上海市南洋模范中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷（含答案解析）

这是一份上海市南洋模范中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷（含答案解析），共16页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1. 若的方差为2，则，，…，的方差为______．
2. 在正方体中，体对角线与平面所成角的正切值是_________.
3. 天气预报中，在元旦假期，甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则至少有一个地区降雨的概率为__________.
4. 若，则______（用数字作答）
5. 我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（chumeng）是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如下图五面体ABCDEF是一个刍甍，其中四边形ABCD为矩形，其中AB = 8，AD =，△ADE与△BCF都是等边三角形，且二面角与相等，则EF长度的取值范围为________．

6. 已知点在平面内，点在外，且的一个法向量，则点到平面的距离为_______．
7. 如图，分别是圆柱上、下底面圆的直径，且，若圆柱的轴截面为正方形，且三棱锥的体积为，则该圆柱的侧面积为___________.
8. 15个相同的小球放入编号为1，2，3的盒子内，盒子内的小球数不小于编号数，则不同的放法有______种.
9. 已知直线的方程为，若直线过点，且直线与直线的夹角为，则直线的方程为____________.
10. 已知一个圆台的上、下底面直径分别为2、8，母线长为6，则在圆台内部放置半径最大的球的表面积为______.
11. 已知点分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为______.
12. 袋中装有5个相同的红球和2个相同的黑球，每次从中抽出1个球，抽取3次按不放回抽取，得到红球个数记为X，得到黑球的个数记为Y；按放回抽取，得到红球的个数记为．下列结论中正确的是________．
①；②；③；④．
（注：随机变量X的期望记为、方差记为）
二、单选题
13. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记两次的点数均为偶数，两次的点数之和为8，则（ ）
14. 已知点，若直线与线段相交，则的取值范围为（ ）
15. 平面直角坐标系上将横、纵坐标都为整数的点记为格点，点从格点出发，每次运动到另一格点时，沿水平或竖直方向移动一个单位，则点经过6次移动回到格点的移动路径总数为（ ）
16. 如图所示，水平地面上插有两根杆子和所在直线垂直于地面且米，所在直线与地面斜交.小明有一把卷尺.他在某时刻分别测出杆子和在阳光下影子的长度，称为一次操作.小明可以在白天的不同时刻进行多次操作.假设阳光为平行光，正午时分的影子长度为0.则下列说法正确的是（ ）
三、解答题
17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，是棱的中点.
(1)求证：平面；
(2)求异面直线与所成的角的大小.
18. 周五放学后，老师和老师相约去体育馆打羽毛球切磋球技.两人决定采用羽毛球旧赛制进行一场复古局.旧制规则如下：只有发球方赢得当前回合才能得1分并继续发球；若发球方输掉该回合，则双方均不得分，且下一回合交换发球权（即改为由对方发球）.
(1)两人刚开始热身，体力充沛，发球极其凶猛.假设在热身局中，无论谁发球，发球方输掉该回合的概率均为.若第一回合由老师发球，求第二回合比赛有人得分的概率；
(2)临近饭点，两人决定用一场“一分定胜负”的比赛来决定今晚谁请晚饭：谁先赢得1分，谁就获胜；输的一方请客.假设两人水平接近，在任一回合中，发球方赢得该回合的概率均为.若第一回合由老师发球，求老师获胜的概率.并据此从概率角度分析：旧赛制对于发球方和接发球方是否公平？
19. 从某校学生中随机抽出50名学生参加消防安全知识竞赛，根据竞赛成绩得到如图所示的频率分布直方图.数据的分组依次为，.
(1)求图中的值，并估计这50名学生的平均成绩.（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
(2)若成绩在前的学生可获得“消防达人”称号，则成绩至少要达到多少分才可以被评为“消防达人”？
(3)从低于60分的学生中随机抽取2名学生，求这2名学生成绩不在同一分组的概率.
20. 某旅游景区为吸引更多游客，计划在官方网站平台和短视频平台同时进行广告宣传，两平台的浏览用户均可通过手机扫描景区提供的二维码，网上购买该景区门票，每人限购一张．为了解两平台的售票情况，从两平台的浏览用户中各随机抽取了1000人，对其是否购买了该景区门票进行统计，获得数据如下：
景区门票在官方网站平台和短视频平台的售价均为100元/人，其售票利润率分别是5%和2%．假设所有浏览用户是否购买景区门票相互独立．用频率估计概率．
(1)从短视频平台浏览用户中随机选取1人，估计此人为购买景区门票用户的概率，
(2)从官方网站平台浏览用户中，随机选取3人，用表示这3人的购票费用总和，求随机变量的分布列和期望；
(3)经统计，官方网站平台和短视频平台的浏览用户分别为15万人和40万人左右．该景区按浏览用户的人数向两平台支付广告宣传费用，向官方网站平台按5元/100人的标准支付，向短视频平台按4元/100人的标准支付．为了获得最大的净利润（净利润售票利润-广告宣传费用），试分析该景区应选择在哪个平台继续加大广告宣传费用投入力度，并说明理由．
21. 如图几何体中，四边形ABCD和AEFD都是梯形，.
(1)证明：B，E，F，C四点共面；
(2)若，求该几何体的体积；
(3)求平面BDE与平面BEFC的夹角的余弦值的最大值.
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
第21题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．81
B．200
C．400
D．480
A．为求出的长度，小明至少需要进行2次操作
B．为求出的长度，小明至少需要进行3次操作
C．为求出的长度，小明至少需要进行4次操作
D．无论进行多少次操作，小明都不能求出的长度
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