2023-2024学年上海市徐汇区南洋模范中学高二（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年上海市徐汇区南洋模范中学高二（下）期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知直线2x−y+1=0与直线x+my+2=0垂直，则m= ______．
2.已知函数f(x)=2x2+1，则limx→0f(2+Δx)−f(2)Δx= ______．
3.2位教师和3名学生站成一排，要求2位教师相邻，则不同排法的种数为______．
4.已知随机变量X服从两点分布，且P(X=0)=2a2，P(X=1)=a，那么a= ______．
5.双曲线C：49mx2−16my2=1的渐近线方程为______．
6.投掷一颗骰子，记事件A={2,4,5}，B={1,2,4,6}，则P(A|B)= ______．
7.已知点A(1,1)，F1是椭圆x28+y24=1的左焦点，P是椭圆上任意一点.则|PF1|+|PA|的取值范围为______．
8.已知圆C：x2+y2−6x=0，l1，l2是过原点且互相垂直的两条直线，若l1被C截得的弦长与l2被C截得的弦长的比为2：1，则直线l1的斜率k= ______．
9.若m，n∈N∗，m≥3，n≥m+2，则Anm=Am2An−2m−2+C21Am1An−2m−1+ ______.(请用一个排列数来表示)
10.下列说法中正确的是______．
①设随机变量服X从二项分布B(6,12)，则p(x=3)=516；
②已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2)且P(X<4)=0.9，则P(0③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A=“4个人去的景点互不相同”，事件B=“小赵独自去一个景点”，则P(A|B)=29；
④E[2X+3]=2E[X]+3，D[2X+3]=4D[X]．
11.在某道选词填空题中，共有4个空格、5个备选单词，其中每个空格只有备选单词中的一个正确答案(备选单词中有一个是多余的)，则4个空格全部选错的概率是______．
12.如图，有一张较大的矩形纸片ABCD，O，O1分别为AB，CD的中点，点P在OO1上，|OP|=2.将矩形按图示方式折叠，使直线AB(被折起的部分)经过P点，记AB上与P点重合的点为M，折痕为l.过点M再折一条与BC平行的折痕m，并与折痕l交于点Q，按上述方法多次折叠，Q点的轨迹形成曲线E.曲线E在Q点处的切线与AB交于点N，则△PQN的面积的最小值为______．
二、选择题（第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分）
13.某12人的兴趣小组中，有5名“三好生”，现从小组中任意选6人参加竞赛，用ξ表示这6人中“三好生”的人数，则下列概率中等于C53C73C126的是( )
A. P(ξ=2)B. P(ξ=3)C. P(ξ≤2)D. P(ξ≤3)
14.已知二项式(1+2x)5，则( )
A. 展开式中第3项与第4项的二项式系数相等
B. 展开式中第三项为40x2
C. 展开式所有项的系数和为32
D. 展开式中第二项的系数最大
15.若斜率为1的直线l与曲线y=ln(x+a)和圆x2+y2=2都相切，则实数a的值为( )
A. −1B. 1C. 3D. −1或3
16.设定义域为R的偶函数y=f(x)的导函数为y=f′(x)，若f′(x)+(x+1)2也为偶函数，且f(2a+4)>f(a2+1)，则实数a的取值范围是( )
A. (−∞,−1)∪(3,+∞)B. (−∞,−3)∪(1,+∞)
C. (−3,1)D. (−1,3)
三、解答题（共78分）
17.已知(x−1)(mx+1)7=a0+a1x+a2x2+…+a8x8．
(1)若m=−1，求a1+a3+a5+a7的值；
(2)若a2=−70，求m的值．
18.已知函数f(x)=aex+sinx−2，且f(x)在点(0,f(0))处的切线与直线x+2y−1=0垂直．
(1)求a的值；
(2)当x≥0时，求f(x)的导函数f′(x)的最小值．
19.某校高二年级数学竞赛选拔赛分为初赛和决赛两阶段进行.初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个班级派出两名同学，且每名同学都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的同学才具备参与决赛的资格.高二某班派出甲和乙参赛.在初赛中，若甲通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是45、34，乙通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是23、12，且每名同学所有轮次比赛的结果互不影响．
(1)若该班获得决赛资格的同学个数为X，求X的分布列和数学期望；
(2)已知甲和乙都获得了决赛资格.决赛的规则如下：将问题放入A，B两个纸箱中，A箱中有3道选择题和3道填空题，B箱中有4道选择题和4道填空题.决赛中要求每位参赛同学在A，B两个纸箱中随机抽取两题作答.甲先从A箱中依次抽取2道题目，答题结束后将题目一起放入B箱中，然后乙再从B箱中抽取题目．
①求乙从B箱中抽取的第一题是选择题的概率；
②已知乙从B箱中抽取的第一题是选择题，求甲从A箱中抽出的是2道选择题的概率．
20.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线上一点与右焦点F(2,0)的最短距离为 2．
(1)求双曲线的方程；
(2)O为坐标原点，直线x=ty+2与双曲线的右支交于A、B两点，与渐近线交于C、D两点，A与C在x轴的上方，B与D在x轴的下方．
(ⅰ)求实数t的取值范围．
(ⅱ)设S1、S2分别为△AOC的面积和△BOD的面积，求S1+S2的最大值．
21.已知函数f(x)=alnx−ax+1，a∈R．
(1)若经过点(0,0)的直线与函数f(x)的图像相切于点(2,f(2))，求实数a的值；
(2)设g(x)=f(x)+12x2−1，若函数g(x)在区间(32,4)为严格递减函数时，求实数a的取值范围；
(3)对于(2)中的函数g(x)，若函数g(x)有两个极值点为x1，x2(x1≠x2)，且不等式g(x1)+g(x2)<λ(x1+x2)恒成立，求实数λ的取值范围．
参考答案
1.2
2.8
3.48
4.12
5.7x±4y=0
6.12
7.[3 2,5 2].
8.±12
9.An−2m
10.①②③④
11.53120
12.8 39
13.B
14.AB
15.D
16.A
17.解：(1)在(x−1)(−x+1)7=a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a8x8中，
取x=1，得0=a0+a1+a2+⋅⋅⋅+a8，
取x=−1，得−256=a0−a1+⋅⋅⋅+a8，
以上两式相减，得a1+a3+a5+a7=128．
(2)(mx+1)7的通项为Tk+1=C7k(mx)7−k=m7−kC7kx7−k，
若a2=−70，可得mC76−m2C75=−70，
所以3m2−m−10=0，解得m=2或−53．
18.解：(1)f(x)=aex+sinx−2，
则f′(x)=csx+aex，
所以f′(0)=a+1
因为直线x+2y−1=0的斜率为−12，f(x)在点(0,f(0))处的切线与直线x+2y−1=0垂直．
所以(a+1)⋅(−12)=−1，解得a=1；
(2)令g(x)=f′(x)=csx+ex(x≥0)．
∵g′(x)=−sinx+ex>0，
∴f′(x)在[0,+∞)上单调递增．
∴f′(x)的最小值是f′(0)=cs0+e0=2．
19.解：(1)甲获得决赛资格的概率P1=45×34=35，乙获得决赛资格的概率P2=23×12=13，
由题意得X=0，1，2，
则P(X=0)=(1−35)×(1−13)=415，P(X=1)=(1−35)×13+35×(1−13)=815，P(X=2)=35×13=315，
所以X的分布列为：
所以E(X)=0×415+1×815+2×315=1415；
(2)设事件Ai=“甲取到i道选择题”，i=0，1，2；事件B=“乙取到第一题是选择题”，
由题意可知，P(A0)=C32C62=315，P(A1)=C31C31C62=915，P(A2)=C32C62=315，
P(B|A0)=C41C101=410，P(B|A1)=C51C101=510，P(B|A2)=C61C101=610，
①由全概率公式可得：P(B)=P(A0)P(B|A0)+P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=12；
②由条件概率公式和乘法公式可得：P(A2|B)=P(A2B)P(B)=P(A2)P(B|A2)P(B)=625．
20.解：(1)设双曲线的焦距为2c，
此时c=2，
因为F(2,0)到直线bx−ay=0的距离为|2b| b2+a2= 2，
所以b= 2，
则a= c2−b2= 2，
故双曲线的方程为x22−y22=1；
(2)(ⅰ)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立x=ty+2x2−y2=2，消去x并整理得(t2−1)y2+4ty+2=0，
此时t2−1≠0Δ=8t2+8>0y1+y2=−4tt2−1y1⋅y2=2t2−1，
因为直线与双曲线右支交于两点，
所以y1y2=2t2−1<0，
解得−1则t的取值范围为(−1,1)；
(ⅱ)由(ⅰ)知|AB|= 1+t2|y1−y2|= 1+t2 (y1+y2)2−4y1y2= 1+t2 8t2+81−t2，
又原点O到直线AB的距离d=2 1+t2，
设C(x3,y3)，D(x4,y4)，
联立x=ty+2x2−y2=0，消去x并整理得(t2−1)y2+4ty+4=0，
此时Δ=16>0，
由韦达定理得y3+y4=−4tt2−1，y3y4=4t2−1，
所以|CD|= 1+t2|y3−y4|= 1+t2 (y3+y4)2−4y3y4= 1+t2 161−t2，
因为S1+S2=S△COD−S△AOB=12||CD|−|AB||d=4−2 2t2+21−t2，
令m= 2t2+2∈[ 2,2),
此时S1+S2=4−2m1−m2−22=8−4m4−m2=42+m≤42+ 2=4−2 2，
当m= 2，即t=0时，等号成立．
综上所述，S1+S2的最大值为4−2 2．

21.解：(1)已知f(x)=alnx−ax+1，函数定义域为(0,+∞)，
可得f′(x)=ax−a，
此时f′(2)=−a2，
因为经过点(2,f(2))的切线经过原点，
所以k=f(2)2=−a2，
即aln2−2a+12=−a2，
解得a=11−ln2；
(2)因为g(x)=f(x)+12x2−1=alnx+12x2−ax，函数定义域为(0,+∞)，
可得g′(x)=ax+x−a，
若函数g(x)在区间(32,4)为严格递减函数，
此时g′(x)=ax+x−a≤0在区间(32,4)上恒成立，
即a≥x2x−1在区间(32,4)上恒成立，
不妨设ℎ(x)=x2x−1，函数定义域为(32,4)，
可得ℎ′(x)=x2−2x(x−1)2，
当32当20，ℎ(x)单调递增，
所以当x=2时，函数ℎ(x)取得极小值，
又ℎ(32)=92，ℎ(4)=163，
所以a>163，
则实数a的取值范围为(163,+∞)；
(3)若函数g(x)有两个极值点为x1，x2(x1≠x2)，
即g′(x)=x2−ax+ax=0在(0,+∞)上有两个不同的根，
此时方程x2−ax+a=0在(0,+∞)上有两个不同的根，
需满足Δ=a2−4a>0，且x1+x2=a>0，x1x2=a>0，
解得a>4，
若不等式g(x1)+g(x2)<λ(x1+x2)恒成立，
即λ>g(x1)+g(x2)x1+x2恒成立，
因为g(x1)+g(x2)=a(lnx1−x1)+12x12+a(lnx2−x2)+12x22
=alnx1x2−a(x1+x2)+12(x12+x22)=alnx1x2−a(x1+x2)+12[(x1+x2)2−2x1x2]
=alna−12a2−a，
不妨设k(a)=g(x1)+g(x2)x1+x2=alna−12a2−aa=lna−12a−1，函数定义域为(0,+∞)，
可得k′(a)=1a−12=2−a2a，
因为a>4，
所以k′(a)<0，k(a)单调递减，
此时k(a)则λ≥2ln2−3，
故实数λ的取值范围为[2ln2−3,+∞)． X
0
1
2
P
415
815
315