立体几何中的动点问题、最值与范围问题专项训练-2026届高考数学二轮复习

这是一份立体几何中的动点问题、最值与范围问题专项训练-2026届高考数学二轮复习，共14页。
例1．（25-26高三上·浙江·期末）如图所示，在四棱锥中，，是正三角形.
(1)设为与的交点，为棱上一点，且平面，求的值；
(2)设是棱的中点，求证：平面；
(3)设是棱上一个动点，若直线与平面所成角的正弦值是，求线段的长度.
例2．（25-26高二上·山东菏泽·期末）如图，在斜三棱柱中，为的中点，且平面.
(1)证明：四边形为矩形；
(2)若点在线段上（异于点），直线与平面所成角的正弦值为，求的值.
例3．（25-26高二上·广东湛江·期末）如图，在五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，是的中点.
(1)证明：平面平面；
(2)求平面与平面所成角的余弦值；
(3)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
例4．（25-26高二上·江西景德镇·期末）如图，在长方体中，，，点在棱上运动.
(1)证明：；
(2)设为棱的中点，在棱上是否存在一点，使得与平面所成夹角正弦值为，若存在，求的值，若不存在，说明理由.
变式1．（25-26高二上·云南大理·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，平面平面，，是的中点，点在侧棱上，且，.
(1)求证：；
(2)是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.
变式2．（2026·湖南邵阳·一模）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，,平面为棱上的点．

(1)当为棱的中点时，证明：平面；
(2)在棱上是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由．
变式3．（25-26高二上·广东韶关·期末）如图，在四棱锥中，底面，四边形为平行四边形，为侧棱PD上的动点（不包含端点P，D），且，
(1)若点为侧棱的中点，则：
（i）证明：平面；
（ii）求点到平面的距离；
(2)若平面与平面夹角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.
变式4．（25-26高二上·山西晋城·期末）如图，在棱长为2的正方体中，点，，分别为棱，，的中点，为与的交点.

(1)证明：平面；
(2)点在棱上，当平面和平面夹角的余弦值为时，求.
考点二 立体几何中的最值与范围问题
例1．（2026·云南红河·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，侧棱底面，，点，分别是，的中点，点是的中点，且．
(1)求证：；
(2)求点到直线的距离；
(3)若点是线段上的动点（不含端点），求三棱锥外接球半径的取值范围．
例2．（25-26高三上·湖北孝感·期中）在三棱锥中，，，与平面所成的角为．
(1)若，如图，过点作平面，分别交，于点，．求证：平面；
(2)若，，求二面角的取值范围．
例3．（25-26高三上·山东日照·期末）如图，在直三棱柱中，，，，．若分别为棱上的动点，且，点在平面上的射影为点．
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．
例4．（25-26高二上·广西南宁·月考）如图，在长方体中，底面是边长为1的正方形，
(1)若求平面与平面的夹角的余弦值；
(2)求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．
变式1．（25-26高二上·安徽·月考）如图1，在中，，，，分别是，边上的动点（不同于端点），且，将沿折起到的位置，得到四棱锥，如图2所示，点是线段的中点.

(1)求证：；
(2)若，当四棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角的余弦值；
(3)若，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.
变式2．（2025·四川成都·模拟预测）在平面四边形中，，如图1．将沿翻折至，如图2．
(1)当平面平面时，
（i）证明：；
（ii）求二面角的大小；
(2)求直线与平面所成线面角的正弦值的最大值．
变式3．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在矩形中，，，为的中点，将沿翻折至，使得平面平面.
(1)证明：平面平面；
(2)设为线段上的动点，求直线与平面所成角正弦值的最大值.
变式4．（25-26高二上·河南·月考）如图，在多面体中，平面，四边形为正方形，且，若分别是的中点，点是线段上的一个动点．
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求二面角的余弦值的最大值．考点目录
立体几何中的动点问题
立体几何中的最值与范围问题