正弦定理边角互化的应用、余弦定理边角互化的应用专项训练含答案-2026届高考数学二轮复习

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A．B．C．D．
【答案】A
【详解】在中，，而，
由，得，又，，则，
由正弦定理得，解得，由，得，
所以.
例2．（25-26高三上·云南·期末）在中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则周长的最大值为（ ）
A．B．C．9D．15
【答案】A
【详解】因为，，
由正弦定理可得，
整理得，则有，
即，，，
当且仅当时，等号成立，
因为周长为，
故周长的最大值为．
例3．（25-26高三下·重庆永川·开学考试·多选）记内角，，的对边分别是，，，已知，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．角的最大值为
C．
D．的取值范围是
【答案】ABD
【详解】对于A：由余弦定理知，
又，所以，即，故A正确；
对于B：由余弦定理知，
由基本不等式知，即，当且仅当时，等号成立.
所以，又，所以，即角的最大值为，故B正确；
对于C： 若，则，
即，
所以，即，也即，
整理得，不合题意，故C错误；
对于D：令，代入中可得，.
由得，，即，
解得.
.
令，易知在上单调递增，
当且，，
当且，，
所以在上的值域为，
的取值范围是，故D正确．
故选：ABD．
例4．（2026·四川泸州·二模·多选）在锐角中，角的对边分别是，已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【详解】对于A，因为，由正弦定理得，
又因为，可得，
所以，
即，可得，
因为，所以或，
即或（舍去），所以A正确；
对于B，由，可得，
由正弦定理得，因为，所以，所以，所以B错误；
对于C，由余弦定理得，
因为，代入可得，
整理得，即，
又因为，可得，所以，
所以，所以C正确；
对于D，由，可得，则，
因为，可得
，
因为为锐角三角形，可得，解得，
令，可得在单调递增，
当时，；当时，，
所以，
因为，所以成立，所以D正确.
故选：ACD.
例5．（2026·山西大同·一模）已知内角A，B，C所对边分别为a，b，c，该三角形外接圆半径为，面积为.若，，则______.
【答案】2
【详解】因为，由正弦定理得，
故，
即，
所以，
又由正弦定理及三角形面积公式，可得，
又因为，所以，解得.
例6．（25-26高二下·湖南长沙·开学考试）在中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，，，且，则的面积为______.
【答案】/
【详解】由及正弦定理可得，又，
所以，
由知，故，所以，即，
所以，，
所以.
例7．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）在中，内角，，的对边分别为，，，且满足.
(1)求角的大小；
(2)若，的面积为，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理可得，
则，
在中，，则且，
所以，即，所以；
（2）因为，所以，
由余弦定理可得，
则，解得，
所以，即的周长.
例8．（2026·宁夏银川·一模）记的内角，，的对边分别为，，，已知.
(1)求角的大小；
(2)若，求的最小值及的面积.
【答案】(1)
(2);
【详解】（1）由和正弦定理，
可得，整理得，
由余弦定理，，因，则.
（2）由化简得，
由余弦定理，，
当且仅当时等号成立，即当时，的最小值为.
的面积为.
变式1．（25-26高二下·云南昭通·开学考试）在中，内角的对边分别为，，，已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为，由正弦定理得，，
，
计算得．
又因为，
所以，
即，
整理得，
所以.
变式2．（25-26高三下·河南·开学考试）记的内角的对边分别为，已知，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意及正弦定理，得，
又，所以，则，
因为，
所以，
所以，
又，所以，
所以，又，
所以当且仅当时，，
又，且，所以，，
所以，则，
故的面积．
故选:C
变式3．（25-26高三下·浙江杭州·月考·多选）在锐角中，角的对边分别为，记的面积为，若，则以下说法正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【详解】已知在锐角中，，其中面积，
，因为，所以，即，选项A正确；
由余弦定理，，代入得：，
由正弦定理，，，代入得：，
继续化简得，
因为是锐角三角形，所以，，故，即，选项B正确；
因为是锐角三角形，且，所以：，解得：，选项C错误；
，而，代入得：
，因为，所以，
令，则，该函数是开口向上，对称轴为的二次函数，
因为区间在对称轴右侧，所以函数在该区间上单调递增，
而，，所以，选项D正确.
变式4．（2026·江西·一模·多选）在中，三个内角所对的边分别为，若，，的面积为1，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【详解】由知，，
化简可得，
根据和差化积公式可得：，
则，即，
由知，，
所以，即，故C正确；
由，得：，所以，故B不正确；
在中，由，知，故A正确；
由知，，
又，则，又，
由正弦定理得，，故D不正确.
变式5．（25-26高三下·安徽·开学考试）已知分别为三个内角的对边，且，则___________.
【答案】
【详解】由正弦定理：，
，
，
所以
，则，
，，
又，
则，
又，
.
变式6．（25-26高二下·浙江·开学考试）已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，则为______.
【答案】
【详解】由正弦定理得，因此可知，
代入余弦定理，得，
同除以得，即，其中，
当且仅当，即时，等号成立；
故，即，因此.
变式7．（25-26高二下·湖南岳阳·开学考试）在锐角中，，，分别是角，，的对边，．
(1)求角的大小；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在中，因为，所以，
由已知可得： ，
再由正弦定理可得：，因此原等式变形为： ，
因为中，，约去后可得：，
又是锐角三角形内角，故；
（2）由可得：，即，
代入得： ，
又因为是锐角三角形，所以，则，即，
因为在上的取值范围是，所以，
即的取值范围为.
变式8．（25-26高三下·云南怒江·开学考试）的内角的对边分别为，.
(1)求角；
(2)若，边的中线长，求的周长.
【答案】(1)
(2)6
【详解】（1）由，
根据正弦定理得：，
因为，所以，
整理得，则，
因为，所以，所以，
因为，所以，
因为，所以.
（2）在中，由余弦定理得，
代入得，，
化简得，解得，
所以，又，所以为正三角形，
的周长为.
考点二 余弦定理边角互化的应用
例1．（2026·湖北十堰·一模）在中，内角，，的对边分别为，，.若，，，则（ ）
A．B．20C．16D．
【答案】D
【详解】因为，，所以.
由正弦定理可知，，所以，，
又，所以，所以.
由余弦定理知，，所以，即.
又，
所以，所以.
故选：D.
例2．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知内角、、的对边分别为，，，且，则的值为（ ）
A．B．3C．D．
【答案】A
【详解】因为，
所以，即，
则由正弦定理得，
所以.
故选：A
例3．（25-26高三上·河南新乡·月考·多选）已知的面积为1，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【详解】由，则，
即，可得，
化简可得，
根据和差化积公式可得，
由，则，
代入上式可得，
即.
因为，所以，，则，
所以或，.
因为是三角形的内角，所以或，
当时，，即，不合题意.
当时，，即；
所以，，，
由，则，
由的面积为，则，即，故D正确；
由，解得，故B正确；
若，由，解得，
由，不合题意，故A错误；
，故C正确.
故选：BCD.
例4．（2025·福建泉州·模拟预测·多选）在斜中，若，则（ ）
A．B．的最大值为
C．D．
【答案】BCD
【详解】对于A，由余弦定理得
，再由正弦定理得
即，整理得：，即，故A错误；
对于B，因为，，所以，，
所以，当且仅当，即时，等号成立，
所以，又因为，所以，所以的最大值为，故B正确；
对于C，由A可知，即，
又因为
，
即，
同理可得，
所以，
即，
所以，故C正确；
对于D，因为，
又因为，所以，
，所以，故D正确.
故选：BCD.
例5．（25-26高三上·山东菏泽·月考）记的内角，，的对边分别为，，，若，则________．
【答案】
【详解】因为，由正弦定理得
，
所以，
因为，
所以.
故答案为：
例6．（25-26高三上·河南·月考）记的内角的对边分别为，若，则____.
【答案】
【详解】由余弦定理得，又，
所以，即；
由正弦定理，得，所以，
即，即；
因为，所以①，当且仅当时取等号；
又，所以，所以②，
当，即时，等号成立；
由①②知，即，此时；
所以.
故答案为：.
例7．（25-26高三下·重庆·开学考试）已知的内角的对边分别为，且，.
(1)求c及C；
(2)求周长的最大值.
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）由，则，
所以，
由，而，即，
所以，而，故；
（2）由（1）知，则，当且仅当时取等号，
所以，即时取等号，
所以周长的最大值为.
例8．（25-26高三下·广东江门·开学考试）在中，角所对的边分别为，．
(1)求角的大小；
(2)若，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，
由余弦定理可得，即，可得，
又因为，所以.
（2）因为，，由余弦定理可得，
即，可得，
又因为，即，可得，
当且仅当时，等号成立，
所以面积的最大值为.
变式1．（2025·江西南昌·二模）在中，角的对边分别是，若，则 （ ）
A．2B．3C．D．
【答案】A
【详解】由余弦定理可得，化简可得，
因为，所以.
故选：A
变式2．（24-25高三下·陕西西安·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ）
A．B．C．1D．3
【答案】A
【详解】由余弦定理，有，
由正弦定理可得，
因为，所以，即，解得.
故选：A.
变式3．（25-26高三上·陕西西安·期末·多选）已知的面积为，角所对的边分别为，下列条件中，能使为等腰三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，由正弦定理，可得或或，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，由正弦定理，可得 ，
由复合函数的性质可知在和上单调递增，且当时，，当时，，
故，故D正确.
故选：ACD
变式4．（2026·江西九江·一模·多选）在中，内角的对边分别为，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【详解】对于A选项 ，由，所以，
得，A选项正确；
对于B选项 ，由 ，
则，
得，由正弦定理，即 ，
代入 ，得 ，
解得 或，B选项错误；
对于C， ，
由,，
，C选项错误；
对 D选项，，
，D选项正确.
故选:AD
变式5．（25-26高三上·河北保定·期末）在中，内角的对边分别是．已知，则的面积为___________．
【答案】
【详解】因为，
由余弦定理得到，化简得到，
由余弦定理，得到；
得到；
所以三角形面积为.
故答案为：.
变式6．（24-25高三上·贵州遵义·月考）在中，若，，则_________.
【答案】
【详解】由可得，即，
解得或.
由可得，整理得,
两边同时除以得，
若，则，解得；
若，则，此时无实数解.
由可得.
故答案为：
变式7．（25-26高三下·甘肃白银·月考）在中，角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），，
，
，.
（2），，
，，，
，（为外接圆的半径），
，，
.
变式8．（2026·贵州毕节·一模）在中，内角所对的边分别为.已知.
(1)求的值；
(2)若的面积为，求的周长.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）由正弦定理，可将转化为，
由余弦定理可知，，
又因为，又因为，
故；
（2）由题可知，，
解得，
再由余弦定理，
解得，
因此的周长为.考点目录
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