高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）专题研究二正、余弦定理应用举例(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）专题研究二正、余弦定理应用举例(原卷版+解析)，共23页。

【回归教材】
1.仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．
2.方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．
3.方向角：相对于某一正方向的水平角．
(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)．
(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．
(3)南偏西等其他方向角类似．
4.坡角与坡度
(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．
(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．
题型一 测量距离问题
【例1-1】如图，从气球上测得正前方的河流的两岸、的俯角分别为、，此时气球的高是，则河流的宽度约等于（ ）．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：，，，，）
A．B．C．D．
归纳总结：
【练习1-1】一艘船航行到点A处时，测得灯塔C在其北偏东75°方向，如图所示随后该船以15海里/小时的速度，向东南方向航行2小时后到达点B，测得灯塔C在其北偏东30方向，此时船与灯塔C间的距离为（ ）
A．海里B．海里C．海里D．30海里
题型二 测量高度问题
【例2-1】如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点．从点测得点的仰角点的仰角以及；从点测得．已知山高，则山高（ ）
A．B．C．D．
归纳总结：
【练习2-1】如图，三点在地面同一直线上，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD＝200米，点C位于BD上，则山高AB等于（ ）
A．米B．米
C．米D．200米
题型三 测量角度问题
【例3-1】图1是南北方向、水平放置的圭表（一种度量日影长的天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成）示意图，其中表高为h，日影长为l.图2是地球轴截面的示意图，虚线表示点A处的水平面.已知某测绘兴趣小组在冬至日正午时刻（太阳直射点的纬度为南纬）在某地利用一表高为的圭表按图1方式放置后，测得日影长为，则该地的纬度约为北纬（ ）（参考数据：，）
A．B．C．D．
归纳总结：
【练习3-1】位于某海域A处的甲船，在其正东方20nmile的B处有一艘船遇险后抛锚等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知位干甲船南偏西30°且与甲船相距nmile的C处的乙船．那么乙船前往营救遇险船时的目标方向线（由观测点看目标视线）的方向是北偏东多少度？需要航行的距离是多少海里？
【请完成课时作业（三十一）】
【课时作业（三十一）】
一、单选题
1．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为( )
A．a km B． a km C． akm D．2akm
2．“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名．下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面点看楼顶点的仰角为30°，沿直线前进79米到达点，此时看点的仰角为45°，若，则楼高约为（ ）．
A．65米 B．74米 C．83米 D．92米
3．如图，是某防汛抗洪大坝的坡面，大坝上有一高为20米的监测塔，若某科研小组在坝底点测得，沿着坡面前进40米到达点，测得，则大坝的坡角（）的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
4．魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（ ）
A．表高 B．表高
C．表距 D．表距
二、填空题
5．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 ________ m.
6．“鲅鱼公主”形象源于一个古老的传说，寓意深刻，美丽动人，象征和平，鲅鱼圈也因此得名， 享誉中外.“鮁鱼公主”雕塑作为渤海明珠景区的重要组成部分，东与望儿山翘首相望、北与鱼跃龙腾雕塑交相辉映，是山海文化、鱼龙文化相互交融的经典力作，是鲅鱼圈的标志性建筑.高中生李明与同学进行研究性学习，为确定“鲅鱼公主”雕塑的高MN，选择点A和附近一楼顶C作为测量观测点.从A点测得M点的仰角，C点的仰角从C点测得，已知楼高BC=40m，则“鲅鱼公主”雕塑的高MN=_____m
7．如图，一栋建筑物AB高（30-10）m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD．在它们之间的地面M点（B、M、D三点共线）测得对楼顶A、塔顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得对塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高为______m．
三、解答题
8．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D. 现测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高.
9．在海岸处，发现北偏东方向，距离为海里的处有一艘走私船，在处北偏西方向，距离为海里的处有一艘缉私艇奉命以海里/时的速度追截走私船，此时，走私船正以海里/时的速度从处向北偏东方向逃窜.
（1）问船与船相距多少海里？船在船的什么方向？
（2）问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间.
10．如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB为6，O是圆心，且OC⊥AB.在OC上有一座观赏亭Q，其中∠AQC＝，.计划在上再建一座观赏亭P，记∠POB＝θ.
（1）当θ＝时，求∠OPQ的大小；
（2）当∠OPQ越大时，游客在观赏亭P处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时，角θ的正弦值．
11．如图，矩形ABCD区域内，D处有一棵古树，为保护古树，以D为圆心，DA为半径划定圆D作为保护区域，已知m，m，点E为AB上的动点，点F为CD上的动点，满足EF与圆D相切.
(1)若∠ADE，求EF的长；
(2)当点E在AB的什么位置时，梯形FEBC的面积有最大值，最大面积为多少？
（长度精确到0.1m，面积精确到0.01m²）
专题研究二 正、余弦定理应用举例
编写：廖云波
【回归教材】
1.仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．
2.方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．
3.方向角：相对于某一正方向的水平角．
(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)．
(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．
(3)南偏西等其他方向角类似．
4.坡角与坡度
(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．
(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．
题型一 测量距离问题
【例1-1】如图，从气球上测得正前方的河流的两岸、的俯角分别为、，此时气球的高是，则河流的宽度约等于（ ）．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：，，，，）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
本题可先可将题目放置于矩形中，然后通过求出，通过求出，两者相减，即可得出结果.
【详解】
如图所示，作矩形，
因为从气球上测得正前方的河流的两岸、的俯角分别为、，
所以，，
因为气球的高是，所以，
则，，，
，，，
，
故选：A.
归纳总结：
【练习1-1】一艘船航行到点A处时，测得灯塔C在其北偏东75°方向，如图所示随后该船以15海里/小时的速度，向东南方向航行2小时后到达点B，测得灯塔C在其北偏东30方向，此时船与灯塔C间的距离为（ ）
A．海里B．海里C．海里D．30海里
【答案】B
【解析】
【分析】
根据正弦定理求解即可
【详解】
由题意可知，海里，由正弦定理可得，解得海里.
故选：B
题型二 测量高度问题
【例2-1】如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点．从点测得点的仰角点的仰角以及；从点测得．已知山高，则山高（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
解直角三形再结合正弦定理可求解.
【详解】
在Rt中，，所以．
在中，，从而，
由正弦定理得，，因此．
在Rt中，
故选：A．
归纳总结：
【练习2-1】如图，三点在地面同一直线上，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD＝200米，点C位于BD上，则山高AB等于（ ）
A．米B．米
C．米D．200米
【答案】C
【解析】
【分析】
在中求得AC，再在中，利用正弦定理求解.
【详解】
解：设山高AB，
在中，，
在中，由正弦定理得，
即，
解得，
故选：C
题型三 测量角度问题
【例3-1】图1是南北方向、水平放置的圭表（一种度量日影长的天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成）示意图，其中表高为h，日影长为l.图2是地球轴截面的示意图，虚线表示点A处的水平面.已知某测绘兴趣小组在冬至日正午时刻（太阳直射点的纬度为南纬）在某地利用一表高为的圭表按图1方式放置后，测得日影长为，则该地的纬度约为北纬（ ）（参考数据：，）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意有，可得，从而可得
【详解】
由图1可得，又，
所以，所以，
所以，
该地的纬度约为北纬，
故选：．
归纳总结：
【练习3-1】位于某海域A处的甲船，在其正东方20nmile的B处有一艘船遇险后抛锚等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知位干甲船南偏西30°且与甲船相距nmile的C处的乙船．那么乙船前往营救遇险船时的目标方向线（由观测点看目标视线）的方向是北偏东多少度？需要航行的距离是多少海里？
【答案】北偏东，n mile.
【解析】
【分析】
根据题意画出示意图，利用余弦定理和正弦定理解三角形即可求解.
【详解】
根据题意，画出示意图：
由余弦定理得：
于是
由正弦定理，得
于是，
由可得
因此乙船营救遇险渔船时的目标方向线的方向是北偏东，
需要航行n mile.
【请完成课时作业（三十一）】
【课时作业（三十一）】
一、单选题
1．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为( )
A．a kmB． a km
C． akmD．2akm
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据题意确定的值，再由余弦定理可直接求得的值．
【详解】
在中知∠ACB＝120°，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcs120°＝2a2－2a2×＝3a2，∴AB＝a.
故选:B.
【点睛】
本题主要考查余弦定理的应用,属于基础题．
2．“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名．下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面点看楼顶点的仰角为30°，沿直线前进79米到达点，此时看点的仰角为45°，若，则楼高约为（ ）．
A．65米B．74米C．83米D．92米
【答案】B
【解析】
设的高度为，在直角三角形中用表示出，由可求得得楼高．
【详解】
设的高度为，
则由已知可得，，，
所以，解得，
所以楼高（米）．
故选：B．
【点睛】
本题考查解三角形的实际应用．属于基础题．
3．如图，是某防汛抗洪大坝的坡面，大坝上有一高为20米的监测塔，若某科研小组在坝底点测得，沿着坡面前进40米到达点，测得，则大坝的坡角（）的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由，，可得，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，进而由可得结果.
【详解】
因为，，所以.
在中，由正弦定理得，解得.
在中，由正弦定理得，
所以.
又，所以，
所以.
故选A.
【点睛】
本题考查正弦定理解三角形，考查诱导公式，考查学生合理进行边角转化的能力，属于中档题.
4．魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（ ）
A．表高B．表高
C．表距D．表距
【答案】A
【解析】
【分析】
利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出．
【详解】
如图所示：
由平面相似可知，，而 ，所以
，而 ，
即＝ ．
故选：A.
【点睛】
本题解题关键是通过相似建立比例式，围绕所求目标进行转化即可解出．
二、填空题
5．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 ________ m.
【答案】
【解析】
【详解】
试题分析:由题设可知在中,,由此可得,由正弦定理可得,解之得,又因为,所以,应填.
考点：正弦定理及运用．
6．“鲅鱼公主”形象源于一个古老的传说，寓意深刻，美丽动人，象征和平，鲅鱼圈也因此得名， 享誉中外.“鮁鱼公主”雕塑作为渤海明珠景区的重要组成部分，东与望儿山翘首相望、北与鱼跃龙腾雕塑交相辉映，是山海文化、鱼龙文化相互交融的经典力作，是鲅鱼圈的标志性建筑.高中生李明与同学进行研究性学习，为确定“鲅鱼公主”雕塑的高MN，选择点A和附近一楼顶C作为测量观测点.从A点测得M点的仰角，C点的仰角从C点测得，已知楼高BC=40m，则“鲅鱼公主”雕塑的高MN=_____m
【答案】60
【解析】
【分析】
由题意可知，解三角形ABC可求得AC，继而解三角形AMC求得AM，再解三角形AMN，即可求得答案.
【详解】
由题意可知，
由于，故 ，
又因为， ，
所以,
,
又因为，故，
故答案为：60
7．如图，一栋建筑物AB高（30-10）m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD．在它们之间的地面M点（B、M、D三点共线）测得对楼顶A、塔顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得对塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高为______m．
【答案】60
【解析】
【分析】
由已知可以求出、、的大小，在中，利用锐角三角函数，可以求出.在中，运用正弦定理，可以求出.在中，利用锐角三角函数，求出.
【详解】
由题意可知：，，由三角形内角和定理可知.在中，.在中，由正弦定理可知：，
在中，.
【点睛】
本题考查了锐角三角函数、正弦定理，考查了数学运算能力.
三、解答题
8．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D. 现测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高.
【答案】
【解析】
【详解】
在△BCD中，
.
由正弦定理得
所以
在Rt△ABC中，
塔高为.
9．在海岸处，发现北偏东方向，距离为海里的处有一艘走私船，在处北偏西方向，距离为海里的处有一艘缉私艇奉命以海里/时的速度追截走私船，此时，走私船正以海里/时的速度从处向北偏东方向逃窜.
（1）问船与船相距多少海里？船在船的什么方向？
（2）问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间.
【答案】（1），船在船的正西方向；（2）缉私艇沿东偏北方向行驶小时才能最快追上走私船．
【解析】
（1）在中根据余弦定理计算，再利用正弦定理计算即可得出方位；
（2）在中，利用正弦定理计算，再计算得出追击时间．
【详解】
解：（1）由题意可知，，，
在中，由余弦定理得：，
，
由正弦定理得：，
即，
解得：，
，
船在船的正西方向．
（2）由（1）知，，
设小时后缉私艇在处追上走私船，
则，，
在中，由正弦定理得：，
解得：，
，
是等腰三角形，
，即．
缉私艇沿东偏北方向行驶小时才能最快追上走私船．
【点睛】
本题考查了正余弦定理解三角形，以及解三角形的实际应用，考查转化能力和运算能力，属于中档题．
10．如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB为6，O是圆心，且OC⊥AB.在OC上有一座观赏亭Q，其中∠AQC＝，.计划在上再建一座观赏亭P，记∠POB＝θ.
（1）当θ＝时，求∠OPQ的大小；
（2）当∠OPQ越大时，游客在观赏亭P处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时，角θ的正弦值．
【答案】（1）.（2）.
【解析】
（1）设∠OPQ＝α，在△POQ中，用正弦定理可得含α，θ的关系式，将其展开化简并整理后得tanα＝，将θ＝代入得答案；
（2）令f(θ)＝并利用导数求得f(θ)的最大值，即此时的，由（1）可知tanα＝，得答案.
【详解】
（1）设∠OPQ＝α，在△POQ中，用正弦定理可得含α，θ的关系式．
因为∠AQC＝，所以∠AQO＝.又OA＝OB＝3，所以OQ＝
在△OPQ中，OQ＝，OP＝3，∠POQ＝－θ，设∠OPQ＝α，则∠PQO＝－α＋θ.
由正弦定理，得＝，即sinα＝cs(α－θ)．
展开并整理，得tanα＝，其中θ∈.
此时当θ＝时，tanα＝.因为α∈(0，π)，所以α＝.
故当θ＝时，∠OPQ＝.
（2）设f(θ)＝，θ∈.
则f′(θ)＝＝.
令f′(θ)＝0，得sinθ＝，记锐角θ0满足，
则，即
列表如下：
由上表可知，f(θ0)＝是极大值，也是最大值．
由（1）可知tanα＝f(θ)>0，则， tanα单调递增
则当tanα取最大值时，α也取得最大值．
故游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时，sinθ＝.
【点睛】
本题考查三角函数和解三角形的实际应用，应优先建模，将实际问题转化为熟悉的数学问题，进而由正弦定理构建对应关系，还考查了利用导数求函数的最值，属于难题.
11．如图，矩形ABCD区域内，D处有一棵古树，为保护古树，以D为圆心，DA为半径划定圆D作为保护区域，已知m，m，点E为AB上的动点，点F为CD上的动点，满足EF与圆D相切.
(1)若∠ADE，求EF的长；
(2)当点E在AB的什么位置时，梯形FEBC的面积有最大值，最大面积为多少？
（长度精确到0.1m，面积精确到0.01m²）
【答案】(1)23.3m
(2)当时，梯形FEBC的面积有最大值,最大值为
【解析】
【分析】
（1）设EF与圆D相切于对点，连接，则，，在直角和直角中分别求出,从而得出答案.
（2）先求出梯形的面积的最小值，从而得出梯形FEBC的面积的最大值.
(1)
设EF与圆D相切于对点，连接，则，
则，所以直角与直角全等
所以
在直角中，

在直角中，

(2)
设,，则，



所以梯形的面积为
当且当，即时取得等号，此时
即当时，梯形的面积取得最小值
则此时梯形FEBC的面积有最大值
所以当时，梯形FEBC的面积有最大值,最大值为
θ
(0，θ0)
θ0
f′(θ)
＋
0
－
f(θ)
单调递增
单调递减