上海市上海交通大学附属中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷（含答案解析）

这是一份上海市上海交通大学附属中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷（含答案解析），共16页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1. 不等式的解集可用区间表示为_____.
2. 已知，则__________.
3. 设事件A、B相互独立，若且，则______.
4. 经过点且与直线垂直的直线的方程为_______.
5. 在正方体中，异面直线与所成角的大小为________.
6. 在中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，若，则________．
7. 函数，的值域是______.
8. 设集合，（其中，为虚数单位）.若，则实数的取值范围是_____.
9. 如图所示，四棱锥的底面是边长为3的正方形，平面且，Q是棱上一点.若，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为_____.

10. 盒子中有散落的黑白棋子若干粒，已知从中取出2粒都是黑子的概率是，从中取出2粒都是白子的概率是，则从中取出2粒棋子恰好颜色不同的概率为____.
11. 已知椭圆上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率e的最大值为___________.
12. 在棱长为1的正方体中，点P、Q分别是棱、上的点，满足.若过线段中点且垂直于的平面与正方体的棱、均有公共点，则这两个公共点之间距离的取值范围为_____.

二、单选题
13. 下列幂函数中，既是偶函数，又是上的严格增函数的是（ ）.
14. 在一次男子10米气手枪射击比赛中，甲运动员的成绩（单位：环）为7.5、7.8、…、10.9；乙运动员的成绩为8.3、8.4、…、10.1，如下茎叶图所示．从这组数据来看，下列说法正确的是（ ）
15. 在空间直角坐标系中，点集中至少有三个点，且点.设，若对于点集中任意三个点、、，“”都是“”的充分条件，则下列选项中的两点不能同时属于的是（ ）.
16. 设双曲线：（其中常数），点是双曲线右支上一动点（异于顶点），点与关于轴对称；点是轴右侧一点且不在双曲线上.给出以下两个命题：①当时，对任意点，存在点使得；②若关于的函数是在上的严格减函数，则；下列说法正确的是（ ）.
三、解答题
17. 设数列是首项为，公差为的等差数列.
(1)若，求数列的前项和；
(2)记，证明数列是等比数列；并求出当时，数列的前项和.
18. 如图所示，在长方体中，，，、分别是、的中点.

(1)求证：、、、四点共面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
19. A校高一年级共有330名学生，为了解该校高一年级学生的身高情况，学校按照性别采用分层抽样的方法抽取了66名学生，测量他们的身高并记录，将样本数据分成了11组：、、…、.（单位：厘米），得到如图所示的频率分布表.
(1)如果该校有220名男生，110名女生，求样本中男生和女生的人数；
(2)以区间的中点值给区间内的每个数据赋值，试估计该校高一学生的平均身高（精确到0.1厘米）；
(3)在该样本中身高不低于178.5的学生中随机取2名学生测量体重，求这2名学生身高均在区间中的概率.
20. 如图所示，已知抛物线：，点是x轴正半轴上一点，过T的直线、分别与抛物线交于点、和点、，其中、在轴上方且在右侧，、在轴下方.

(1)若点到抛物线焦点的距离为4，求点的坐标；
(2)若直线的斜率为2且，求实数的值和的面积；
(3)分别记、的面积为、，直线、的斜率为、.若且，求证：垂直于轴.
21. 李华同学用如下左图所示的炒勺做蛋饺，在学习立体几何后，他打算研究炒勺（不考虑勺柄，下同）的容积与表面积.如图所示，取定球面上一点N，连接N与球心，在线段上取一点，过垂直于的平面（记作）将球面分成了两部分；李华同学将炒勺抽象为其中含有点N的那部分曲面，并设球面半径为R.

(1)若将炒勺简化为一个半球面（即与重合），求炒勺的容积；
(2)李华记得必修三教材中，半球体积是利用如图所示的圆柱、圆锥以及祖暅原理推导所得.模仿教材中的方法，，求炒勺的容积V，并写出推导过程；

(3)设厘米，厘米，利用必修三教材中近似地推导球的表面积公式的方法，帮助李华同学推测炒勺的内表面面积S（近似到0.01平方厘米），并写出推导过程.
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
第21题：
A．
B．
C．
D．
A．甲的平均成绩和乙一样，且甲更稳定
B．甲的平均成绩和乙一样，但乙更稳定
C．甲的平均成绩高于乙，且甲更稳定
D．乙的平均成绩高于甲，且乙更稳定
A．点与点
B．点与点
C．点与点
D．点与点
A．①是真命题②是假命题
B．①是假命题②是真命题
C．①②都是真命题
D．①②都是假命题
身高分组区间
频数
频率
累积频数
3
0.05
3
6
0.09
9
6
0.09
15
4
0.06
19
12
0.18
31
8
0.12
39
8
0.12
47
7
0.11
54
8
0.12
62
2
0.03
64
2
0.03
66