上海市南洋模范中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷（含答案解析）

这是一份上海市南洋模范中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷（含答案解析），共15页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题(本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分)
1. 已知点，直线.过点且与直线垂直，求直线的方程__________.
2. 以为圆心，3为半径的圆的一般方程是__________.
3. 直线与直线的夹角大小为_______．
4. 某校高二年级为选拔参加数学竞赛的学生组织了一次考试，最后选出13名男生和7名女生，这20名学生的考试成绩如茎叶图所示（单位：分），学校规定：成绩不低于130分的人到A班培训，低于130分的人到B班培训，如果用分层抽样的方法从到A班的人和到B班的人中共选取5人，则5人中到A班的有______人.
5. 已知矩形的边平面，现有数据：①；②；③；④；④，当在边上存在点，使时，则可以取__________.（填序号）
6. 已知为空间中两条不同的直线，为两个不同的平面，若，则是的__________条件.（填：“充分非必要”､“必要非充分”、“充要”、“既非充分又非必要”中的一个）
7. 如图所示的图案，是由圆柱、球和圆锥组成，已知球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面，则图案中圆锥、球、圆柱的体积__________.
8. 空间直角坐标系中有一条线段，这条线段在平面，平面，平面上的射影长分别为，则这条线段的长为__________.
9. 已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等,在底面上的射影为的中点,则异面直线与所成的角的余弦值为__________.
10. 平面内，若三条射线､､两两成等角为，则，类比该特性：在空间，若四条射线､､､两两成等角为，则___________.
11. 已知是半径为1的球上任意不同的三点，则的取值范围是__________.
12. 棱长为1的正方体的棱上有一点，满足，若满足条件的这样的点共有4个，则的取值范围是__________.
二、单选题(本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分)
13. 平行线与间的距离为（ ）
14. 若从正方体八个顶点中任取四个顶点分别记为A、B、C、D，则直线AB与CD所成角的大小不可能为（ ）
15. 圆幂是指平面上任意一点到圆心的距离与半径的平方差.在平面上任给两个不同圆心的圆，则两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线被称为这两个圆的根轴.已知圆与圆，是这两个圆根轴上一点，则的最大值为（ ）
16. 折纸与数学有着千丝万缕的联系，吸引了人们的广泛兴趣.因A4纸的长宽比称为白银分割比例，故A4纸有一个白银矩形的美称.现有一张如图所示的A4纸，长，宽分别是其四条边的中点，课堂上，在数学老师的带领下，同学们发现将其沿图中虚线折起，使得四点重合为一点，可以得到一个四面体.课后，小金同学继续思考研究，并得到如下两个命题：①四面体的外接球半径；②四面体的内切球半径，则下列说法正确的是（ ）
三、解答题(本大题共 5 小题，每小题 8 分，共 40 分)
17. 已知空间中三点，设.
(1)若，且，求向量；
(2)求以为一组邻边的平行四边形的面积.
18. 一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字1、2、3、4.现从盒子中随机抽取卡片.
(1)若一次抽取3张卡片，事件A表示“3张卡片上数字之和大于7”，求；
(2)若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，事件B表示“两次抽取的卡片上数字之和大于6”，求；
(3)若一次抽取2张卡片，事件C表示“2张卡片上数字之和是3的倍数”，事件D表示“2张卡片上数字之积是4的倍数”，验证C、D是独立的.
19. 如图，已知在四棱柱中，平面，、分别是、的中点．
(1)求证：平面；
(2)若底面为梯形，，异面直线与所成角为．求直线与平面所成角的正弦值．
20. 规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置．我们说球A是指该球的球心点A．两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动．如图：在桌面上建立平面直角坐标系，设母球A的位置为（R），目标球B的位置为，球的位置为，解决下列问题：
(1)如图①，若，沿向量的方向击打母球A，能否使目标球B向球的球心方向运动？判断并说明理由；
(2)如图②，若，要使目标球B向球的球心方向运动，求母球A的球心运动的直线方程；
(3)如图③，若，能否让母球A击打目标球B后，使目标球B向球的球心方向运动？判断并说明理由．
21. 已知圆与轴分别相交于，过点的直线交圆异于的两点.
(1)当时，求直线的方程；
(2)在（1）的条件下，将圆沿轴折成直二面角，如图，在上半圆上是否存在一点（异于点），使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出点在原直角坐标系下的坐标，若不存在，说明理由；
(3)直线与直线相交于，求证：在定直线上.
上海市南洋模范中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷
整体难度：适中
考试范围：平面解析几何、三角函数与解三角形、计数原理与概率统计、空间向量与立体几何、集合与常用逻辑用语、推理与证明、平面向量
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
第21题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．①是真命题，②是假命题
B．①是假命题，②是真命题
C．①②都是真命题
D．①②都是假命题
题型
数量
填空题
12
单选题
4
解答题
5
难度
题数
容易
3
较易
7
适中
10
较难
1
题号
难度系数
详细知识点
一、填空题
1
0.94
直线的点斜式方程及辨析；由两条直线垂直求方程
2
0.94
由圆心（或半径）求圆的方程；圆的一般方程与标准方程之间的互化
3
0.65
直线的倾斜角；两条直线的到（夹）角公式；用和、差角的正切公式化简、求值
4
0.85
抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算；茎叶图的优缺点与适用对象
5
0.85
线面垂直证明线线垂直
6
0.85
充要条件的证明；证明线面平行；线面平行的性质
7
0.85
柱体体积的有关计算；球的体积的有关计算；锥体体积的有关计算
8
0.65
求空间中两点间的距离
9
0.85
求异面直线所成的角
10
0.65
余弦定理解三角形；平面与空间中的类比；正棱锥及其有关计算
11
0.65
用定义求向量的数量积；数量积的运算律
12
0.65
多面体与球体内切外接问题；立体几何中的轨迹问题
二、单选题
13
0.94
求平行线间的距离
14
0.85
正棱柱及其有关计算；求异面直线所成的角
15
0.65
直线与圆的位置关系求距离的最值；点与圆的位置关系求参数
16
0.65
判断命题的真假；多面体与球体内切外接问题
三、解答题
17
0.65
三角形面积公式及其应用；由向量共线（平行）求参数
18
0.65
计算古典概型问题的概率；独立事件的判断；独立事件的乘法公式
19
0.85
证明线面平行；线面角的向量求法
20
0.65
由圆的位置关系确定参数或范围；直线与圆的实际应用；平行向量（共线向量）；数量积的坐标表示
21
0.4
面面角的向量求法；由直线与圆的位置关系求参数
序号
知识点
对应题号
1
平面解析几何
1,2,3,12,13,15,20,21
2
三角函数与解三角形
3,10,17
3
计数原理与概率统计
4,18
4
空间向量与立体几何
5,6,7,8,9,10,12,14,16,19,21
5
集合与常用逻辑用语
6,16
6
推理与证明
10
7
平面向量
11,17,20