空间向量与立体几何：动点存在性问题、最值与范围问题专项训练-2026届高考数学二轮复习

这是一份空间向量与立体几何：动点存在性问题、最值与范围问题专项训练-2026届高考数学二轮复习，共14页。
例1．（25-26高二上·贵州贵阳·期末）如图，在四面体ABCD中，平面平面，，，，E是BC的中点，F是线段AD上的任意一点，．
(1)是否存在点F，使得？若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由；
(2)若三棱锥的体积为，且二面角的平面角的余弦值为，求的值．
例2．（2026·重庆·模拟预测）已知边长为的等边，，将沿折叠，形成四棱锥，二面角大小为，点为中点.
(1)求体积的最大值；
(2)若.
（i）时，求外接球的表面积；
（ii）平面，垂足为，长度是否为定值？如果为定值，求的长；如果不为定值，请说明理由.
例3．（25-26高二上·上海·期末）如图，在长方体中，，，点在棱上运动.
(1)证明：；
(2)设为棱的中点，在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求的值，若不存在，说明理由.
例4．（25-26高二上·北京·期末）如图1，在中，分别为边的中点，且，将沿折起到的位置，使，如图2，连接.

(1)求证：平面；
(2)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；
(3)线段上是否存在点，使平面与平面的夹角正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
变式1．（25-26高三上·北京西城·月考）如图，在多面体中，面是正方形，平面，平面平面，，．

(1)求证：；
(2)求二面角的余弦值；
(3)若直线上存在点，使得，求线段的长度．
变式2．（25-26高二上·云南昆明·期末）如图，在四棱锥中，，，，是的中点.

(1)已知，分别为，的中点，求证：平面；
(2)若平面，，则：
（i）求平面与平面夹角的余弦值；
（ii）在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.
变式3．（25-26高三上·贵州六盘水·月考）如图①所示，四边形是直角梯形，，，且，为线段的中点．现沿着将折起，使点到达点，如图②所示；连接、，其中为线段的中点．

(1)求证：平面；
(2)若，，则在线段上（不含端点）是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，请指出点位置；若不存在，请说明理由．
变式4．（25-26高三上·山东青岛·月考）在四棱锥中，平面，是中点．
(1)求证：平面；
(2)若，
①求平面与平面夹角的正弦值；
②若在线段上存在点，使得点到平面的距离为，试求的值．
考点二 最值与范围问题
例1．（25-26高二上·广东东莞·期中）在中，分别是上的点，满足，且．将沿折起到的位置，使在棱上移动（包含端点）．
(1)求证：；
(2)当为棱的中点时，求平面与平面夹角的余弦值．
(3)设直线与平面所成角为，求的最大值．
例2．（25-26高二上·福建泉州·期中）如图，在四棱锥中，底面，.
(1)证明：面面；
(2)设，，，且点，，，均在球的球面上.
（i）证明：点在线段上；
（ii）设与面所成角为，求的最大值.
例3．（25-26高三上·湖南长沙·月考）如图，点，在以为直径的圆上，，与点，不重合.平面，为的中点，为的中点， ，.
(1)求证：平面；
(2)当时，求与平面所成角的正弦值的最大值．
例4．（25-26高三上·陕西·期末）如图，已知四棱锥的底面为正方形，顶点S为动点，满足平面平面，且．

(1)求证：平面；
(2)若平面与平面的夹角为，求的值；
(3)以正方形为底面作正方体，求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
变式1．（25-26高二上·云南·月考）如图，平面平面，四边形为矩形，平面.

(1)证明：.
(2)已知.
①求几何体体积的最大值；
②若分别为棱的中点，为线段上的动点，当几何体的体积取得最大值时，求直线与所成角的余弦值的取值范围.
变式2．（25-26高二上·江苏无锡·期中）如图1，在梯形中，，点在线段上，，．现将沿翻折到的位置，使得二面角为直二面角，如图2所示．
(1)若是的中点，证明：平面；
(2)若分别是的中点，直线与平面所成角为．
①设，求的取值范围；
②求平面与平面所成锐二面角的余弦值的取值范围．
变式3．（25-26高二上·广东揭阳·月考）如图，在正四棱锥中，所有棱长都等于4，点分别是棱的中点，点在棱上，且．
(1)若，证明：平面；
(2)求平面与平面夹角余弦值的取值范围．
变式4．（25-26高二上·广东中山·月考）在四棱锥中，侧面平面，四边形为直角梯形，，，，为等边三角形，点，分别为的中点．

(1)证明：平面；
(2)求平面与平面所成角的余弦值；
(3)点为线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．考点目录
动点存在性问题
最值与范围问题