直线与圆的位置关系3类高频考点专项训练含答案-2026届高考数学二轮复习

这是一份直线与圆的位置关系3类高频考点专项训练含答案-2026届高考数学二轮复习，共13页。
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】由题知圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，
因为，，
所以圆上到直线的距离等于1的点的个数为2.
故选：B
例2．（24-25高二上·广东深圳·月考）已知点在圆内，则直线与圆的位置关系是（ ）
A．相切B．相交C．相离D．不确定
【答案】C
【详解】∵点是圆内不同于原点的一点，
，
∵圆心到直线的距离，
故直线和圆相离.
故选：C
例3．（24-25高三上·山西晋城·期末）已知为锐角三角形的三条边，则直线与圆的位置关系是 ．
【答案】相交
【详解】由题意可知，则，圆的圆心到直线的距离，
所以直线与圆相交．
故答案为：相交.
例4．（24-25高二上·福建福州·期中）若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则实数的值为 ．
【答案】
【详解】由题意可知，圆心坐标为，半径为，则圆上恰有三个点到直线的距离为1，
则使得圆心到直线的距离2，即，如图所示：
解得.
故答案为：
变式1．（25-26高二上·广东湛江·期末）直线：与圆C：的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．无法确定
【答案】A
【详解】圆C的圆心坐标为，半径为2，
直线的方程为，圆心到直线的距离为，
所以直线与圆C的位置关系是相交.
故选:A.
变式2．（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知圆，将直线绕原点按逆时针方向旋转后得到直线，则（ ）
A．直线过圆心
B．直线与圆相交，但不过圆心
C．直线与圆相切
D．直线与圆无公共点
【答案】A
【详解】直线的斜率为，其倾斜角为，
将直线绕原点按逆时针方向旋转得到直线，则直线的倾斜角为，
因为直线过原点，故直线的方程为，
圆的圆心为，故圆心在直线上，A正确，
与圆有2个交点，BCD错误，
故选：A.
变式3．（25-26高三上·宁夏银川·月考）设直线被圆所截弦的中点的轨迹为M，则曲线M与直线的位置关系是 .
【答案】相交
【详解】直线恒过定点，
由圆的性质可得：，所以中点的轨迹是以为直径的圆（去除O点），
所以圆心为，半径为，
所以点的轨迹方程为：，
则圆心到直线的距离，
所以直线与圆的位置关系是相交．
故答案为：相交.
变式4．（25-26高三上·福建厦门·月考）已知圆与圆，若两圆有四条公切线，则直线与圆的位置关系是 ．
【答案】相离
【详解】圆的圆心为，半径为2，
圆的圆心为，半径为1，
由两圆存在四条切线，故两圆外离，则．
，即或，可得或，
圆的圆心为，半径为1，
则圆心到直线的距离，
直线与圆相离．
故答案为：相离.
考点二 根据直线与圆的位置关系求参数
例1．（25-26高三下·河南·开学考试）若直线与曲线恰有三个不同的公共点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题意得，所以，当时，曲线为；
当时，曲线为，
显然为半圆，如图所示，易得直线
经过定点，当直线与相切时，
，,所以，易得，
故当时，直线与曲线恰有三个公共点，即的取值范围为．
故选：D．
例2．（25-26高三上·宁夏银川·月考）若直线与曲线有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为，即，则，
化简可得，
而，则，即，
即曲线是以为圆心、为半径的圆的一半，
结合题意可绘出图象，如图所示：

当直线过点时，；
当直线与半圆刚好相切时，
圆心到直线距离等于半径，即，解得或（舍去），
故实数的取值范围是.
故选：B
例3．（25-26高三下·贵州黔东南·开学考试）已知直线l：，若圆上存在点与关于直线l对称，则实数r的取值范围为 ．
【答案】
【详解】由题，，联立
解得直线过定点，
设点关于直线对称点为，则
点在以点为圆心，2为半径的圆上．
题目条件等价于：圆与圆有公共点，即这两个圆相交或相切，
∴，解得．所以的取值范围为．
故答案为：
例4．（25-26高二上·上海松江·月考）若关于的方程有且只有两个不同的实数根，实数的取值范围为 ．
【答案】
【详解】方程有且只有两个不同的实数根，可转化为，
即上半圆与过定点的直线有且只有两个不同的交点，如下图所示，
结合图象可知，当直线斜率时，直线与半圆有且只有2个交点，
的取值范围为．
故答案为：．
变式1．（2026·江西萍乡·一模）直线：与曲线：有交点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【详解】由已知，，变形可得，
所以，曲线：表示单位圆的右半部分，
直线过定点，且斜率为，
要求直线与曲线有交点，需联立方程并保证解满足，
联立，消元整理得，
该方程为关于的一元二次方程，开口向上，
设根为，由韦达定理：，
若，则两根异号或有一个根为，此时存在非负根，
由得：；
若，则且，两根均为负根，不符合条件；
当时，直线过曲线右半部分的端点，
代入得（符合），此时为唯一符合条件的交点；
故的最大值为.
故选：C.
变式2．（25-26高三上·内蒙古赤峰·期末）若直线过圆的圆心，则（ ）
A．B．C．1D．3
【答案】C
【详解】圆的圆心为，
因为直线经过圆心，所以，解得.
故选：C.
变式3．（25-26高二上·天津西青·期末）已知直线与圆相切，则 .
【答案】8
【详解】圆的圆心为，半径为，
依题意，，所以.
故答案为：8
变式4．（25-26高二上·河南洛阳·期末）若圆上有四个不同的点到直线的距离为2，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】圆，
化为标准形式为：，
因为圆上有四个不同的点到直线的距离为2，
所以与直线平行且距离为2的两条直线都必须与圆相交于两个不同的点，
设圆心到直线的距离为，圆的半径为3，则必须满足，即，
所以圆心到直线l的距离，
解得.
故答案为：
考点三 根据直线与圆的位置关系求距离最值
例1．（2026·广东肇庆·二模）已知直线与圆交于两点，当的面积最大时，点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】方法一：
因为，
所以当，即时，的面积最大，
此时是等腰直角三角形，
点到直线的距离为．
方法二：
设点到直线的距离为，
则，
因为与圆相交，且不经过点，所以，
所以当时，取最大值，即取最大值，
此时，
即点到直线的距离为．
方法三：
设点到直线的距离为．
则，
联立
化简，得，
则，
因为，
所以，
当时，取最大值，即取最大值，
此时．
故选：D
例2．（2026·云南·模拟预测）已知直线与圆相交于、两点，则的最小值为（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】C
【详解】直线，可化为，则直线过定点，
圆配方得，可得圆心，半径，
所以，即点在圆内，
则当点到直线的距离的最大值为时，，
故选：C．
例3．（25-26高二上·新疆伊犁·期末·多选）已知动点满足，则（ ）
A．x的最大值为B．的最小值为
C．的最大值为1D．的最小值为1
【答案】ACD
【详解】可整理为，
设，故点的轨迹为以为圆心，半径的圆.
对于A：点的横坐标最大值为，故A正确；
对于B：的几何意义为动点（即圆上一点）到点的距离.
易知，当点位于点与点的连线与圆的交点时，
此时点到点的距离最短，最短距离，
即的最小值为，
故的最小值为，故B错误；
对于C：的几何意义为动点（即圆上一点）与连线所在直线的斜率.
设，易知，当直线过点且与圆相切于轴上方时，
动点与连线所在直线的斜率最大，即最大，
易知此时，又由相切可知，，
故，故，
因此的最大值为1，故C正确；
对于D：的几何意义是动点（即圆上一点）到直线的距离.
易知，动点到直线距离的最小值为圆心到直线的距离，
再减半径，即，
因此的最小值为，故的最小值为1，故D正确.
故选：ACD.
例4．（25-26高二上·广东·期中·多选）已知圆，直线与C交于A，B两点，点M为弦AB的中点，，则（ ）
A．弦长没有最小值B．有最大值为
C．面积的最大值为D．的最大值为
【答案】ACD
【详解】对于A，由圆，可得圆心为，半径为
又由直线，可得，可得过定点，则点在圆内部，
根据圆的性质，只有当直线，弦取得最小值，但，但直线的斜率为k，
所以无法成立，弦长没有最小值，所以A正确；
对于B，因为是弦的中点，连接，可得，
设，可得，整理得，
即点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，
因为，可得点在圆外，
所以的最大值为，所以B不正确；
对于C，由，
要使得的面积最大，只需点到直线的距离最大即可，
又由的方程为，即，则圆心到直线的距离为，
所以点到直线的最大距离为，
所以的面积最大值为，所以C正确；
对于D，设，且，
可得，所以，
因为动点的轨迹方程为，
设，可得，
则直线与圆必有公共点，
可得，即，解得，
所以得最大值为，所以D正确.
故选：ACD.

例5．（25-26高三上·安徽·期末）已知圆：（圆心为点），动点在直线：上，过点向圆作两条切线，切点分别为，；直线和相交于点，则点到直线的距离的最小值为 ．
【答案】
【详解】依题意，将圆化为标准式：，
，，设，
则直线为：
直线恒过点
，点在以为直径的圆上，
，，：，
点到直线的距离为，
点到直线的距离．
例6．（25-26高二上·湖南怀化·期末）已知动点在圆O：上，点的坐标满足方程，则点到直线的距离的最小值为 ．
【答案】
【详解】如图，点在以为中心的正方形上，
正方形四条边所在直线斜率，边长，圆心到直线的距离，
到直线的距离最小值，到直线的距离最小值．
故答案为：
变式1．（25-26高二上·湖北十堰·期末）点M 为双曲线 的渐近线上一点，点N 为圆 上一点，则的最小值为 （ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【详解】由圆，得，
可得圆心坐标为，半径为1，
双曲线 的渐近线方程为，根据对称性取直线，
圆心到直线的距离，
而为直线上的动点，N为圆上的动点，
则的最小值是．
故选：B
变式2．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知点M，N在圆上，点在直线上，点为MN中点，若，则的取值范围是（ ）
A．[1,3]B．C．[0,4]D．
【答案】D
【详解】由题意可得圆的标准方程为，
设圆心为，半径为，则，，
所以由垂径定理可得，故点在以为圆心，半径的圆上，
又因为圆心到直线的距离，
故直线与圆相切，
又因为点在直线上，
结合图象可知，的取值范围为，即.
故选：D.
变式3．（25-26高三上·广东深圳·期末·多选）已知直线与圆交于两点，则（ ）
A．恒过定点B．不存在最小值
C．不存在最大值D．面积的最大值为2
【答案】ACD
【详解】令，，所以直线恒过定点，故A正确；
设定点为，当直线与垂直时，圆心到直线的距离最大值为，
所以，故B错误，
由圆心到直线的距离为，因为，所以，
所以弦长，所以，所以无最大值，故C正确；
由，所以的面积为，
当时，即时，，故D正确，
故选：ACD.
变式4．（2026·安徽芜湖·一模·多选）已知直线与单位圆（为坐标原点）交于两点，下列说法正确的有（ ）
A．的最大值为2
B．当直线过点时，的最小值为
C．当时，中点的轨迹方程为
D．当原点到直线的距离为时，的最大值为
【答案】ABD
【详解】由题设，圆，圆心为原点，半径为1，
所以，当直线过原点时所得最大，为2，A对，
显然点在圆内，若直线过该点，
则该点与点所在直线与直线垂直时，最小，为，B对，
由，则其中点与圆心的距离，
所以中点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，则方程为，C错，
若原点到直线的距离为，即中点在圆上，且，
设，则，与垂直的一个单位向量为，
而，则，又，
所以，而关于对称，则，
所以，，则且，
所以时，最大值为，D对.

故选：ABD
变式5．（25-26高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知直线：与圆：交于，两点，的中点为，则的最大值为 ．
【答案】/
【详解】直线：过定点，
因为为中点，所以，即，
所以点在为直径的圆上，
即点轨迹方程为圆：．
所以，
当点，，共线时取等，故的最大值为．
故答案为：.
变式6．（25-26高三上·安徽·期中）由直线上任一点向圆引切线，切点为，，则四边形面积的最小值为 ．
【答案】1
【详解】根据题意，圆的圆心为，半径，
由直线上一点向圆引两条切线，切点为、，
则，，且，
可得，
设的坐标为，
则，
当时，，
则的最小值为1．
故答案为：1.考点目录
判断直线与圆的位置关系
根据直线与圆的位置关系求参数
根据直线与圆的位置关系求距离最值