圆锥曲线综合：弦长问题、距离问题专项训练含答案-2026届高考数学二轮复习

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(1)求椭圆的方程；
(2)过点作互相垂直的直线，其中交椭圆于两点，交椭圆于两点，求四边形面积的取值范围；
(3)已知点是椭圆上的任意一点，直线与圆相交于两点，求证：.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）因为椭圆的蒙日圆为，所以，
因为椭圆的离心率为，所以，
联立方程组，解得，
则椭圆的方程为.
（2）由题意得，如图，作出符合题意的图形，
①当斜率不存在，斜率为0时，方程为，原点到的距离为，
得到，，
则四边形面积，
②当斜率存在，斜率不为0时，设的方程为，
则的方程为，即，
设、，联立与的方程，即，
消去得，
由韦达定理得
由于在椭圆内部，可得直线与必相交，
由弦长公式得，
设，，联立与的方程，即，
消去得，
由韦达定理得，
由弦长公式得，
对于互相垂直的直线，可得，
设四边形面积为，则，
令，则，令，
可得，令，，令，，
则在上单调递减，在上单调递增，
且，当时，，当时，，
则，有已知得当斜率不存在，斜率为0时，，
故四边形面积的取值范围为.
（3）如图，作出符合题意的图形，
设，则，可得，又、，
由两点间距离公式得，
由圆幂定理得，
故得证.
例2．（25-26高三上·山东潍坊·月考）已知双曲线的实轴长为2，顶点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)经过双曲线E的右焦点F的直线l与E相交于A，B两点，
（ⅰ）若交点A，B在双曲线E的右支，点，证明：.
（ⅱ）以AB为直径的圆是否恒过x轴上的定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）以AB为直径的圆恒过x轴上的定点.
【详解】（1）双曲线的右顶点为，渐近线为，即.
由题意：，.
所以双曲线的方程为：.
（2）（ⅰ）如图：
因为双曲线的右焦点为，设，，
所以，
同理.
又，
同理.
欲证，只需证，
即
等价于
因为
.
因为点三点共线，所以，
所以，
整理得.
所以成立，故.
（ⅱ）因为直线斜率不能为0，可设直线：.
由，
整理得：.
则，.
于是，.
以为直径的圆的直径式方程为，
令得：，
所以
所以.
所以不管取何值，都是方程的解.
即以为直径的圆恒过点.
例3．（25-26高三上·广东深圳·期末）在直角坐标系中，动圆与圆外切，且与直线相切，记的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)若直线与交于轴异侧两点，且．
（i）证明：过定点；
（ii）过作于点，求的最小值．
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）.
【详解】（1）由题意，动圆圆心到点的距离比其到直线的距离大，
∴圆心到点的距离等于它到直线的距离，
∴圆心的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，
设的方程为，则，
，
∴的方程为．
（2）（i）当直线斜率为时，与抛物线有且只有一个交点，
则可设直线的方程为，
联立，
得，
，
∴，或，由题（舍去），则，
∴过定点．
（ii）∵过作于点，且由（i）过定点，
∴点在以为圆心，4为半径的圆上，
设，且，，
，
∴当时，，
∴，
即的最小值为．
变式1．（25-26高二上·江苏南京·期末）已知动点P到定点与到定直线的距离相等．
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)过作两条斜率乘积为的直线，分别交P的轨迹于A、B和C、D两点，且线段，的中点分别为M，N．
①证明：直线恒过定点；
②求的最小值．
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②
【详解】（1）设，则，
解得．
（2）
①设直线的方程为），由与的斜率乘积为，可得直线的方程为，
联立，消去得：，
则，设，由韦达定理可得，
为线段的中点，
，代入得，即，
联立，消去得：，
设，同理可得，
则直线的斜率，
直线的方程为，
即变形为：，
令，解得，恒过定点．
②直线对应的弦长，
直线对应的弦长，
的表达式为：，
由基本不等式得，当且仅当时取等号，
，
的最小值为．
变式2．（25-26高二上·贵州遵义·期末）椭圆（）与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，为坐标原点，若椭圆的离心率，三角形的面积.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若是第一象限内椭圆上一点，直线与轴正半轴相交于点，直线与轴正半轴相交于点.
（ⅰ）求证：等于定值；
（ⅱ）求三角形面积的最小值.
【答案】(1)
(2)（ⅰ）证明见详解
（ⅱ）
【详解】（1）椭圆的离心率，，又三角形的面积，，
又，，
故椭圆的标准方程为.
（2）（ⅰ）由（1）得，设，
，即直线的方程为：，令，得，
故，
又，即直线的方程为：，令，得，
故，
，
又，得，
，
，
，
故等于定值为.
（ⅱ）由以上可知，，
则，
设，由，设，，，
则，
，，
，
令，，则，
则，
当取最大值时，取得最小值为.
变式3．（25-26高三上·湖北·期末）已知椭圆的左､右顶点分别为，上､下顶点分别为，记四边形的内切圆为为上任意一点，过作的两条切线分别交于两点.
(1)求的标准方程；
(2)求证：直线过定点；
(3)求的最小值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3).
【详解】（1）由题意，知，
所以直线方程为，即.
内切圆的圆心（即原点）到直线的距离为，即圆的半径.
所以圆的标准方程为.
（2）设直线方程为，
由直线与圆相切，可知原点到直线距离，
整理得.
将直线的方程代入椭圆，可得
，整理得.
所以，
即，所以.
同理，故三点共线，
所以直线过定点.
（3）由（2）知三点共线，
所以.
设，代入椭圆方程得，则.
所以.
同理.
所以.
因为.
所以.
所以.
当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
考点二 距离问题
例1．（25-26高三上·湖北随州·月考）双曲线C：的左顶点为A，焦距为4，过右焦点F作垂直于实轴的直线交C于B，D两点，且是直角三角形．
(1)求双曲线C的方程及其渐近线的方程；
(2)M，N是双曲线C右支上的两动点，设直线AM，AN的斜率分别为，，若，求点A到直线的距离d的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）解：依题意，，，，即，得，
解得（负值已舍去），
所以，故双曲线C的方程为．
渐近线方程为.
（2）显然直线MN不可能与x轴平行，故可设直线MN的方程为，
联立，消去x整理得，
在条件下，设，，则，，
因为，由，得，
即，
整理得，
即，
化简得，解得或，又M，N都在双曲线C的右支上，且，
所以，所以不符合题意，故，则直线的方程为，
得，因为，，故有，，满足，
此时，，所以点A到直线的距离d的取值范围为．
例2．（2025·上海金山·一模）已知椭圆，点为坐标原点，点为椭圆上一点．
(1)求椭圆的离心率；
(2)已知点为椭圆的右焦点，直线，证明：点到点的距离与到直线的距离之比为定值；
(3)过线段中点的直线交椭圆于两点，求的最大值．
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3).
【详解】（1）中，，故离心率为，
（2）设，则，则，
故到直线的距离，
所以为定值.
（3）设，则，
由于是线段的中点，故到直线的距离与到直线的距离相等，
故，
设直线：，
联立其与椭圆的方程可得，
设，则，
故，
，故，
，
令，由于在直线上，所以，
由于，故，
化简可得，
由于该关于的方程在上有解，故，解得，
则，故当时，此时取到最大值.
例3．（25-26高三上·重庆·月考）已知椭圆的长轴为8，动圆的圆心在直线上运动，半径为，过椭圆上一点作圆的两条切线（点在圆外），交椭圆于另一个交椭圆于另一个，设的斜率分别为
(1)求椭圆的标准方程
(2)①求证：为定值；②过点作直线的垂线，垂足为，求点到直线的距离的最大值．
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②
【详解】（1）由题意得，即椭圆的方程为，将代入，
即，则椭圆的标准方程为.
（2）①设圆心为，直线，直线，
将合并设为，则圆心到直线的距离
，平方得：
，则，
且，由韦达定理：.
②设直线，联立，
得，所以，
由①可得：，
所以，
所以，
将代入，得，
化简得，即，
所以或.
当时，直线，过，舍去；
当时，直线，
此时直线过定点，则的轨迹是以的中点为圆心，
为半径的圆，其标准方程为：，
点到直线的距离为，故点到直线的距离的最大值为.
变式1．（25-26高二上·新疆·月考）已知椭圆的短轴长为2，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知直线的方程为，点在椭圆上，设点到直线的距离为，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意可得，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）设与直线：平行且与椭圆相切的直线为，
联立，消整理得，
由题意，解得，
画图可知，当时，直线与直线的距离为椭圆上的点到直线的距离最小值，为，
当时，直线与直线的距离为椭圆上的点到直线的距离最大值，为，
因此的取值范围.
变式2．（25-26高二上·江苏·期末）已知椭圆过点，离心率为．若、是椭圆上的两个不同的动点，直线、的斜率分别为、，且．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求坐标原点到直线的距离的取值范围；
(3)设的中点为，点满足，过作轴，过作轴，直线与直线交于点，求的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题意可得，解得，
故椭圆的标准方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，
由得，
所以，所以，
此时直线的方程为或，则；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由，得，
则，得，
由韦达定理可得，，
所以
，
化简得，
因为，所以且，，
所以（或），
由且（或由且），
所以或，所以，
综上所述，.
（3）当直线的斜率不存在时，，满足，
当直线的斜率存在时，由（2）知，
因为，
所以，
所以，
由（2）知，
综上.
变式3．（25-26高二上·江西南昌·月考）已知双曲线的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，，且焦点到渐近线的距离为.点是双曲线上不同于的任意一点，过点作的平分线的垂线（垂足为）交直线于点，（为坐标原点）.过右焦点的直线交双曲线的右支于两点，记，的内切圆的圆心分别为，.
(1)求双曲线的标准方程，并求出直线的倾斜角的取值范围.
(2)求，到右顶点的距离之差的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）焦点到渐近线的距离均为，故．
由角平分线的性质可知，
在中，是中位线，则有．
又，即．又，所以，
所以双曲线的标准方程为．
知，渐近线的倾斜角分别为，
当是通径时，其倾斜角；
当不是通径时，可设其方程为，代入双曲线方程，
整理可得，
．
由，可得，所以或，
综上所述，．
所以双曲线的标准方程为．直线的倾斜角的取值范围为
（2）设在第一象限内，内切圆与的切点分别为，
则，
所以．
因此，切点是右顶点，所以圆心在直线上；
同理，圆心也在直线上，从而在直线上．
连接，由上分析可知，都垂直于，
且平分．知．
当时，，到右顶点的距离之差为0．
当时，在中，因为，所以，
则，所以．
因为，
所以．又，且，即或，
所以或．
综上所述，，到右顶点的距离之差的取值范围是．
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