解三角形：正余弦定理的综合应用、边角互化与解三角形专项训练-2026届高考数学二轮复习

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A．B．
C．的周长为D．的面积为
【答案】BD
【详解】因为，，，所以
由正弦定理可得：，即，
则，得，则，
所以，
所以的周长，
所以 的面积为,
由上可知AC错误，BD正确，
故选：BD
例2．（25-26高三上·辽宁·期末·多选）记 的内角的对边分别为，其面积为，已知，则（ ）
A．
B．
C．
D． 的外接圆的半径为2
【答案】AC
【详解】对于A，由三角形的面积公式得，A项正确；
对于B，由余弦定理得，所以，B项错误；
对于C，由正弦定理得，C项正确；
对于D，设的外接圆的半径为，所以，则，D项错误.
故选：AC.
例3．（25-26高一上·上海杨浦·期末）在中，角A、B、C所对应的边分别是a、b、c，已知，，.
(1)求c的值；
(2)求与的面积.
【答案】(1)
(2)；
【详解】（1）在中，由余弦定理可得，即，
整理可得，分解因式可得，由，解得.
（2）在中，由正弦定理可得，
解得，所以.
例4．（25-26高三上·河北唐山·月考）在中，角的对边分别为，，，．
(1)求；
(2)若为上一点，且，求．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）中，，
由余弦定理得： ，即，
解得.
（2）在中，，
由余弦定理得：.
在中， ，由余弦定理得：.
即，得.
又，所以.
故.
变式1．（25-26高三上·江苏盐城·月考·多选）在中，角、、所对的边分别为、、，，，若满足条件的三角形有且只有一个，则边的长可以是（ ）
A．1B．C．D．4
【答案】ABD
【详解】在中，当已知边和锐角，判断三角形的个数时，若，有且只有一个解；
当时，有两个解；当时，有且只有一个解；当时，无解.
因为.
由，即，解得，故D正确；
由，可得，选项中，满足此条件，故A，B正确；
对于C，，此时三角形无解， 故C错误.
故选：ABD
变式2．（25-26高三上·陕西咸阳·月考·多选）在中，，，分别是角，，的对边．若，，且，边上的高为，则（ ）
A．B．是钝角C．D．
【答案】ACD
【详解】，则为锐角，所以，.
由正弦定理得，故选项A正确.
由余弦定理，代入、，
得，整理得.
解得，舍去负根得，故选项C正确.
，
由余弦定理，
故角为锐角，选项B错误.
三角形面积.
边上的高为，则，
得，故选项D正确.
故选：ACD
变式3．（2026·陕西榆林·模拟预测）在中，内角的对边分别为，已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在中，因为，所以，由，
及余弦定理得：，
解得．
（2）解法1：由，得．由正弦定理得，，
即．
因为，则，所以是锐角，，则，
所以．
解法2：由，得．由余弦定理得，
所以，
又由，得，
所以．
变式4．（25-26高三上·云南楚雄·月考）在中，内角的对边分别为，已知．
(1)若，求；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理得，
所以；
（2）由余弦定理得，，
因为，
所以，所以．
所以的面积为．
考点二 边角互化与解三角形
例1．（25-26高三上·河北衡水·期末·多选）已知锐角三角形ABC的内角，，的对边分别为，，，且满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【详解】由题意得，所以，则.
由题设及基本不等式可得
解得，又，所以，
可得，即解得，故A错误.
将代入，
可得，即，所以，故B正确；
由正弦定理得，且，
得.
又为锐角三角形，所以，解得，
所以，则，故C正确；
由余弦定理得，
又，可得，则，故D正确.
故选：BCD.
例2．（25-26高三上·广东江门·月考·多选）已知的面积为，若，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【详解】对于A，由二倍角公式，
，
则，故A正确；
对于C，由A分析可得，下证.
因，则.
则，.
从而，由正弦定理边角互化可得.
若，则.
注意到，，则，
又三角形中至多1个钝角，则，均为锐角.
又，正弦函数在上单调递增，
则，.
从而，这与矛盾.
故.从而，,,，
.
则，易得，不妨设，则.
从而，故C错误.
对于BD，因，则，
从而，则，
则，.
从而，故B错误，D正确.
故选：AD
例3．（24-25高一下·内蒙古锡林郭勒盟·期中）锐角三角形的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，求的周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：因为，
由正弦定理得，
又因为，所以，
所以，
因为为锐角三角形，可得，所以，
所以，可得.
（2）解：设外接圆的半径为，
由（1）知，因为，可得，
所以，
则
，
因为为锐角三角形，可得，解得，
可得，所以，则，
即，所以的周长，
所以的周长的取值范围为.
例4．（25-26高三上·甘肃兰州·期末）在中，角所对的边分别为，且满足．
(1)求角的大小；
(2)若，求的周长的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
所以，
因为，所以，
即，即，
所以，
因为，所以，；
（2）由余弦定理及，
得，即，
即，又，即，
所以，即，当且仅当时，等号成立，
所以周长，
所以周长最大值为．
变式1．（25-26高三上·河南南阳·期末·多选）记锐角的内角的对边分别为，已知，则（ ）
A．B．
C．的最大值为D．的最小值为
【答案】ABD
【详解】对于A，由余弦定理得，
因为，可得，
整理得，即，所以A正确；
对于B，因为，由正弦定理得，
又因为，可得，
所以，即，
所以，所以B正确；
对于C，由且为锐角三角形，设，则，
又由，可得，
可得，解得，
因为，
因为，可得，当且仅当时，即时等号成立，
又因为，所以等号不成立，则，
所以，所以C不正确；
对于D，由选项C得，其中，
设，可得，令，解得或（舍去），
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，取得最小值，最小值为，
所以的最小值为，所以D正确.
故选：ABD.
变式2．（2026·河北邢台·一模·多选）在锐角三角形中，角 所对的边分别为且则（ ）
A．
B．
C．的取值范围为
D．的取值范围为
【答案】AD
【详解】对于A B，
，
整理得：，
是锐角三角形，
,则，
,
由基本不等式得：，
当且仅当时等号成立，
，，又，，
，即时，，故A正确，B错误；
对于C， ，,,
，
,
是锐角三角形，,
，，的取值范围为，故C错误；
对于D，由余弦定理得：，
即，的取值范围为，
，
当时，，当时，，故D正确.
故选：AD
变式3．（25-26高三上·湖南长沙·月考）在中，角，，所对的边分别为，，，，.
(1)求角；
(2)若，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由得，
由正弦定理得：，
又，，则有，即，
又，所以.
（2）由且，则有，
由余弦定理得，
即，
由，解得，
所以周长为.
变式4．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）在中，内角的对边分别为，且.
(1)求；
(2)若，，点是边上的一点，且，求和的面积.
【答案】(1)
(2)；
【详解】（1）依题意，由正弦定理得，其中为的外接圆半径；所以；
又在中，，所以，所以；
又，所以，即；
所以，化简得；又，所以，即，又，所以.
（2）方法1：由（1）知，，又，所以，即，；

在中，由正弦定理得，所以；
又，，所以，即，即，化简得，即；
又因为，所以，所以，所以，同理；
由余弦定理得，所以；
在中，由，得；
所以；

在中，，所以；
由正弦定理得，即，解得；
所以的面积为.
方法2：由（1）知，，又，所以，即，；

在中，由余弦定理得，所以；
由正弦定理得，即，解得；

在中，由，得，为钝角，所以角为锐角，所以；
又，所以；
由正弦定理得，即，解得；
所以的面积为.考点目录
正余弦定理的综合应用
边角互化与解三角形