正态分布3种高频考法专项训练含答案-2026届高考数学二轮复习

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A．B．C．D．
例2．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知二项式的展开式中所有项的系数和为32，若，且，则等于（ ）
A．B．C．2D．3
例3．（2026·江西·一模）已知随机变量，若，则__________.
例4．（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知随机变量X服从正态分布，若，且，则__________.
变式1．（2026·山东东营·一模）已知随机变量，且， 则当时， 的最小值为（ ）
A．B．C．D．
变式2．（2026·陕西西安·模拟预测）已知随机变量，则（ ）
A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4
变式3．（2026·四川德阳·二模）已知随机变量X服从正态分布，若，则______
变式4．（25-26高三下·青海西宁·开学考试）已知随机变量满足，，，正实数、满足，则的最小值为_________．
考点二 利用正态分布的对称性求指定区间的概率
例1．（25-26高二下·辽宁·开学考试）在某项测量中，测量结果服从正态分布，则（ ）
A．0.1B．0.2C．0.4D．0.5
例2．（2026·河南南阳·模拟预测）已知，且，则（ ）
A．0.2B．0.3C．0.35D．0.45
例3．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知随机变量，，则______.
例4．（2026·安徽安庆·一模）设随机变量，且，则___________．
变式1．（25-26高二上·山东德州·期末）已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A．0.2B．0.3C．0.5D．0.6
变式2．（25-26高二上·江西宜春·期末）已知随机变量服从正态分布，，则（ ）
A．B．C．D．
变式3．（2026·山东青岛·一模）已知随机变量服从正态分布，若，则______.
变式4．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）设随机变量，且，则___________．
考点三 正态分布的应用
例1．（2026·湖北黄石·一模）某次考试有10000人参加，若他们的成绩近似服从正态分布，则分数在100-120之间的考生约有（ ）（参考数据：若，则有）
A．1360人B．1570人C．2720人D．3410人
例2．（25-26高三上·湖北黄石·期末）假设某次考试的成绩服从正态分布.如果按的比例将考试成绩从高到低分为四个等级，则A等级的分数线约为（ ）
【若，则】
A．85B．130C．115D．145
例3．（24-25高二下·重庆·月考·多选）某老旧小区进行设备节能改造工程，小区内共有700户，其中小户型有550户，其余均为大户型．现采用分层随机抽样的方法选取56户来统计节能结果，结果显示抽取的a户小户型平均每月可节约用电7度，抽取的b户大户型每月可节约用电21度，已知该小区的所有住户每月可节约用电的度数近似服从正态分布，近似为样本均值，则（ ）
附：若，则，，
A．，
B．
C．
D．该小区每月可节约用电的度数低于6度的约有16户
例4．（24-25高三下·云南昭通·月考·多选）已知在一次数学测验中，某校1000名学生的成绩服从正态分布，其中90分为及格线，120分为优秀线，则对于该校学生成绩，下列说法正确的有（ ）（参考数据：①；②；③.）
A．平均分为100
B．及格率超过86%
C．得分在内的人数约为997
D．得分低于80的人数和优秀的人数大致相等
例5．（25-26高三上·陕西西安·期末）某小型餐饮公司统计了最近300天的营业额（单位：元），发现每天的营业额满足：.据统计，每天营业额不低于4000元的天数为90，则该公司每天营业额在的天数约为__________天.
例6．（2026·重庆·一模）据调查，某高校大学生每个月的生活费(单位：元) 服从正态分布，又，已知该校大学生人数较多，现从该校所有学生中，随机抽取10位同学， 则这10位同学中，每月生活费不低于1500的人数大约有_____人．
例7．（25-26高二上·广东·期末）潮阳实验学校高二学生参加数学竞赛，成绩服从正态分布.
(1)求成绩在70分到90分之间的概率；
(2)若该校有1000名学生参加竞赛，估计成绩超过90分的学生人数；
(3)若从成绩前的学生中选2人参加省级竞赛，求选中的2人成绩都超过95分的概率.
附注：若，则，
例8．（2025·辽宁大连·模拟预测）近年来，人工智能已成为引领我国新一轮科技革命的战略性技术.智能芯片作为人工智能的“心脏”，不论是制造工艺的持续精进，还是架构设计的大胆创新，国产智能芯片的算力与能效比均在大幅提升.
(1)已知某款芯片生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测工序，包括智能自动检测与人工抽检．已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为，，.
①求该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率；
②第四道工序中，部分芯片由智能检测系统进行筛选，检测出的次品芯片会被淘汰，通过筛选的芯片及未经筛选的芯片都进入流水线由工人进行人工抽样检验．记表示事件“某芯片经过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”，试比较与的大小；
(2)改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间．若，将使得的最大的值作为的估计值，试求的值．
参考数据：，.
变式1．（25-26高三上·河北邢台·月考）袋装食盐标准质量为，规定误差的绝对值不超过就认为合格.某食盐包装生产线的误差服从正态分布，误差的样本均值为0，样本方差为4，则随机抽取10000袋食盐，估计合格的约（ ）袋.
[附：若随机变量X服从正态分布，则，，.]
A．6827B．8161C．9545D．9759
变式2．（2025·江苏·模拟预测）某公司生产的糖果每包的标识质量是500克，但公司承认实际质量存在误差.已知每包糖果的实际质量服从正态分布，且任意一包的糖果质量介于495克到505克之间的可能性为，则随意买一包该公司生产的糖果，其质量超过495克的可能性约为（ ）
A．B．C．D．
变式3．（25-26高三下·甘肃白银·月考·多选）某研究团队测定：某植物叶肉细胞的有氧呼吸强度的测定值记为变量，经统计检验变量近似服从正态分布；干旱胁迫下叶肉细胞的无氧呼吸强度的测定值记为变量，经统计检验变量近似服从正态分布（单位略），则（若随机变量服从正态分布，）（ ）
A．B．
C．D．
变式4．（24-25高二下·广东广州·期末·多选）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列正确的是（ ）
（参考数据：，，）
A．
B．
C．
D．为了保证84.135%的概率不迟到，李明不管选择哪种交通工具都需至少预留36分钟时间
变式5．（25-26高三上·江苏·期末）某次考试的数学成绩X近似服从正态分布且，若参加考生总人数是1000，则估计学生数学成绩在130分以上的总人数为________．
变式6．（24-25高二下·贵州遵义·月考）某校高三学生共人，其身高近似服从正态分布（单位：cm），身高大于称为“高个子”，则全校高三学生中“高个子”的学生人数约为______人.（参考数据：，结果保留整数）
变式7．（2026·河南许昌·模拟预测）某企业对员工进行技能测试，测试成绩（满分为150分）近似服从正态分布，且，测试成绩120分以上（含120分）为优秀.
(1)若该企业共有30000名员工参加测试，试估计该企业测试成绩80分以上（含80分）的员工人数（结果四舍五入保留到整数）；
(2)从该企业所有参加测试的员工中随机抽取3人，设3人中测试成绩优秀的人数为，求的分布列和期望.
附：若随机变量，则，，.
变式8．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）某新能源汽车企业为了检验一款新车型的续航能力，随机抽取了辆该车型，在相同条件下进行续航测试，得到续航里程（单位：）的频率分布表如下：
(1)求这辆该车型续航里程的平均数和方差（同一区间的数据用该区间的中点值作代表）；
(2)由频率分布表可认为，该车型的续航里程服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．
（i）求；
（ii）某用户购买了该车型，求其续航里程不低于的概率．
参考数据：，若，则，．考点目录
利用正态分布的对称性求参数
利用正态分布的对称性求指定区间的概率
正态分布的应用
续航里程区间
频率