2027年中考数学一轮复习 练习课件含答案17.第三章 微专题一　函数中的线段、面积问题

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例在平面直角坐标系中，已知点A(5，0)，B，C.
(1)(一边在坐标轴上)如图①，若B(1，0)，C(2，3)，连接AC，BC，求 AB，AC，BC的长及△ABC的面积；
当三角形的一边在坐标轴上或平行于坐标轴，可直接利用三角形面积公式求解.
(1)如解图①，过点C作CD⊥x轴于点D，
∵A(5，0)，B(1，0)，
∴OD=2，CD=3，
∴BD=1，AD=3，
(2)(一边平行于坐标轴)如图②，若B(5，3)，点C在y轴上，连接AB，AC， BC，求AB的长及△ABC的面积；
解：如解图②，过点C作CD⊥AB于点D，
∵A(5，0)，B(5，3)，
∴AB=3，CD=OA=5，
(3) (三边均不与坐标轴平行)如图③，若B(0，4)，C(6，1)，连接AB，AC，BC，求△ABC的面积.
当三角形的三边均不与坐标轴平行时，可以通过转化法将其面积转化为有 一边在坐标轴上或平行于坐标轴的三角形的面积或面积和差，以第(3)问 为例：
1. 分割法：过点A作y轴或过点C作x轴的平行线，将△ABC的面积分割为两个边与坐标轴平行的三角形的面积之和；
2. 补形法：过点B，C分别作x轴，y轴的平行线构造矩形，将△ABC的面 积转化为矩形面积与三个边与坐标轴重合(或平行)的三角形面积之差；
3. 和差法：连接OC，将△ABC的面积转化为S△OAC＋S△OBC－S△OAB.
解：解法一：如解图③，过点A作AD∥y轴交BC于点D，
设直线BC的表达式为y=k1x＋b1(k1≠0)，
将B(0，4)，C(6，1)代入y=k1x＋b1中，得
解法二：如解图④，过点C作CE∥x轴交AB于点E，根据直线AB的表达式求得点E的坐标，利用S△ABC=S△BCE＋S△ACE进行求解；
解法三(补形法)：如解图⑤，过点C作CM⊥x轴交x轴于点M，过点B作 BN⊥MC，交MC的延长线于点N，
易得，MN=4，BN=6，CM=1，AM=1，CN=3，
解法四(和差法)：如解图⑥，连接OC，过点C作CG⊥x轴于点G，
∵A(5，0)，C(6，1)，
∴AG=OG－OA=6－5=1，CG=1，
解法五：如解图⑦，延长CA交y轴于点P，根据直线AC的表达式求得点P的坐标，利用S△ABC=S△BCP－S△ABP进行求解；
解法六：如解图⑧，过点C作CQ∥y轴交BA的延长线于点Q，根据直线AB的表达式求得点Q的坐标，利用S△ABC=S△BCQ－S△ACQ进行求解；
解法七：如解图⑨，延长BC交x轴于点F，过点C作CG⊥x轴于点G，根据直线BC的表达式求得点F的坐标，利用S△ABC=S△ABF－S△ACF进行求解.
(1)求反比例函数的解析式；
解：(1)把A(1，0)代入y=－x＋b中，得0=－1＋b，
解得b=1，∴一次函数解析式为y=－x＋1，把C(－1，a)代入y=－x＋1中，得a=1＋1=2，
(2)如解图，过C点作CH⊥y轴于点H，
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)由题意，设E(x，－x＋5)，且1≤x≤4，
解得x=2或x=3，∴点E的坐标为(2，3)或(3，2).
3. 如图，抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)和B(3，0)，与y轴正 半轴交于点C，连接BC，且OC=3，P是第一象限内抛物线上一动点，设点 P的横坐标为m.
(1)求抛物线的表达式；
解：(1)设抛物线的表达式为y=a(x＋1)(x－3)，∵OC=3，∴点C(0，3)，将C(0，3)代入y=a(x＋1)(x－3)中，
解得a=－1，∴抛物线的表达式为y=－(x＋1)(x－3)=－x2＋2x＋3；
抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)和B(3，0)，与y轴正半轴交于 点C，连接BC，且OC=3，P是第一象限内抛物线上一动点，设点P的横坐 标为m. (2)如图①，过点P作x轴的垂线交线段BC于点Q，求PQ及点P到BC距离的 最大值；
(2)如解图①，过点P作PN⊥BC于点N，
∵OB=OC，∠BOC=90°，
∴∠CQP=∠OCB=45°，
∴△PNQ是等腰直角三角形，
设直线BC的表达式为y=kx＋b(k≠0)，
将B(3，0)，C(0，3)代入y=kx＋b中，
由B(3，0)，C(0，3)可得BC所在直线的表达式为y=－x＋3，
设P(m，－m2＋2m＋3)，则Q(m，－m＋3)，
∴PQ=(－m2＋2m＋3)－(－m＋3)=－m2＋3m，
抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)和B(3，0)，与y轴正半轴交于 点C，连接BC，且OC=3，P是第一象限内抛物线上一动点，设点P的横坐 标为m.
(3) 如图②，连接BP，CP，求△BCP面积的最大值.
解：解法一： 如解图②，过点P作PM∥y轴交BC与点M，
设P(m，－m2＋2m＋3)，则M(m，－m＋3)，
PM=(－m2＋2m＋3)－(－m＋3)=－m2＋3m，
解法二：(和差法)如解图③，连接OP，
解法四：(补形法)如解图④，过点P作MN∥x轴交y轴于点M，过点B作 BN⊥x轴交MN于点N，
设P(m，－m2＋2m＋3)，
则PM=m，PN=3－m，BN=－m2＋2m＋3，CM=－m2＋2m，