解三角形：正余弦定理综合应用、周长问题、面积问题专项训练-2026届高考数学二轮复习

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A．
B．
C．面积的最大值为1
D．
【答案】BCD
【详解】对于A，由，可得，
所以，
令，则，所以为减函数，
所以，所以，则，
又由，可得，所以A错误；
对于B，由于，可得，所以B正确；
对于C，由于，当且仅当时取等号，所以C正确；
对于D，由且，可得，
所以，所以D正确．
故选：BCD．
例2．（25-26高二上·陕西商洛·期末·多选）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．若，则
C．若为锐角三角形，则
D．若，则一定是钝角三角形
【答案】BD
【详解】对于A，根据正弦定理得，
化简得，得到或，
所以或，所以为等腰三角形或直角三角形，A错误；
对于正弦定理可知，，因为，所以，B正确；
对于C，仅知道是锐角三角形，并不能确定的大小，C错误；
根据余弦定理可得，，因为，所以.
因为，所以，所以一定是钝角三角形，D正确.
故选：BD.
例3．（25-26高一上·浙江金华·期末·多选）在中，角、、的对边分别是、、，下列说法正确的是（ ）
A．若，则是直角三角形
B．若，则
C．存在锐角，使得
D．若，，有解，则
【答案】AD
【详解】对于A选项，因为，则，所以，
因为，故，即是直角三角形，A对；
对于B选项，因为，则，
又因为、且余弦函数在上单调递减，故，B错；
对于C选项，如下图所示：
在单位圆中，设锐角的大小为弧度，则，
过点作轴，则，
因为，即，即，即，
故对任意的锐角，，C错；
对于D选项，因为，，有解，
由正弦定理可得，所以，
因为，则，故为锐角，所以，D对.
故选：AD.
例4．（25-26高二上·云南昭通·期末）的内角，，的对边分别为，，，已知．
(1)求；
(2)若，，求．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在中，由及余弦定理，得，
而，所以.
（2）由，且，则，
由正弦定理得：，即，
所以.
例5．（2026·山东泰安·一模）已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，边AC上的高为，且.
(1)求证：；
(2)若，求.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）在Rt中，，在Rt中，，
而，则，即，
则.
（2）由，得,
所以，又，则，即，
由（1）知，，
所以，
则，
则
，
即，则，
解得或（舍去）
又，则，所以，即.
例6．（2026·福建泉州·二模）已知锐角三角形中，角的对边分别为，且．
(1)求；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，可得，
则，
因为，故.
（2）解法一：由，可得，
则，
因为，所以，，
则，即，所以，
由正弦定理，
可得，
得，
代入，可得，
解得，即.
解法二：由，可得，
则或，
即或，
因为，所以，
由余弦定理可得，则，
又，两式相加可得，
即，得.
解法三：由，可得，
得，
即，
因为，所以，
则，即，即，
则，所以，
如图，过作，垂足为，可得，
故，
所以.
变式1．（25-26高三上·云南普洱·期末·多选）已知中，内角所对的边分别为，则（ ）
A．
B．
C．的面积为
D．外接圆的面积为
【答案】AC
【详解】因为，所以由二倍角公式得，
在中，可得，则，得到，
解得，得到，故A正确，
对于B，由题意得，由余弦定理得，
解得（负根舍去），故B错误，
对于C，由三角形面积公式得，
则的面积为，故C正确，
对于D，设外接圆的半径为，外接圆面积为，
由正弦定理得，解得，
由圆的面积公式得，
则外接圆的面积为，故D错误.
故选：AC
变式2．（25-26高三上·河北秦皇岛·月考·多选）已知中，角所对的边分别为，且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则为直角三角形
C．若，则
D．若，则面积的最大值为
【答案】BCD
【详解】由正弦定理可得，，
化简可得，，即，
所以，由，可得，故A错误；
当时，由知，为直角三角形，故B正确；
由，及条件可知，所以，或（舍去），
所以为直角三角形，所以，即，故C正确；
由余弦定理，
即，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，
所以面积，故D正确.
故选：BCD
变式3．（2026·新疆·模拟预测·多选）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，的面积为，则（ ）
A．B．
C．是钝角三角形D．
【答案】ABD
【详解】A选项，由面积公式可得，即，解得，A正确；
B选项，由余弦定理得，即，解得，B正确；
C选项，由于，故中最大角为，
，故为锐角，故为锐角三角形，C错误；
D选项，由于，故，故，
又，故，
故，故，D正确.
故选：ABD
变式4．（25-26高三上·四川成都·期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，，边上的高为2，.
(1)求角的大小；
(2)求边的长.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）已知，由正弦定理得，，
由余弦定理有，得，
故，
又因为，所以.
（2）设边上的高为，则三角形面积，
面积也可表示为，
联立得，即，
由，得，
代入题目条件，得，
将代入上式，得，
即，
得，解得或（舍去），
故得.
变式5．（25-26高三上·陕西安康·期末）在中，设，，的对边分别为，，，若，，成等差数列，.
(1)求外接圆的面积；
(2)若，求的值及的面积.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）因为，，成等差数列，
所以，
因为，所以，所以，
设外接圆的半径为，
由正弦定理得，，
所以三角形外接圆的面积为.
（2）由余弦定理得，，
所以，
所以，所以或.
当时，；
当时，.
变式6．（25-26高三上·吉林长春·期末）在中，角所对的边分别为，已知．
(1)若，，求；
(2)若，，求的周长．
【答案】(1)
(2)或．
【详解】（1）由余弦定理，又，，
即，化简得，
解得或（舍去）.
（2）因为，由正弦定理可得．
因为，所以，可得.
因为，，则，所以有两解（为锐角或钝角．
当为锐角时，．
所以.
再由正弦定理，可得.
由正弦定理，可得.
此时三角形周长为.
当为钝角时，．
所以.
由正弦定理，可得.
由正弦定理，可得，
此时三角形周长为.
综上所述，的周长为或．
考点二 解三角形中的周长问题
例1．（2026·贵州毕节·一模）在中，内角所对的边分别为.已知.
(1)求的值；
(2)若的面积为，求的周长.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）由正弦定理，可将转化为，
由余弦定理可知，，
又因为，又因为，
故；
（2）由题可知，，
解得，
再由余弦定理，
解得，
因此的周长为.
例2．（25-26高三上·吉林四平·期末）非等腰内角，，的对边为，，，且.
(1)求；
(2)若，边上的高，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：由于为非等腰三角形，故，
由于，，，由正弦函数的性质知：，
所以，故；
（2）解：设，，，在中由余弦定理：
，所以，
由于的面积，
所以，，解得：，
所以，的周长为．
例3．（25-26高二上·云南楚雄·期末）的内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若的面积为，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
，
故，
因为，所以，
所以，
故.
（2）因为的面积为，所以.
又，所以，
则，解得，
所以，
所以的周长为.
变式1．（25-26高三上·贵州黔西南·月考）已知的内角的对边分别为，且满足.
(1)求；
(2)若，求锐角周长的取值范围.
【答案】(1)；
(2)
【详解】（1）由，
因为在中有，所以上式可化为，
又因为，所以，又因为，所以；
（2）由正弦定理得：，
可得，
所以的周长为，
因为锐角，可知，
可得，则周长可化为：，
，
由，且，
所以，即，
故锐角周长的取值范围为.
变式2．（2026·江西萍乡·一模）已知函数（，，）的部分图象如图所示．
(1)求的解析式；
(2)的内角，，所对的边分别为，，，若，，，求的周长．
【答案】(1)
(2)．
【详解】（1）由图知：，解得：，；
又，即，则，；
由，得，又，则；
故的解析式为：.
（2）因为，即，又，解得；
所以，则或（舍去）；
在中，由正弦定理知：，故；
；
则，
故的周长为.
变式3．（25-26高二上·河南许昌·月考）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，.
(1)求角C；
(2)若的周长为，求的值.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）由以及正弦定理可得，，
又，
所以，
即，
又，所以，则，
因为，所以，
因为，所以，
又，则，则；
（2），
由（1）以及由正弦定理可得，，即，
则，
则的周长为，得.
考点三 解三角形中的面积问题
例1．（25-26高三上·江西南昌·期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
(1)求的值；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
所以，
即，
又，
所以，又，所以，所以，
因为，所以．
（2）因为，，，所以，
所以
，
则的面积为．
例2．（25-26高三上·河北衡水·期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，.
(1)求；
(2)已知，的周长为，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，由正弦定理边化角得
，
即，整理得，
因为，所以，即，
因为，所以；
（2）因为，，所以，即，
又由余弦定理，
所以，整理得，
解得，
所以.
例3．（25-26高三上·安徽蚌埠·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知且．
(1)求；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）方法一：由条件及正弦定理，，所以，
由余弦定理，，
，化简得，
所以，可得，
，又，所以．
方法二：由题意，所以，
又由，得，故
，
即，
解得，从而．
（2）由（1）知，，
的面积为．
变式1．（2026·新疆·一模）在中，角的对边分别为，已知为的中点．
(1)求角；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），
由正弦定理可得.
又，
化简得.
，,
,；
（2）为的中点，，
可化为，
又在中，，
，
得，
的面积.
变式2．（24-25高一下·山东临沂·期末）已知是锐角三角形，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求A；
(2)若，求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），
故，即
故，
且，故.
（2）由正弦定理得，
，
因为是锐角三角形，.
故，即
所以，故，
所以，
故面积的取值范围为.
变式3．（2025·重庆渝中·模拟预测）已知的内角的对边分别为，且满足.
(1)求角的大小；
(2)若为锐角三角形且，求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理得，，
所以，
即，
化简得：，即，
又，所以.
（2）由正弦定理得：，
所以，，
所以
，
因为是锐角三角形，所以，解得，
所以，所以，
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