2024-2025学年上海市南洋模范中学高二下学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年上海市南洋模范中学高二下学期期中考试数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如果A⋅C0,m≠ 3)．
(1)若m=2，求椭圆Γ的离心率；
(2)设A1,A2为椭圆Γ的左右顶点，若椭圆Γ上一点E的纵坐标为1，且EA1⋅EA2=−2，求m的值；
(3)若P为椭圆Γ上一点，过点P作一条斜率为 3的直线与双曲线y25m2−x25=1仅有一个公共点，求m的取值范围．
21.(本小题14分)
定义：若曲线C1和曲线C2有公共点P，且在P处的切线相同，则称C1与C2在点P处相切．
(1)设f(x)=1−x2,g(x)=x2−8x+m.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在点P处相切，求m的值；
(2)设ℎ(x)=x3，若圆M：x2+(y−b)2=r2(r>0)与曲线y=ℎ(x)在点Q(Q在第一象限)处相切，求b的最小值；
(3)若函数y=f(x)是定义在R上的连续可导函数，导函数为y=f′(x)，且满足f′(x)≥f(x)和f(x)< 2都恒成立.是否存在点P，使得曲线y=f(x)sinx和曲线y=1在点P处相切？证明你的结论．
参考答案
1.C
2.D
3.D
4.B
5.24
6.−3或0
7.x−y−1=0
8. 662/12 66
9.1
10. 22/12 2
11.②③
12.13,+∞
13.4
14. 24
15.80+31π3
16.8
17.【详解】(1)取A1D中点F，连接OF、AF，如图所示：
因为O为A1C中点，所以OF//CD，且OF=12CD．
又ABCD−A1B1C1D1是长方体，E为AB中点，
所以AE//CD，且AE=12CD，即AE//OF，且AE=OF，
四边形AEOF为平行四边形，所以OE//AF．
又AF在平面ADD1A1内，OE在平面ADD1A1外，因此，OE//平面ADD1A1．
(2)连接A1C1，如图所示：
因为C1C⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，
所以∠A1C1C=90∘，又DD1//CC1，
所以∠A1CC1是异面直线A1C与DD1所成角(或其补角)．
tan∠A1CC1=A1C1CC1= 22+223=2 23，故∠A1CC1=arctan2 23．
因此，异面直线A1C与DD1所成角的大小为arctan2 23．

18.【详解】(1)因为3Cxx−4=5Ax−12，所以3×x!4!(x−4)!=5×(x−1)!(x−3)!，
即3x(x−1)(x−2)(x−3)4!=5(x−1)(x−2)，因x−1≥2，即x≥3，
整理得x2−3x−40=0，解得x=8或x=−5(舍去)，
故原方程的解为x=8．
(2)因为a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+⋯+a8(x+2)8=x8，
令x=−2，得a0=(−2)8=256．
因为x8=−2+(x+2)8，而−2+(x+2)8展开式的通项为Tr+1=C8r(−2)8−r(x+2)r(0≤r≤8且r∈N)，
所以a5=C85×(−2)3=−448，
所以a0+a5=256−448=−192．

19.【详解】(1)分别以AD，AB为x，y轴建立平面直角坐标系，如图，
则E(0,2)，F(0,4)，设成功点M(x,y)(0≤x≤10)，
依题意，|FM||EM|=2vtvt=2，即|FM|=2|EM|，
则 x2+(y−4)2=2 x2+(y−2)2，化简得x2+(y−43)2=169(0≤x≤43)，
所以这个矩形场地内成功点M的轨迹方程是x2+(y−43)2=169(0≤x≤43)．
(2)由(1)知，点M的轨迹是以(0,43)为圆心，43为半径的右半圆，
由电子狗在线段FP上总能逃脱，得直线FP与点M的轨迹在y轴右侧且相离，
此时直线FP的斜率k43，得k2 3．
又因为P为椭圆Γ上一点，所以x2m2+y23=1y= 3x+b，则3+3m2x2+2 3bm2x+b2−3m2=0，
则△=2 3bm22−43+3m2b2−3m2≥0，解得：b2≤3m2+3，
所以5m2−15≤3m2+3，所以−3≤m≤3，综上所述： 30，由ℎ(x)=x3求导得ℎ′(x)=3x2，则切线的斜率为ℎ′(x2)=3x22，
又圆M：x2+(y−b)2=r2的圆心M(0,b)，直线MQ的斜率为x23−bx2，
则由x23−bx2⋅3x22=−1，得b=x23+13x2，令φ(x)=x3+13x,x>0，求导得φ′(x)=3x2−13x2，
当00，即函数φ(x)在(0, 33)上递减，在( 33,+∞)上递增，
因此当x= 33时，φ(x)min=φ( 33)=4 39，
所以当x2= 33时，bmin=4 39．
(3)假设存在P(x0,1)满足题意，
则有f(x0)sinx0=1，对函数y=f(x)sinx求导得：y′=f′(x)sinx+f(x)csx，
于是f′(x0)sinx0+f(x0)csx0=0，即f′(x0)sinx0=−f(x0)csx0，
平方得[f′(x0)]2sin2x0=[f(x0)]2cs2x0=[f(x0)]2(1−sin2x0)，
即有[f′(x0)]2sin2x0+[f(x0)]2sin2x0=[f(x0)]2，因此[f′(x0)]2⋅1[f(x0)]2+1=[f(x0)]2，
整理得[f′(x0)]2+[f(x0)]2=[f(x0)]4，而恒有f′(x)≥f(x)成立，则有[f′(x0)]2≥[f(x0)]2，
从而[f(x0)]4≥2[f(x0)]2，显然f(x0)≠0，于是[f(x0)]2≥2，即|f(x0)|≥ 2与f(x)< 2恒成立矛盾，
所以假设不成立，即不存在点P满足条件．
【点睛】关键点睛：涉及导数的几何意义的问题，求解时应把握导数的几何意义是函数图象在切点处的切线斜率，切点未知，设出切点是解题的关键．