专题1.3 复数（练习+答案）-2026年高考数学一轮复习【重点•难点突破】精讲(新教材新高考)

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目录1
一、5年高考•真题感悟2
二、课程标准•考情分析4
【课程标准】4
【考情分析】4
【2026考向预测】5
三、知识点•逐点夯实5
知识点1、复数的概念4
知识点2、复数的四则运算5
四、重点难点•分类突破6
考点1 复数的基本概念6
考点2 复数的四则运算8
考点3 复数的几何意义9
考点4 复数相等与共轭复数11
考点5 复数的三角形式13
考点6 与复数有关的最值问题15
五、分层训练19
A、基础保分19
B、综合提升23
一、5年高考•真题感悟
1．（2024·全国甲卷·高考真题）若，则（ ）
A．B．C．10D．
2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）在复平面内，对应的点位于（ ）．
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（2022·全国乙卷·高考真题）设，其中为实数，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·全国甲卷·高考真题）若．则（ ）
A．B．C．D．
5．（2019·全国III卷·高考真题）若，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2018·全国I卷·高考真题）设，则（ ）
A．B．C．D．
二、课程标准•考情分析
【课程标准】
1.理解复数的基本概念；
2.理解复数相等的充要条件；
3.了解复数的代数表示法及其几何意义；
4.会进行复数代数形式的四则运算；
5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．
【5年考情分析】
【2026考向预测】
高考对复数的考查相对稳定，每年必考题型，分值固定是5分，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．复数的运算、概念、复数的模、复数的几何意义是常考点，难度较低，预测高考在此处仍以简单题为主．
三、知识点•逐点夯实
知识点一、复数的概念
（1）叫虚数单位，满足 ，当时，．
（2）形如的数叫复数，记作．
= 1 \* GB3 ①复数与复平面上的点一一对应， 叫z的实部， 叫z的虚部；Z点组成实轴； ，叫虚数； ，叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部 ，虚部 的复数互为共轭复数．
= 2 \* GB3 ②两个复数相等（两复数对应同一点）
= 3 \* GB3 ③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，．
知识点二、复数的加、减、乘、除的运算法则
1、复数运算
（1）
（2）
其中，叫z的模；是的共轭复数．
（3）．
实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数．
注意：复数加、减法的几何意义
以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形，对角线表示的向量就是复数所对应的向量．对应的向量是．
2、复数的几何意义
（1）复数对应平面内的点 ；
（2）复数对应平面向量；
（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数．
（4）复数的模表示复平面内的 距离．
3、复数的三角形式
（1）复数的三角表示式
一般地，任何一个复数都可以表示成形式，其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的角． 叫做复数的三角表示式，简称三角形式．
（2）辐角的主值
任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍．规定在范围内的辐角的值为辐角的主值．通常记作，即．复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式．
（3）三角形式下的两个复数相等
两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．
（4）复数三角形式的乘法运算
①两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即
．
②复数乘法运算的三角表示的几何意义
复数对应的向量为，把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积．
（5）复数三角形式的除法运算
两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差，即
四、重点难点•分类突破
考点1 复数的基本概念
例1．（2025·云南红河·三模）若（为虚数单位），其中，为实数，则的值为（ ）
A．B．C．D．
例2．（山西省部分地区2024-2025学年高三下学期期中联合考试数学试卷）复数的虚部为 ．
【变式训练1】．（24-25高三下·贵州黔南·期中）若复数，则z的虚部为（ ）
A．1B．iC．D．
【变式训练2】．（安徽卓越县中联盟&皖豫名校联盟2024-2025学年高三下学期期中检测数学试卷）若复数: 的虚部大于0，则实数a的取值范围是 .
考点2 复数的四则运算
例3．已知复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
例3．（2025·河南周口·二模）已知复数，则（ ）
A．3B．C．2D．
【变式训练3】．（2024·天津·高考真题）是虚数单位，复数 ．
【变式训练4】．（2024·山东潍坊·一模）已知是虚数单位，若复数满足，则 ．
考点3 复数的几何意义
例5．（2025·北京平谷·一模）在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
例6．（2024·北京东城·二模）若复数满足.则在复平面内，对应的点的坐标是 .
【变式训练5】．（2024·湖南邵阳·模拟预测）已知复数，则在复平面内，所对应的点的坐标为 ．
【变式训练6】．（2024·北京东城·二模）若复数满足.则在复平面内，对应的点的坐标是 .
考点4 复数的相等与共轭复数
例7．（2021·全国乙卷·高考真题）设，则（ ）
A．B．C．D．
例8．（2023·上海宝山·二模）已知复数（其中为虚数单位），则实数 ．
例9．（2023·北京海淀·二模）在复平面内，复数z所对应的点为，则 ．
【变式训练7】．（2023·四川成都·一模）已知为复数单位，，则的模为（ ）
A．B．1C．2D．4
【变式训练8】．（2024·吉林长春·一模）若，则 .
【变式训练9】、（2024·广东广州·模拟预测）设复数的共轭复数为，若，则 .
考点5 复数的三角形式
例10．（2023·湖北恩施·模拟预测）任意一个复数都可以表示成三角形式，即．棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗（1667－1754年）创立的，指的是：设两个复数，，则，已知复数，则（ ）
A．B．C．D．1
例11．（2023·江苏南通·模拟预测）任何一个复数都可以表示成的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．则（ ）
A．1B．C．D．i
【变式训练10】．（2023·四川成都·模拟预测）欧拉公式（其中为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位.依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）
A．为虚数B．函数不是周期函数
C．若，则D．的共轭复数是
【变式训练11】．（2022·湖北·一模）欧拉公式（e为自然对数的底数，为虚数单位）由瑞士数学家Euler（欧拉）首先发现.它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被称为“数学中的天桥”，则（ ）
A． -1B．1C．-D．
考点6 与复数有关的最值问题
例12．（23-24高一下·吉林四平·阶段练习）已知复数满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
例13．（2023·山东·模拟预测）复数满足，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．
【变式训练12】．（2024·安徽·模拟预测）若为虚数单位，，则的最大值为（ ）
A．2B．C．4D．
【变式训练13】．（23-24高三下·浙江·开学考试）已知复数，其中且，则的最小值是（ ）
A．B．2C．D．
四、分层训练
一、单选题
1．（2025·安徽芜湖·二模）若，其中为虚数单位，则（ ）
A．B．C．D．1
2．（2025·浙江·三模）若复数z满足，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·福建宁德·三模）复数满足，则复数的共轭复数为（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·河南郑州·三模）若复数z满足，则（ ）
A．B．2C．D．3
二、多选题
5．（2025·福建龙岩·二模）已知复数，则（ ）
A．复数的模长为2
B．复数在复平面内对应的点在第二象限
C．复数是方程在复数集内的解
D．若复数满足，则
6．（2025·江苏南京·模拟预测）若复数 ，则（ ）
A．B．在复平面内对应的点位于第四象限
C．D．复数满足，则的最大值为
三、填空题
7．（2025·山东·一模）若复数满足，则 ．
8．（2025·湖南湘潭·三模）复数的实部与虚部之和为 ．
9．（2025·上海普陀·二模）已知复数，其中i为虚数单位，则 .
10．（2025·北京朝阳·二模）若复数z满足，则 ．
11．（2025·河南·三模）若复数z满足，则的取值范围为（ ）．
A．B．C．D．
12．（2025·上海青浦·模拟预测）已知复数满足（i是虚数单位），则的最大值是 .
5年考情分析
考题示例
考点分析
难易程度（简单、一般、较难、很难）
2025年新I卷，第1题,5分
复数的四则运算及概念
简单
2025年新Ⅱ卷，第2题,5分
复数的四则运算
简单
2024年新I卷，第2题，5分
复数的四则运算
简单
2024年新Ⅱ卷，第1题，5分
复数的模
简单
2023年新I卷，第2题，5分
复数的四则运算、共轭复数
简单
2023年新Ⅱ卷，第1题，5分
复数的四则运算、复数的几何意义
简单
2024年新I卷，第2题，5分
复数的四则运算
简单