视导致答案不完整.
63．（2025高三·全国·专题练习）已知直线，直线过与的交点且过点，求的方程．
【答案】
【分析】点坐标代入方程可得答案.
【详解】由题意可设的方程为．
因为过点，
所以，解得，
所以的方程为，
即．
考点13 直线方程的综合应用
64．（25-26高二·广东·阶段练习）已知直线.
(1)求证：直线过定点；
(2)若当时，直线上的点都在轴下方，求的取值范围；
(3)若直线与轴的负半轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是坐标原点，设三角形的面积为S，求S的最小值及此时直线的方程.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)最小值为2，直线的方程为.
【分析】（1）变形得，求出直线过定点；
（2）根据题意，只需保证区间端点和对应的函数值不大于0，列出不等式组求解即可；
（3）求出直线与两坐标轴负半轴的交点的坐标，用表示的面积，再利用基本不等式求出最小值.
【详解】（1）由，得.
由直线方程的点斜式可知，直线过定点；
（2）若当时，直线上的点都在轴下方，则
解得，所以k的取值范围是；
（3）由题意直线过定点，且与轴的负半轴交于点､与轴的负半轴交于点，
则直线的斜率，
当时，得，当时，得，则，且，
所以
，
当且仅当，即时，又，所以当时取“”，
S的最小值为2，此时直线的方程为.
65．（2025高二·北京大兴·期中）已知直线l1，l2的方程分别是，点A的坐标为（）.过点A的直线l的斜率为k，且与l1，l2分别交于点M，N（M，N的纵坐标均为正数）.
(1)若，且A为线段MN中点，求实数a的值及的面积；
(2)是否存在实数a，使得的值与k无关？若存在，求出所有这样的实数a；若不存在，说明理由.
【答案】(1)，
(2)存在，
【分析】（1）由直线的方程为，联立方程组分别求得点的坐标，结合题意，列出不等式组，求得，进而求得的值，结合三角形的面积公式，即可求解；
（2）假设存在满足题意的 ，使得的值与无关，由（1）求得， 得到，进而得到结论.
【详解】（1）

因为直线 l过点，且斜率为，所以直线的方程为，
因为直线与分别交于点，所以 ，
由 ，解得 ，即 ，
由 ，解得 ，即，
又因为的纵坐标均为正数，所以 ，即，
因为 ，所以
若时，，，
又因为点为线段中点，所以解得，
所以，，所以，的面积．
（2）假设存在满足题意的，使得的值与无关，
由（1）知：， 且，
因此，，
所以，
因为 ，所以当时，为定值，
所以存在实数，使得的值与无关．
【点睛】关键点点睛：（2）假设存在满足题意的 ，使得的值与无关，求得，， 得到，进而得到结论.
66．（2025高二·贵州遵义·阶段练习）已知的三个顶点是，，．
(1)过点的直线与边相交于点，若的面积是面积的3倍，求直线的方程；
(2)求的角平分线所在直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，根据平面向量的坐标关系确定，即可列方程得的坐标，从而可得直线方程；
（2）利用对称性结合直线方程确定关于直线对称的点为的坐标关系式，即可得所求.
【详解】（1）设则，
因为的面积是面积的3倍，所以，
则解得
故直线的方程为，即
（2）显然，的斜率存在且不为零，设的方程为，
则过点且与垂直的直线的方程为
设点关于直线对称的点为，
因为直线的方程为，
所以
整理得
因为，所以，解得或
又，，所以，
故直线的方程为，即
67．（2025高二·安徽·阶段练习）已知为坐标原点，，过点且斜率为的直线与轴负半轴及轴正半轴分别交于点.
(1)求的最小值；
(2)若的面积为，且对于每一个的值满足条件的值只有2个，求的取值范围.
【答案】(1)4
(2).
【分析】（1）设的倾斜角为，根据题意求得，得到，结合三角函数的性质，即可求解；
（2）设的方程为，求得，得到，转化为方程有2个不同的正根，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】（1）解：因为过点且斜率为的直线与轴负半轴及轴正半轴分别交于点，
如图所示，可得斜率，设直线的倾斜角为，
则，所以，
可得，
所以当时，即时，取得最小值.
（2）接：根据题意，设直线的方程为，即，
可得，所以，
整理得，
因为对于每一个的值满足条件的值只有2个，所以该方程有2个不同的正根，
则满足，解得，所以的取值范围是.
考点14 求圆的方程
68．（25-26高二·江苏镇江·阶段练习）过点，，的圆的圆心坐标为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】圆过，这两个点，利用圆心在线段的垂直平分线上，得到圆心在直线上，此时设圆心的坐标为，利用半径相等，使用两点间距离公式，列出关于的等式，求解即可.
【详解】圆过点，，
圆心在直线上，
设圆心坐标为，
圆过点，，
，
，
圆心坐标为.
故选：B.
69．（2025·北京海淀·模拟预测）圆心为且与轴相切的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】首先得到半径，即可得到圆的方程.
【详解】因为圆心为且与轴相切，所以半径，
则圆的方程为.
故选：D
70．（2025高二·重庆·阶段练习）已知、，则以为直径的圆的一般方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】求出的中点和可得以为直径的圆的圆心坐标和半径，进而得所求圆的标准方程，再将其转化为一般方程即可得解.
【详解】已知、，则中点坐标为即.
，
所以以为直径的圆的圆心为，半径为.
所以圆的标准方程为，展开可得，
整理得.
故选：B.
考点15 用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件
71．（25-26高二·重庆·阶段练习）已知方程表示圆，则k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】化简为圆的标准方程，再根据半径平方大于零即可求解．
【详解】将方程配方，得，
因为方程表示圆，所以半径的平方，解得，即的取值范围是．
故选：D．
72．（25-26高二·江苏·阶段练习）若方程表示一个圆，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将圆的一般方程写成标准方程，再根据等号右边的式子大于0，即或求解.
【详解】原方程可化为，方程表示圆，则有，即.
故选：C.
73．（25-26高二·山西晋中·期中）已知圆的方程为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据圆的一般式方程满足的条件列不等式求解即可.
【详解】由题意得，解得.
故选：D.
74．（25-26高二·宁夏银川·阶段练习）“关于x，y的方程：表示圆”是“”的（ ）
A．必要不充分条件B．充要条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据方程表示圆求出参数的取值范围，再由充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】若表示圆，则，解得或，
故“关于x，y的方程：表示圆”是“”的必要不充分条件．
故选：A
75．（25-26高二·安徽·阶段练习）已知点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】借助圆的一般方程定义及点与圆的位置关系计算即可得.
【详解】因为曲线表示圆，点在圆的外部，
所以，整理得，
由可得，
由可得或，
故.
故选：D.
76．（2025高一·重庆·期末）若方程表示圆，且圆心位于第四象限，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将方程化成，再利用条件列不等式求解即可.
【详解】因为方程可变形为，
由题知，解得，实数的取值范围是.
故选：C
考点16 点与圆的位置关系判断
77．（2025·河北邯郸·模拟预测）“”是“点在圆外部”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由点在圆外结合二次方程表示圆的条件可将“点在圆外部”化为，据此可得答案.
【详解】因点在圆外部，
则，即，
解得：.
注意到是的真子集，
则由“”不能得到“点在圆外部”，
由“点在圆外部”可得到“”，
即“”是“点在圆外部”的必要不充分条件.
故选：B
78．（2025高二·山东青岛·阶段练习）已知点关于直线对称的点在圆上，则（ ）
A．4B．5C．-4D．-5
【答案】B
【分析】先求出点的对称点，代入圆的方程求解即可.
【详解】设，则
所以
由题可知，
故选：B
79．（2025·贵州黔南·模拟预测）已知直线与直线的交点在圆的内部，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】联立直线可得其交点坐标，由该点在圆的内部计算即可得.
【详解】联立，解得，即点在圆的内部，
即有，解得.
故选：D.
考点17 圆过定点问题
80．（2025高二·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】将方程进行变形整理，解方程组即可求得结果.
【详解】圆的方程化为，
由得或，
故圆恒过定点．
故选：D．
81．（2025高二·河北沧州·期末）已知点为直线上任意一点，为坐标原点．则以为直径的圆除过定点外还过定点（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设垂直于直线，可知圆恒过垂足；两条直线方程联立可求得点坐标.
【详解】设垂直于直线，垂足为，则直线方程为：，
由圆的性质可知：以为直径的圆恒过点，
由得：，以为直径的圆恒过定点.
故选：D.
82．（2025高二·安徽·阶段练习）若圆过坐标原点，则实数m的值为（ ）
A．1B．2C．2或1D．－2或－1
【答案】A
【分析】把坐标代入圆方程求解．注意检验，方程表示圆．
【详解】将代入圆方程，得，解得或2，当时，，舍去，所以.
故选：A．
考点18 与圆有关的轨迹问题
83．（25-26高二·江苏·阶段练习）已知定点，点P是圆上一动点，点Q是线段AP的中点，则点Q的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设点，结合中点坐标公式可得，进而代入即可求解.
【详解】设点，，定点，点Q是线段AP的中点，
所以，则，即，
又因为动点P在圆上，所以，
则，所以点Q轨迹方程为.
故选：A
84．（2025高二·云南·阶段练习）已知动点M与两个定点，，且，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用动点与定点的距离之比为2，坐标化可以得到点的轨迹方程，数形结合即可求解.
【详解】设动点，则，化简得，
所以点M的轨迹为圆E：，
如图，过点O作圆E的切线，切点分别为M、，连接，
则，，所以，同理，
则直线的斜率范围为.
故选：C.
85．（25-26高二·江苏连云港·阶段练习）已知点和点，动点与点的距离是它与点的距离的倍，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设，根据可整理得到结果.
【详解】由题意知：，
设，则，
，整理可得：，
即点的轨迹方程为：.
故选：D.
86．（25-26高二·江西萍乡·阶段练习）已知点，若圆上存在点A，使得线段PA的中点也在圆O上，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先利用相关点法求出PA的中点的轨迹方程，由题意，圆与圆有公共点，利用两圆位置关系的判断方法即可求得参数a的范围.
【详解】设A的坐标为，PA的中点坐标为，
则有：，
由①，②可得，
代入③ ，可得，
即，
又线段PA中点也在圆O上，即两圆有公共点，
所以，
解得，即.
故选：A.
87．（25-26高二·湖南长沙·阶段练习）已知点，直线与直线交于点，则的值可以为（ ）．
A．7B．6C．8D．19
【答案】C
【分析】由题意确定直线与互相垂直，得到点轨迹，即可求解.
【详解】由题意可知，当时，直线与互相垂直，
当时，，直线与互相垂直，
且直线经过定点，直线经过定点，所以.
设，则，即，
则点在以点为圆心，5为半径的圆（除去与、）上，
所以的最大值为，
最小值为.
故的取值范围是.
故选：C
88．（2025高二·江苏南京·阶段练习）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（ ）
A．(B．
C． D．
【答案】B
【分析】设，，由，得到，代入圆方程即可求解.
【详解】设，，由，得，
所以，
又因为点在圆上，
所以，即.
故选：B
考点19 与圆有关的对称问题
89．（25-26高二·浙江·阶段练习）已知圆关于直线对称，则（ ）
A．4B．-4C．2D．-2
【答案】A
【分析】由对称轴过圆心求解.
【详解】由题意得：圆关于直线对称，即直线经过圆的圆心，所以.
故选：A.
90．（2025高二·四川成都·期末）圆关于直线对称后的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】依题意求得圆的圆心关于直线的对称点坐标，即可得出结果.
【详解】易知圆的圆心为，
设关于直线对称点为，
所以，解得，
因此对称后圆的圆心为，半径为，
即可得方程为.
故选：A
91．（2025高一·重庆·期末）若圆上有两点关于直线对称，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【分析】由题意可知直线必过圆心，从而得，再利用二次函数性质求解最小值即可.
【详解】由圆的对称性可得，直线必过圆心，所以．
所以，
所以，时，取到最小值为.
故选：B．
92．（2025高二·湖南永州·期中）已知圆关于直线(为大于0的常数)对称，则ab的最大值为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】A
【分析】由圆的对称性可得直线过圆心，进而根据基本不等式求最大值即可.
【详解】由题意，圆的标准方程为，则圆心为，半径，
由圆关于直线对称，得在直线上，则，
因为，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立；
因此，ab的最大值为，
故选：A
考点20 直线与圆的位置关系的判断
93．（25-26高二·江苏·阶段练习）对于圆C：，直线l：，点在圆C外，则直线l与圆C（ ）
A．相切B．相交C．相离D．不确定
【答案】B
【分析】根据点与圆的位置关系，判断坐标参数的关系，根据圆心到直线的距离公式，判断直线与圆的位置关系.
【详解】由圆C：，可知圆心，半径为，由点在圆C外，可知，
可得，
圆心到直线的距离，
因为，所以，所以直线与圆相交；
故选：B.
94．（25-26高二·河北邢台·阶段练习）已知直线与圆，则直线与圆的位置关系是（ ）
A．相离B．相切
C．相交D．与的取值有关
【答案】C
【分析】计算出圆心到直线的距离与半径长度相比较即得.
【详解】由题意可得圆的圆心坐标为，半径，
圆的圆心到直线的距离，
因为，所以，则直线与圆相交.
故选：C.
95．（25-26高三·广西柳州·开学考试）直线与圆的位置关系为（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不确定的
【答案】C
【分析】由圆心到直线的距离和半径的大小关系即可判断.
【详解】由，
可知：圆心，半径为，
圆心到直线的距离，
所以直线与圆的位置关系为相离，
故选：C
96．（25-26高二·江苏·阶段练习）已知直线和圆，若直线与圆相切，则（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【分析】由直线与圆相切，可得圆心到直线的距离等于半径，列方程可求出的值.
【详解】圆，则圆心为，半径为，
因为直线即和圆相切，
所以，平方得，解得或.
故选：C
97．（25-26高二·陕西·阶段练习）若方程恰有两个不等的实根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】将化为，作出直线与半圆的图形，利用两个图形有个公共点，求出切线的斜率，观察图形可得解.
【详解】由得，
所以直线与半圆有个公共点，
作出直线与半圆的图形，如图：
当直线经过点时，，
当直线与圆相切时，，
解得或（舍），
由图可知，当直线与曲线有个公共点时，.
故选：C.
98．（25-26高二·天津·阶段练习）若直线与曲线至少有一个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题设可得直线恒过定点，曲线表示以为圆心，1为半径的圆的右半部分，进而结合图象及直线与圆的位置关系求解即可.
【详解】由直线，恒过定点，
曲线，即，
该曲线表示以为圆心，1为半径的圆的右半部分，如图，

当直线与该半圆相切时，，且，解得；
当直线过点时，有，解得，
结合图象可知，要使直线与该半圆至少有一个公共点，
则，即实数的取值范围是.
故选：B
99．（2025高三·河南南阳·期末）直线交圆于、两点，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【分析】直线与圆方程联立，求出点坐标，再根据平面向量数量积的坐标运算，可求.
【详解】联立解得：，，
所以.
故选：D
100．（2025高二·浙江嘉兴·期末）直线与曲线的交点个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据题意，由曲线表示一条直线与一个圆，然后分别联立方程，即可得到交点个数.
【详解】因为曲线就是或，表示一条直线与一个圆，
联立，解得，即直线与直线有一个交点；此时，没有意义.
联立，解得或，所以直线与有两个交点.
所以直线与曲线的交点个数为2个.
故选：B
考点21 弦长问题
101．（25-26高二·河南·阶段练习）已知直线与圆相交于两点，则（ ）
A．2B．2C．2D．3
【答案】B
【分析】利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再结合弦长公式求解即可.
【详解】设圆心到直线的距离为，
由点到直线的距离公式得，
因为圆的半径为2，所以，
故选：B
102．（25-26高二·湖北·期中）已知三点，记的外接圆为圆.
(1)求圆的方程；
(2)若直线与圆交于两点，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设圆的一般方程为，将三点代入得到方程组，求出，即可得到圆的方程；
（2）先求出圆心到直线的距离，再利用勾股定理求出弦长，即可求出的面积.
【详解】（1）设圆的一般方程为，
将三点代入上式可得，，
解得，
所以圆的一般方程为
将其化为标准方程为；
（2）由（1）可知，圆心，半径.
则圆心到直线的距离为，
所以，
故的面积为.
103．（2025高二·四川凉山·期末）若直线被圆C截得的弦长为，则（ ）
A．±2B．C．2D．2
【答案】A
【分析】由直线和圆相交时的弦长公式求解即可.
【详解】由题意可得圆的圆心为，半径，
则圆心到直线的距离，
又因为截得的弦长为，
所以，
化简得，解得.
故选：A.
104．（2025高三·全国·专题练习）已知一条直线截圆所得的弦长为定值，则该定值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】对圆的方程进行变形，列出方程组，解方程组即可得到动圆恒过的两个定点，最后使用两点间距离公式解出定弦长.
【详解】由可得，
令，解得或，
故动圆恒过两个定点，
故定弦长为.
故选：A.
105．（25-26高二·江西抚州·阶段练习）已知直线与圆相交于两点，则当取最小值时，（ ）
A．1B．-1C．D．2
【答案】B
【分析】首先求出直线恒过定点，结合圆的性质得到当时，取得最小值，再根据垂直关系求解即可.
【详解】直线化简为，即直线恒过定点.
当时，取得最小值.
，则直线的斜率为，解得.
故选：B
106．（2025高三·全国·专题练习）是半径为5的圆上的定点，是圆上的动弦，且弦长为6，则的最大值为（ ）
A．30B．36C．54D．60
【答案】D
【分析】取中点，，由射影可得最大值.
【详解】如图，取中点，则
．
由图可知，射影．
当时，为最大值，
故选：D.
考点22 切线问题
107．（2025高二·贵州黔西·期末）过原点且与圆相切的直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】判断原点与圆的位置关系，再求出切线方程.
【详解】原点在圆上，而圆心，
直线斜率为，因此切线的斜率为，方程为，即.
故选：A
108．（25-26高二·江西·阶段练习）过点作圆：的切线，则的方程为（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】B
【分析】根据给定条件，按直线的斜率是否存在分类，利用点到直线距离公式列式求解.
【详解】圆：的圆心，半径，
点到直线的距离为，则直线的方程可为；
当的斜率存在时，设的方程为，由直线与圆相切，得，
解得，则的方程为，即，
所以直线的方程为或.
故选：B
109．（25-26高三·安徽·开学考试）已知过点与圆相切的两条直线的夹角为α，则tanα＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出圆心和半径，得到点到圆心的距离为，从而得到，由正切二倍角公式进行求解即可.
【详解】变形为，
故圆心为，半径为2，所以点到圆心的距离为，
则切线长为，所以，则.
故选：D．
110．（2025高二·甘肃·期末）过圆外的点作O的一条切线，切点为A，则（ ）
A．B．C．D．5
【答案】B
【分析】根据圆的方程可得圆心和半径，结合切线的性质求切线长.
【详解】由题意可知：圆O的圆心为，半径，
所以，即．
故选：B.
111．（2025·四川成都·模拟预测）过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（ ）
A．B．5C．D．
【答案】A
【分析】根据圆的标准方程得出圆心坐标与半径，再利用切线的性质得到与的关系，最后根据的最小值求出的最小值.
【详解】已知圆的方程为，可得圆心，半径.
因为PQ为圆的切线，所以，
在中，根据勾股定理可得.
已知，则.
点，根据两点间距离公式，可得.
因为，当且仅当时，，此时取得最小值，.
因为，当取最小值时，，
则.
的最小值为.
故选：A.
考点23 切点弦问题
112．（23-24高三下·海南·阶段练习）过点作圆的两条切线，设切点分别为，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据条件，得到圆心为，半径为，从而得到，，再利用等面积法，即可求出结果.
【详解】因为，即，故圆心为，半径为，
又，所以，故切线长，
由，得到，
故选：C.
113．（22-23高二下·河南漯河·期末）设点P为直线l：上任意一点，过点P作圆O：的切线，切点分别为A，B，则直线AB必过定点（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，设为直线上的一点，由切线的性质得点、在以为直径的圆上，求出该圆的方程，与圆的方程联立可得直线的方程，将其变形分析可得直线恒过的定点.
【详解】如图，连接，，
根据题意，设为直线上的一点，则，
由于为圆的切线，则有，，
则点、在以为直径的圆上，
以为直径的圆的圆心为，半径，
则其方程为，变形可得，
联立可得直线AB：，
又由，则有AB：，
变形可得，
则有，解可得，故直线恒过定点.
故选：B.
114．（2024·广西南宁·三模）已知圆，点在线段（）上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，以为直径作圆，则圆的面积的最大值为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意得，进而分析得当最大时，圆的面积的最大，求出最大值，即可求解．
【详解】由题可知，，，，，为锐角，
当圆的面积取最大值时最大，
而，
所以，
因为点在线段（）上，
所以，
故，即圆半径的最大值为，
所以圆的面积的最大值为，
故选：D．
115．（23-24高二上·浙江·期末）已知圆与直线，过上任意一点向圆引切线，切点为和，若线段长度的最小值为，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】推导出垂直平分，分析可知，当取最小值时，取最小值，此时，，利用点到直线的距离公式可得出关于的等式，解之即可.
【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，如下图所示：
由圆的几何性质可知，，
因为，，，所以，，
所以，，则，
设，则为的中点，
由勾股定理可得，
由等面积法可得，
所以，当取最小值时，取最小值，由，可得，
所以，的最小值为，当与直线垂直时，取最小值，
则，因为，解得.
故选：D.
【点睛】方法点睛：本题考查圆的切点弦长的计算，一般方法有如下两种：
（1）求出切点弦所在直线的方程，然后利用勾股定理求解；
（2）利用等面积法转化为直角三角形斜边上的高，作为切点弦长的一般求解.
考点24 圆上的点到直线距离个数问题
116．（25-26高二上·山东·阶段练习）已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于的点的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】先确定圆的圆心坐标与半径, 再求出圆心到直线的距离, 从而可得结论.
【详解】由，可得，
所以圆心的坐标为, 半径为，
所以圆心到直线的距离为，
所以圆与直线相交，且圆上与直线的距离等于的点共有3个.
故选：B.
117．（24-25高二上·吉林长春·期中）已知圆，直线，则圆上到直线的距离为的点的个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出与直线平行且与直线的距离为的直线的方程，判断出圆与两平行线间的位置关系，即可得出结论.
【详解】设与直线平行且与直线的距离为的直线的方程为，
由平行线间的距离公式可得，解得或，
圆的圆心为，半径为，
显然直线过圆心，圆心到直线的距离为，
所以，直线与圆相交，直线与圆相切，
所以，圆上到直线的距离为的点的个数为.
故选：C.
118．（25-26高二上·重庆·开学考试）直线的方程为，则圆上到直线距离为1的点的个数为（ ）
A．4B．2C．1D．3
【答案】D
【分析】求出圆心和半径，得到到的距离为，从而得到到直线距离为1的点的个数为3.
【详解】，故圆心为，半径为3，
到的距离为，
又，故过点作垂直与圆交于点，在上取点，使得，
过点作⊥，交圆于点，
所以圆上到直线距离为1的点的个数为3，分别为.
故选：D
考点25 圆与圆的位置关系
119．（25-26高二上·江苏连云港·阶段练习）圆和圆的位置关系是（ ）
A．内含B．相交C．内切D．外切
【答案】B
【分析】求出两圆心距，与半径之差的绝对值，半径之和比较大小即可判断.
【详解】圆，，圆心分别为，，半径分别为，.因为，，，因为，所以两圆相交.
故选：B.
120．（25-26高二上·湖南长沙·阶段练习）圆与圆的位置关系为（ ）．
A．内切B．相交C．外切D．外离
【答案】C
【分析】分别计算得到两圆圆心和半径，根据得到答案.
【详解】，即，圆心，半径，
，圆心为，，
，故两圆外切.
故选：C.
121．（25-26高二上·北京·阶段练习）已知圆与圆外切，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出两圆的圆心和半径，再利用两圆外切列方程求解.
【详解】圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
由圆外切，得，则，
所以.
故选：C
122．（25-26高二上·河南驻马店·阶段练习）若圆上总存在两个点到点的距离为6，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据圆的定义、两圆相交的性质进行求解即可.
【详解】，圆心，半径为，
设动点到点的距离为6的轨迹为圆，圆心为，
因为圆上总存在两个点到点的距离为6，
所以圆与圆相交，
于是有，
解得，或，
故选：C
考点26 两圆的公共弦问题
123．（25-26高二上·江西·阶段练习）已知圆与圆 交于A，B两点，则直线AB的一般式方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据公共弦直线方程的求解方式，用两圆联立相减即可.
【详解】联立
两式相减可得.
故选：D.
124．（25-26高二上·河北邢台·阶段练习）已知圆与圆相交于两点，则点到直线的距离是（ ）
A．3B．C．D．2
【答案】B
【分析】利用两圆的公共弦方程结合点到直线的距离计算即可.
【详解】由题意可得直线的方程为，
即0，则点到直线的距离是.
故选：B
125．（25-26高二上·山西临汾·阶段练习）已知圆，圆，则两圆的公共弦长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】两圆的方程作差可得到两圆的公共弦所在直线方程，联立公共弦所在直线方程与圆，求出交点，即得答案.
【详解】设圆，圆相交于两点，
把圆，化为一般式，
：，
，
，
：，
，
，
两圆作差得：
，
，
公共弦所在直线方程为 .
联立直线方程与圆得：，
解得或，
交点为 和 .
.
故选：C

126．（25-26高二上·全国·单元测试）若圆，圆的两交点分别为A，B，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】方法一：求得相交弦方程，由圆的圆心为，半径为2即可求解；方法二：联立两圆的方程把两点坐标求出来即可.
【详解】方法一 将两圆的方程作差，可得，即直线AB的方程为，圆的圆心为，半径为2，
则到直线的距离为，故．
方法二 联立解得或
所以．
故选：B.
127．（25-26高二上·黑龙江大庆·阶段练习）已知圆和圆，若点在两圆的公共弦上，则的最小值为（ ）
A．2B．4.5C．5D．6.5
【答案】B
【分析】计算两圆圆心距离及其半径之和与之差的关系可得两圆位置关系，则可将两圆方程相减得到公共弦方程，再利用基本不等式中“1”的活用计算即可得.
【详解】由题意可得圆圆心为，半径，圆圆心为，半径，
则，，，
则，故两圆相交，
则其公共弦的方程为，
即为，则在，即有，
则，
当且仅当，即、时等号成立，即的最小值为.
故选：B.
考点27 两圆的公切线问题
128．（25-26高二上·山西晋中·阶段练习）圆：与圆：公切线的条数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】求出两圆圆心距离和半径后，可得位置关系，由位置关系可得公切线的条数.
【详解】由圆，得圆心，半径；
由圆，得，即圆心，半径.
两圆圆心距，
所以，即两圆相交，所以两圆公切线有2条.
故选：C.
129．（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）已知，若两圆和恰有三条公切线，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求得两圆的圆心和半径，根据两圆有三条公切线，可得两圆外切，即可求得，令，代入上式，化简整理，可得关于m的一元二次方程，根据，结合判别式，即可得答案.
【详解】圆，整理得，
则圆心为，半径为1，
圆，整理得，
则圆心为，半径为2，
因为两圆恰有三条公切线，
所以两圆外切，即圆心距等于半径和，
所以，解得，
令，则，代入，
得，展开得，
因为，
所以，解得.
所以的最大值为.
故选：D
130．（2025·浙江·三模）若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】C
【分析】两圆只有一条公切线可得两圆内切，，再利用圆的切线长的公式可解.
【详解】由题，圆与圆内切，所以，即，所以点，
又圆的半径为1，所以切线长为，
故选：C．
131．（2025·山东·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】通过计算可知两个圆内切，故两圆相减得到的方程即为所求.
【详解】圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为
所以两个圆内切，因此与两圆均相切的直线为两个圆的公共弦所在的直线方程，
所以
整理得，
故选：.
132．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知圆心均在x轴上的两圆外切，半径分别为，若两圆的一条公切线的方程为 ，则（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】D
【分析】设两圆心，由圆心到切线距离等于半径求出，再结合求出即可计算.
【详解】两圆的一条公切线的方程为 即过点，
不妨设两圆心，则，
则，，
则，故.
故选：D
133．（24-25高二上·湖南·阶段练习）圆：与圆：的内公切线长为（ ）
A．3B．5C．D．4
【答案】D
【分析】在平面直角坐标系中作出两个圆，由图可知内公切线一条为轴，求公切线的长即可.
【详解】如图：
由图可知圆与圆的内公切线有一条为轴，
则公切线的长为，
方法二：，
所以内公切线的长为：
故选：D
134．（2019高二上·河北·学业考试）若直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设直线交轴于点，推导出为的中点，为的中点，利用勾股定理可求得.
【详解】如下图所示，设直线交轴于点，
由于直线与圆，圆都相切，切点分别为、，
则，，，
，为的中点，为的中点，，
由勾股定理可得.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于推导出为的中点，并利用勾股定理进行计算，此外，在直线与圆相切的问题时，要注意利用圆心与切点的连线与切线垂直这一几何性质.
考点28 与圆有关的最值问题
135．（25-26高二上·江苏·阶段练习）点为圆上的一动点，为圆上一动点，为坐标原点，则的最小值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【分析】取点，则，将的最小值转化为距离，即可得到所求.
【详解】P为圆A：上一动点，Q为圆B：上一动点，O为坐标原点，
取，则，
∴，
∴，
.
故选：C.
136．（25-26高二上·江苏常州·阶段练习）已知为曲线上任意一点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据条件可得曲线是以为圆心，半径为的半圆，又表示点与连线的斜率，再数形结合，即可求解.
【详解】由，得到，由，得到，
又易知，所以曲线是以为圆心，半径为的半圆，其图象如图所示，
因为表示点与连线的斜率，
令，得到，
由图知，当与半圆相切时，有，整理得到，
解得或（舍），此时最小，
当过点时，最大，此时
综上，的取值范围是，
故选：C.
137．（25-26高二上·吉林长春·阶段练习）点满足方程，则的最小值为（ ）
A．17B．19C．23D．25
【答案】A
【分析】根据题意将表达式转化为，求出轴上一定点使其满足，求出的最小值即可得出结论.
【详解】易知，
设在轴上存在一定点使得点在圆上任意移动时均有，
设，则有，
整理可得，又，
因此可知，即；
当时，存在点满足；
显然点在圆内，
所以；
当且仅当三点共线时，取得最小值17，如下图所示：

故选：A
138．（25-26高二上·北京·阶段练习）已知实数，，，满足：，，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设圆，直线，，求，进而得，求的中点的轨迹方程，表示和到直线的距离和，利用数形结合即可求解.
【详解】设圆，直线，，
所以点在圆上，
又因为，
由，所以为等边三角形，所以，
过和作直线的垂线，垂足分别为，
则表示和到直线的距离和，

由图形得只有当、都在直线的下方时，该距离之和才会取得最大值．
取的中点，过作，垂足为，则，
又因为为等边三角形，为中点，所以，
所以点在上运动，
又到直线的距离为，
所以当时，到直线距离的最大值为，
所以的最大值为，
所以的最大值为，
故选：A.
139．（25-26高二上·河南驻马店·阶段练习）圆上任意一点到直线的距离的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出圆心到直线的距离，再加上半径，即为点到直线的距离的最大值.
【详解】圆的圆心为原点，半径为，
所以圆心到直线的距离为，
所以圆上任意一点到直线的距离的最大值为.
故选：C.
140．（24-25高二下·河南·阶段练习）直线被圆截得的最短的弦长为（ ）
A．B．C．4D．
【答案】C
【分析】求出圆心和半径，求出直线过的定点，证明定点在圆内，根据当直线垂直于圆心到定点的连线时圆心到直线的距离最大即可求解.
【详解】原圆方程配方得，
所以圆心为，半径，
因为直线，
所以直线过定点，因为定点和圆心的距离，
所以定点在圆内，当直线垂直于圆心到定点的连线时圆心到直线的距离最大为，
所以弦长最短为.
故选：C.
141．（25-26高二上·浙江·阶段练习）过点作直线与曲线交于，两点，为坐标原点，则面积的最大值为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】C
【分析】作图，由图知，当面积取最大值时，，计算即可求解.
【详解】由，则，，即，
所以曲线，是以原点为圆心，2为半径的半圆，如图.
因为，
所以当面积取最大值时，，
即.
故选：C.
142．（2025高三·全国·专题练习）过点的直线l交圆C：于A，B两点，若，垂足为Q，则点Q到直线的最大距离为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】D
【分析】求出圆的圆心和半径，证明在圆内，证明Q是AB的中点，分直线l的斜率不存在时和直线l的斜率存在两种情况结合向量即可求解.
【详解】
易知圆C：的圆心为，半径，
又，
所以在圆内，因为，垂足为Q，
由垂径定理可知Q是AB的中点，
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，
易得此时圆心C与Q重合，不符合题意，
由可得，
设点，则，，
所以，
即，
故点Q的轨迹方程为（除点外），
圆心到直线的距离为，
则点Q到直线的最大距离为．
故选：D.
143．（2025高三·全国·专题练习）设，圆M：．若动直线：与圆M交于点A，C，动直线：与圆M交于点B，D，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意可知，经过定点且互相垂直，再由圆的弦长公式得，再用基本不等式即可得最大值.
【详解】由题知圆M的方程为，圆心，半径．
可化为，可知经过定点，同理可得也经过定点.
又，所以，即，经过定点且互相垂直，如图，
设AC和BD中点分别为F，G，可知四边形EFMG为矩形．
设，则，结合，，
可得，所以,
，
当且仅当，即时取等号．
综上所述，当时，取得最大值．
故选：B.
考点29 直线与圆的综合问题
144．（24-25高二上·云南·阶段练习）已知圆分别与，轴的正半轴交于，两点，为圆上的动点（异于，两点）.
(1)若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程；
(2)若直线与轴交于点，直线与轴交于点，证明：为定值，并求出该定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析，
【分析】（1）设点，，根据向量运算公式可得，代入圆的方程，可得轨迹方程；
（2）根据，方程确定，，结合两点间距离公式化简可得证.
【详解】（1）由已知，，
设，，
则，，
则，即，
则，即，
故点的轨迹方程为；
（2）设，则，
直线方程是：，代入，得，
直线方程是，代入，得，
所以
，即为定值.
145．（25-26高二上·重庆·阶段练习）已知圆过点和点，且圆心在直线上.
(1)求圆的方程；
(2)已知圆外有一定点，过作圆的切线，切点分别为，两点，求；
(3)已知点，过的直线交圆于，两点（不在直线上），直线，分别与直线交于，两点，则以为直径的圆是否过除点以外的定点？若过定点，求出此点的坐标；若不过定点，请说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)过定点，定点为
【分析】（1）由题可设所求圆圆心为，接着由求出参数a和圆的半径即可得解；
（2）由点A与圆的位置特征求出两切点即可由两点间距离公式求解；
（3）利用直线的参数方程并结合题意得到，，再结合平面向量垂直的坐标运算和圆的性质求解定点即可.
【详解】（1）由题可设所求圆圆心为，则，
所以，即，解得，
所以圆的半径为，圆心为
则圆的方程为.
（2）由（1）可知圆过点，
所以过作圆的切线，得切线有两条分别为，两切点即为，
所以；
（3）由（1）可知点P在圆C上，作出符合题意的图形，
因为直线过，所以直线的参数方程为，
将代入中，
可得，解得或，
则，，
而直线过，则，令，
则，，而的方程为，
当时，，解得，
故，同理可得，
设以为直径的圆上任意一点为，则，即，
可得，，
则，
整理得，
令，，解得或，
故为直径的圆过除点以外的定点，该定点为.
146．（23-24高二上·北京西城·期中）已知圆：与直线交于M、N两点，点P为线段的中点，为坐标原点，直线的斜率为.
(1)求的值及的面积；
(2)若圆C与x轴交于A、B两点，点Q是圆C上异于A、B的任意一点，直线、分别交：于R、S两点.当点Q变化时，以为直径的圆是否过圆C内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由.
【答案】(1)，
(2)过定点，
【分析】（1） 先确定直线的方程，联立直线方程求得点坐标，利用垂径定理及两直线垂直的斜率关系计算可得；根据点到直线的距离公式、弦长公式计算求面积即可；
（2）设直线方程，含参表示直线方程，求出坐标，从而求出以为直径的圆的方程，利用待定系数法计算即可.
【详解】（1）由题意可知直线的方程为，
则联立与可求出点坐标为，
又因点P为线段的中点，所以可得，
即，所以可得，
由可知圆心，所以到直线的距离，
又因圆半径为，根据勾股定理可求得，
所以线段，
又因原点到直线距离为，所以线段上的高为，
所以.
（2）由圆与轴交于两点，得，
不妨设直线的方程为，其中，
在直线的方程中，令，可得，
因为，则直线的方程为，
在直线的方程中，令，可得，即点，
则线段的中点为，圆的半径平方为，
所以以线段为直径的圆的方程为，
即，由，解得，
因此当点变化时，以为直径的圆恒过圆内的定点.
【点睛】解题的关键是设直线的方程为，则直线的方程为，由表示的中点为，圆的半径平方为，得以线段为直径的圆的方程，可得以线段为直径的圆过圆内的一定点.
147．（25-26高二上·河北邢台·阶段练习）已知圆经过两点，且圆心在直线上.
(1)求圆的标准方程.
(2)已知斜率为的直线过点，且与圆交于两点，直线与直线交于点.
①记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：.
②试问点是否在定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②点在定直线上.
【分析】（1）设圆心的坐标为，可得，从而求出，利用圆心在直线，即可求出,得到半径，从而求得圆的标准方程
（2）①设直线.与圆的方程联立，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理可得，分别表示出和，化简即可证明；
②分别写出直线和直线的方程，结合，通过联立直线和直线的方程，消去参数，得到的固定直线方程，即可确定点是否在定直线.
【详解】（1）设圆心的坐标为.
因为是圆上的两点，所以，所以
即，解得.
因为圆心在直线上，所以，解得，
则圆的半径，
故圆的标准方程为.
（2）设直线.
由整理得，
则，
故.
①证明：因为，
所以.
把代入上式，
得.
②直线的方程为，直线的方程为.
由得.
因为，所以，
所以，
即，则，即点在定直线上.
148．（25-26高二上·山东泰安·阶段练习）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，记线段中点的运动轨迹为曲线
(1)求曲线的方程．
(2)过点作直线与曲线相切，切点分别为点，求直线的方程．
(3)斜率为的直线与曲线相交于异于原点的两点，直线的斜率分别为，且．若为垂足，证明：存在定点，使得为定值．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）设线段的中点为，利用点与圆的位置关系得曲线的方程；
（2）根据四点共圆可得圆的方程，由此可得直线是两圆公共弦所在直线，从而可得直线的方程；
（3）设直线，联立直线与圆得交点坐标关系，再结合坐标运算与距离公式可得结论.
【详解】（1）设线段的中点为，
因为点在圆上，
所以，化简得，
所以曲线的方程为．
（2）因为
所以四点共圆，圆心为的中点(4,2)，半径为，
即圆的方程为，

直线是两圆公共弦所在直线，，
作差得，所以直线所在的直线为．
（3）设直线，
，得，
即，
则，
所以，
所以直线的方程为，即直线过定点，
因为为定值，为直角三角形，为斜边，

所以当是的中点时，，
所以存在定点为定值．
149．（25-26高二上·重庆·阶段练习）已知圆和点．
(1)过圆上一点作两条相异直线分别与圆相交于两点，且直线和直线的倾斜角互补，求证：直线的斜率为定值．
(2)已知，设P为满足方程的任意一点，过点向圆引切线，切点为B，试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，当，定值为；当，定值为
【分析】（1）根据题目条件列出方程，利用韦达定理对直线AB的斜率进行化简，求得定值为；
（2）先根据条件求得动点的方程，在假设定值存在，列出等式并用点的方程化简，最后由多项式相等求得的坐标．
【详解】（1）假设过点的一条直线倾斜角为，由题目条件得另一条直线的倾斜角也为，
但过直线外一点做该直线的垂线只有一条，与两条直线相异矛盾，
故过的直线不可能垂直于轴，
由于两直线的倾斜角互补，因为，故两直线的斜率互为相反数，
设直线与圆相交于，两点，
直线与圆相交于，两点，
点满足，
化简得，由韦达定理得，
点满足，
化简得，由韦达定理得，
则直线AB的斜率为，
易得，，故，故直线AB的斜率为定值．
（2）设，因，所以，
化简得，，
所以点的轨迹是一个圆，圆心为点，半径为，
因，所以圆内含于圆，故点一定在圆外，
则，
又P在圆上满足，即，
设，则，设，即，
把代入化简得，
继续代入得，
要使上式对任意的，均成立，则，
解得或，
所以当的坐标为时，定值；
当的坐标为时，定值．
150．（25-26高二上·江西·阶段练习）已知圆的圆心与圆的圆心关于直线对称.
(1)求圆的标准方程；
(2)若直线交圆于，两点，点，证明：当不断变化时，轴始终平分；
(3)设为圆上任意一点，过点作圆的切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)存在定点，此时为定值或存在定点，此时为定值.
【分析】（1）根据题意，分别求得圆和圆的圆心坐标和半径，结合圆心与圆心关于直线对称，列出方程组，求得的值，即可求解；
（2）联立方程组，得到，结合韦达定理，求得，即可得证；
（3）设，由为圆的切线，得到，得到方程，结合方程的恒成立，列出方程组，求得的值，进而得到答案.
【详解】（1）解：由圆，可得圆的圆心为，半径为，
又由圆，可得圆心为，半径为，
因为圆心与圆心关于直线对称，
可得，解得，
所以圆的标准方程为.
（2）证明：设，，且，
联立方程组，整理得，
则，且，，
则，
所以当不断变化时，轴始终平分.
（3）解：假设存在定点，使得为定值，设，，，
因为点在圆上，所以，则，
因为为圆的切线，所以，
所以，，
所以，
整理得（），
若使（）对任意恒成立，则，可得，
代入③整理得，解得或，
所以或，
所以存在定点，此时为定值或存在定点，此时为定值.
1．要注意斜率的各种求法的局限性，如k＝eq \f(y1－y2,x1－x2)(x1≠x2)，k＝tanαeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2))).
2．处理斜率范围和倾斜角范围时，由于涉及正切函数的单调性，因此常常借助正切函数图象，将角分为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))两部分，分别对应斜率中的非负值和负值．
斜率是反映直线相对于轴正方向的倾斜程度的，直线上任意两点所确定的方向不变，即在同一直线上任意不同的两点所确定的斜率相等．这正是利用斜率可证三点共线的原因．
一般地，若已知，过点作垂直于轴的直线，过点的任一直线的斜率为，则当与线段不相交时，夹在与之间；当与线段相交时，在与的两边．
求直线方程的两种方法
(1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式．
(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数．
注：①选用直线方程时，注意其适用条件.②注意截距相等包含截距为0的情形，截距不是距离.③若已知直线的一个方向向量的坐标为(m,n),mn≠0,则直线的斜率为nm；若已知直线的一个方向向量的坐标为(m,0),m≠0,则直线的斜率为0；若已知直线的一个方向向量的坐标为(0,n),n≠0,则直线的斜率不存在.
（1）由于已知直线的倾斜角（与斜率有关）及直线与坐标轴围成的三角形的面积（与截距有关），因而可选择斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有“题目决定解法”之说．
（2）在求直线方程时，要恰当地选择方程的形式，每种形式都具有特定的结论，所以根据已知条件恰当地选择方程的类型往往有助于问题的解决．例如：已知一点的坐标，求过这点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定该直线在y轴上的截距；已知截距或两点，选择截距式或两点式．在求直线方程的过程中，确定的类型后，一般采用待定系数法求解，但要注意对特殊情况的讨论，以免遗漏．
若直线与直线的夹角为，则.
直线过定点问题的核心是找到无论参数取何值，都能满足方程的固定点，以下是具体解题策略：
1.点斜式法：先将直线方程整理成点斜式“y-y₀=k(x-x₀)”（k为参数，x₀、y₀为常数），根据点斜式定义，直线必过定点(x₀,y₀)。
2.分离参数法：按参数“分拆”方程，令系数均为0
将直线方程中含参数的项与不含参数的项分离，写成“参数×A+B=0”（A、B是关于x、y的式子），因参数可取任意值，故需A=0且B=0，解方程组得定点坐标。
3.特殊值法：取两组参数值，求两直线交点
取参数的两个不同值，代入直线方程得到两条具体直线，求这两条直线的交点，该交点即为直线过的定点（需验证：将交点代入原方程，确认对任意参数都成立）。
判断两直线的位置关系可以从斜率是否存在分类判断，也可以按照以下方法判断：一般地，设（不全为0），（不全为0），则：
当时，直线相交；
当时，直线平行或重合，代回检验；
当时，直线垂直，与向量的平行与垂直类比记忆．
求与已知直线平行或垂直的直线方程，核心是利用“平行斜率相等、垂直斜率乘积为-1”的性质，
1.直接设方程：根据平行、垂直关系设含参数方程，代入条件求解
①平行直线：
若已知直线为Ax+By+C=0（A、B不同时为0），则平行直线可设为(Ax+By+D=0（D≠C)，保证两直线不重合），再将已知条件（如过某点）代入，解出D的值，即可得所求方程。
②垂直直线：若已知直线为Ax+By+C=0，则垂直直线可设为Bx-Ay+D=0（交换A、B并变其中一个符号，保证斜率乘积为-1），再代入已知条件求D，得到所求方程。
2.求斜率后求方程：先算已知直线斜率，再用点斜式写方程步骤
①求已知直线的斜率若已知直线为斜截式y=kx+b，直接得斜率k；若已知直线为一般式Ax+By+C=0(B≠0），斜率k=；若B=0（直线垂直x轴），则平行直线也垂直x轴，垂直直线平行x轴。②根据平行、垂直定所求直线斜率平行：
③用点斜式写方程并整理。
1．求过两直线交点的直线方程的方法
求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程，也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程．
2．点到直线、两平行直线间的距离公式的使用条件
(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．
(2)求两平行直线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．
数形结合，利用距离的几何意义进行转化．
1.求点关于点中心对称的点，由中点坐标公式得
2.求点关于直线对称的点
方法一：（一中一垂），即线段的中点M在对称轴上，若直线的斜率存在，则直线的斜率与对称轴的斜率之积为－1，两个条件建立方程组解得点
方法二：先求经过点且垂直于对称轴的直线（法线），然后由得线段的中点，从而得
3. 求直线l关于点中心对称的直线
求解方法是：在已知直线l上取一点关于点中心对称得，再利用，由点斜式方程求得直线的方程（或者由，且点到直线l及的距离相等来求解）．
4.求直线l关于直线对称的直线
若直线，则，且对称轴与直线l及之间的距离相等．
此时分别为，由，求得，从而得．
若直线l与不平行，则．在直线l上取异于Q的一点，然后求得关于直线对称的点，再由两点确定直线（其中）．
5.对称问题的求解策略
(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解．
(2)中心对称可以利用中点坐标公式，两点轴对称问题利用垂直和中点两个条件列方程(组)解题．
常见直线系方程
（1）过定点(x1,y1)的直线系方程：y−y1=k(x−x1)和x=x1.
（2）平行于直线Ax+By+C=0的直线系方程：Ax+By+λ=0(λ≠C).
（3）垂直于直线Ax+By+C=0的直线系方程：Bx−Ay+λ=0.
（4）过两条已知直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程：A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0（不包括直线A2x+B2y+C2=0）和A2x+B2y+C2=0.
处理直线方程综合应用的两大策略
(1)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．
(2)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点(或平行)的直线系，即能够看出“动中有定”．
提醒：涉及直线与坐标轴截距问题时一般设截距式．
求圆的方程的两种方法：(1) 根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程；(2) 若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
方程表示圆的充要条件是，故在解决圆的一般式方程的有关问题时，必须注意这一隐含条件．在圆的一般方程中，圆心为，半径
在处理点与圆的位置关系问题时，应注意圆的不同方程形式对应的不同判断方法，另外还应注意其他约束条件，如圆的一般方程的隐含条件对参数的制约．
圆过定点，可以类比含参直线过定点。形如，则圆恒过交点。
求与圆有关的轨迹问题的方法
1、直接法：直接根据题目提供的条件列出方程；
2、定义法：根据圆、直线等定义列方程；
3、几何法：利用圆的几何性质列方程；
4、代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式
（1）圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称
（2）圆关于点对称：
①求已知圆关于某点对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程
②两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点
（3）圆关于直线对称：
①求已知圆关于某条直线对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程
②两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线
判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系判断．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
弦长的两种求法
(1) 代数方法：将直线和圆的方程联立得到方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，得到根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．
(2) 几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2eq \r(,r2－d2)．
（1）圆的切线方程的求法
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①点在圆上，
法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于，即．
法二：圆心到直线的距离等于半径．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出．
注意：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．
（2）常见圆的切线方程
过圆上一点的切线方程是；
过圆上一点的切线方程是．
过圆外一点作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为
过曲线上，做曲线的切线，只需把替换为，替换为，替换为，替换为即可，因此可得到上面的结论．
圆上的点到直线的距离为定值的点的个数问题
该类问题常借助于图形转化为点到直线的距离求解．设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d．
如图①，若圆上恰有一点到直线的距离为t，则需满足d＝r＋t．
如图②，若圆上恰有三点到直线的距离为t，则需满足d＝r－t．
由图①②可知，若圆上恰有两个点到直线的距离为t，则需满足r－t＜d＜r＋t．
若圆上恰有四点到直线的距离为t，则需满足d＜r－t．
判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．
两圆公共弦长的求法
先求出公共弦所在直线的方程，在其中一圆中，由弦心距d，弦长的一半l2，半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解，且l＝2r2−d2．
两圆的公切线问题，核心是先判断两圆的位置关系（外离、外切、相交、内切、内含），再结合位置关系确定公切线条数或求解公切线方程，
1.判断两圆位置关系：先算 “圆心距” 与 “两圆半径和 、 差”
2.求公切线条数：根据位置关系直接对应公切线条数由两圆位置关系唯一确定，无需额外计算，直接对应如下：外离：4 条公切线（2 条外公切线，2 条内公切线）；外切：3 条公切线（2 条外公切线，1 条内公切线，切点在两圆连心线上）；相交：2 条公切线（仅 2 条外公切线，无内公切线）；内切：1 条公切线（仅 1 条公切线，两圆切于一点，切线过该切点且垂直于连心线）；内含（含同心圆）：0 条公切线（两圆无公共点，无公切线）。
3.求公切线方程：分 “外公切线”“内公切线”，设方程代入求解求公切线方程的核心是：设公切线方程为Ax + By + C = 0（或斜截式y = kx + b，注意斜率不存在的情况），利用 “圆心到切线的距离等于半径” 列方程，解出参数A、B、C（或k、b）。
①判断两圆位置关系，确定有外公切线 / 内公切线；
②设公切线方程（斜率存在时设y = kx + b，整理为kx - y + b = 0；斜率不存在时设x = m；
③根据 “圆心到切线距离 = 半径”，对两圆分别列方程，得到关于k、b（或m）的方程组；
④解方程组，得到参数值，代入即得公切线方程（注意排除两圆重合的切线，若有）。
注：区分外公切线与内公切线：外公切线：两圆在切线同侧，列方程时，两圆的 “圆心到切线距离 = 半径” 表达式中，常数项符号一致（如均为正或均为负）；内公切线：两圆在切线异侧，列方程时，两圆的 “圆心到切线距离 = 半径” 表达式中，常数项符号相反。
4.由公切线条数求参数：先对应位置关系，再列不等式或等式已知公切线条数，先反向确定两圆位置关系，再根据位置关系对应的 “圆心距与半径和、 差” 关系，列不等式或等式，求解参数（通常是半径或圆心坐标中的参数）。
①明确公切线条数对应的位置关系（如 3 条公切线对应外切，2 条对应相交）；
②写出圆心距d、半径和、半径差的表达式（含参数）；
③根据位置关系列等式或不等式
④解等式或不等式，得到参数的值或取值范围。
1．与圆有关的最值问题的三种几何转化法
(1)斜率型：形如μ＝y−bx−a形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题．
(2)截距型：形如t＝ax＋by形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题．
(3)距离型：形如m＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
2．建立函数关系式求最值问题的解题策略
根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、单调法等，利用基本不等式求最值．
3．求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：
(1)“动化定”：把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；(2)“曲化直”：将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．
立足直线与圆的位置关系，将几何问题代数化是求解本类题目的关键．同时，在坐标运算中，借助圆的几何性质，可以大大提高运算速度．