离散型随机变量的数学期望与方差专项训练-2026届高考数学二轮复习

这是一份离散型随机变量的数学期望与方差专项训练-2026届高考数学二轮复习，共14页。
(1)是否有99.9%的把握认为应届毕业生对工作的考虑因素与性别有关；
(2)已知公司的入职考核分为2个阶段，一是笔试阶段，共3个环节，二是面试阶段，共2个环节，应聘者进入了该阶段就必须完成该阶段的所有环节；公司规定：笔试阶段3个环节中至少通过2个才可以进入面试阶段；面试阶段的2个环节全部通过则可以顺利入职；若甲在笔试阶段每个环节通过的概率为，在面试阶段每个环节通过的概率为，记甲在本次入职考核中通过的环节数为，求的分布列以及数学期望．
参考公式：，其中．
参考数据：
【答案】(1)没有99.9%的把握认为应届毕业生对工作的考虑因素与性别有关
(2)
期望为
【详解】（1）完善列联表数据如下：
故，
故没有的把握认为应届毕业生对工作的考虑因素与性别有关.
（2）依题意，的可能取值为0，1，2，3，4，5，
，
，
，
，
，
，
所以随机变量的分布列如下：
故.
例2．（25-26高三下·云南楚雄·开学考试）为助力“双碳”目标落地，某新型储能企业调研技术岗员工对钠离子电池产业扶持政策的认知情况，随机选取180名技术岗员工（含研发岗、运维岗）开展问卷调查，统计认知深度（深度认知、基础认知）与岗位类型的关联数据，初步整理数据如下：
(1)补充表格，并根据小概率值的独立性检验，分析认知深度与岗位类型是否有关；
(2)用按比例分配的分层随机抽样方法从基础认知的人中抽取12人，再从这12人中随机抽取6人，用随机变量表示这6人中研发岗员工人数与运维岗员工人数之差的绝对值，求的分布列和数学期望．
参考公式：，．
独立性检验中常用的小概率值和相应临界值．
【答案】(1)
认知深度与岗位类型无关.
(2)的分布列为：
数学期望为.
【详解】（1）（1）补充表格如下：
零假设为：认知深度与岗位类型无关．
根据列联表中的数据，经计算得到，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即认知深度与岗位类型无关．
（2）用按比例分配的分层随机抽样方法在基础认知的60人中抽取12人，抽得研发岗4人，运维岗8人．
再从这12人中随机抽取6人，的可能取值为0，2，4，6．
则，，，．
的分布列为：
．
例3．（25-26高二下·湖南长沙·开学考试）已知无障碍时红方、蓝方发射炮弹攻击对方目标击中的概率均为，红方、蓝方空中拦截对方炮弹成功的概率分别为，，现红方、蓝方进行模拟对抗训练，每次由一方先发射一枚炮弹攻击对方目标，另一方再进行空中拦截，轮流进行，各攻击对方目标一次为1轮对抗.经过数轮对抗后，当一方比另一方多击中对方目标两次时，训练结束.假定各轮结果相互独立.记在1轮对抗中，红方击中蓝方目标为事件，蓝方击中红方目标为事件.
(1)求概率、；
(2)设随机变量表示经过1轮对抗后红方与蓝方击中对方目标次数之差，求的分布列和数学期望；
(3)求恰好经过3轮对抗后训练结束的条件下，红方多击中蓝方目标两次的概率.
【答案】(1)，
(2)期望为，的概率分布为：
(3).
【详解】（1）记无障碍时红方、蓝方发射炮弹攻击对方目标击中分别为事件，，，
红方、蓝方空中拦截对方炮弹成功分别为事件，，，.
，
.
（2）经过1轮对抗，红方与蓝方击中对方目标数之差X的可能取值为.
，
，
.
X的概率分布为：
所以的数学期望.
（3）记3轮对抗后训练结束为事件C，记红方比蓝方多击中对方目标两次为事件D.
记3轮对抗后红方与蓝方击中对方目标次数之差为Y，
，
，
所以，
所以.
所以在3轮对抗后训练结束的条件下，红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为.
例4．（25-26高二下·辽宁·开学考试）袋中有除颜色外均相同的6个红球，7个黑球，若从中任取3个．
(1)求恰有1个红球的概率；
(2)设3个球中，黑球的个数为，求的分布列及数学期望；
(3)当3个球均为一种颜色时，求这种颜色为黑色的概率．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)
【详解】（1）设从袋中任取3个球恰有1个红球为事件，
则；
（2）的可能取值为0，1，2，3，
，
，
的分布列为
．
（3）设从袋中任取3个球为一种颜色为事件，则，
设从袋中任取3个球都为黑色为事件，则，
则所求概率．
变式1．（25-26高三下·湖北孝感·开学考试）2026年被业界公认为“具身智能元年”．得益于硬件成本的雪崩式下降和视觉-语言-动作大模型的成熟．人工智能已经不再是概念和愿景，而是开始真实地走进企业和家庭，重新定义人类的工作和生活．新华中学为激发学生进一步对人工智能的了解，举办知识竞赛活动．活动分两轮进行，第一轮通过后方可进入第二轮，两轮通过后即可获得代表学校参加比赛的资格．已知小明、小华，小方3位同学通过第一轮的概率均为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为,假设他们之间通过与否相互独立．
(1)求这3人中至多有2人通过第一轮的概率；
(2)从3人中随机选出一人，求他通过第二轮的概率；
(3)设这3人中通过第二轮的人数为，求的分布列及期望．
【答案】(1)
(2)
(3)分布列见解析，
【详解】（1）记3人中通过第一轮的人数为，
由题意可知，
记“3人中至多有2人通过第一轮”为事件，
则.
（2）记随机选择小明、小华、小方的事件分别为，通过第二轮的事件记为，
则由题意可知，
则，
所以.
（3）记小明、小华、小方通过第二轮的事件分别为，
则，
，
，
由相互独立可知，
，
，
所以的分布列是
则的数学期望是．
变式2．（25-26高三下·辽宁·开学考试）盲盒，作为一种以随机体验为核心的商业模型，已经成为一种新型的消费现象，其核心价值在于精准把握了现代消费者对情感价值和收藏欲望的需求.商家为了在电商平台对某款盲盒进行促销，对商品进行了升级，新款盲盒中出现“隐藏款”的概率为，旧款盲盒中出现“隐藏款”的概率为，商家会以的比例对新､旧款盲盒进行随机发货.
(1)求消费者买到的某个盲盒中出现“隐藏款”的概率；
(2)小张在电商平台上购买了3个该款盲盒，设盲盒中出现“隐藏款”的个数为，求随机变量的数学期望和方差；
(3)现有一箱装有4个“常规款”和2个“隐藏款”的盲盒，若每次从中随机取出一个盲盒拆开，取出后不放回，直到能区分出全部6个盲盒分别是'常规款'还是'隐藏款'时为止，记取出盲盒的个数为，求随机变量的分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)，.
(3)分布列见解析，
【详解】（1）设“消费者买到新款盲盒”，“消费者买到旧款盲盒”，“盲盒中出现‘隐藏款’”，
所以.
（2）由题意得，
则，
.
（3）的可能取值为，
，（连续2次抽出“隐藏款”）
，（前2次中有1次抽出“隐藏款”，第3次抽出“隐藏款”）
，（前4次都抽出“常规款”或前3次中有1次抽出“隐藏款”，第4次抽出“隐藏款”）
，（前4次中有1次抽出“隐藏款”，第5次抽出“隐藏款”或“常规款”均可）
则的分布列为
.
变式3．（25-26高三下·广东江门·开学考试）深度神经网络的工作原理是模仿人脑神经元之间的连接与信息传递机制，从而提高识别速度与准确率．现对其进行数据训练，考虑线性化神经网络，在固定权重下，对不同输入数据进行前向传播，得到对应的损失函数值（Lss）输出：2.3 2.1 1.8 2.3 1.9 2.2 2.3 2.5 2.0 2.1．
(1)求这10个数据的极差分位数；
(2)进行学习率调整后精细数据出现整值近似化，所有不超过2.0的数据归为1，大于2.0且不超过2.3的数据归为2，大于2.3的数据归为3，用频率估计概率，记下一次生成的近似化整值为，求的分布列和期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【详解】（1）排序得1.8 1.9 2.0 2.1 2.1 2.2 2.3 2.3 2.3 2.5,
故极差,
因为，所以第分位数；
（2）这10个数字1.8 1.9 2.0 2.1 2.1 2.2 2.3 2.3 2.3 2.5, 近似化整值为：
个，个，个，所以的可能取值为，
再用频率估计概率可得，
，，，
所以的分布列为：
所以的期望为：.
变式4．（25-26高三下·四川成都·开学考试）某外卖平台为提升配送效率，会根据实时订单密度自动调度骑手数量．平台规定，订单密度（单位：单平方公里·小时）在时为低峰水平，在时为高峰水平．为优化运力配置，平台开发了智能调度系统，其骑手调度数量与订单密度的对应关系如下表：
根据历史运营数据可知，该平台配送区域内订单密度X低于60，90，120，180的概率分别为0.3，0.5，0.7，0.9．
(1)（i）求该配送区域内每平方公里1小时内订单密度X的期望（当超过180时，按180算）；
（ii）若单个骑手每小时平均可配送10单，求该配送区域内每平方公里1小时内平均配送订单数．
(2)若启用智能调度系统之后，该平台配送区域内订单密度X低于60，90，120，180的概率均相应增加了0.05，该平台启用智能调度系统之后，求调度骑手数Z的期望．
【答案】(1)（i）93；（ii）455；
(2)40.25.
【详解】（1）（i）依题意，，
则，
所以.
（ii）调度骑手数的分布列为
因此，
而单个骑手每小时平均可配送10单，所以每平方公里1小时内平均配送订单数.
（2）该平台启用智能调度系统后，订单密度对应的概率为
，
，
调度骑手数的分布列为
所以.
考点二 离散型随机变量的方差
例1．（25-26高二上·上海普陀·期末）为激发学习数学的兴趣，高二年级举行数学知识竞赛，赛制规定：共进行5轮比赛，每轮比赛每个班可以从、两个题库中任选1题作答，在前两轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，后三轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，题库每题20分，题库每题30分，一班能正确回答、题库每题的概率分别为、，且每轮答题结果互不影响.
(1)若一班前两轮选题库，后三轮选题库，求其总分不少于100分的概率；
(2)若一班在前两轮比赛中选了题库，而且两轮得分60分，后三轮换成题库，设一班最后的总分为，求的分布､期望及方差.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，，
【详解】（1）由条件知，若一班在前两轮得分，后三轮得分，总分为分，
其概率为，
若一班在前两轮得分，后三轮得分或分，总分为或分，
其概率为，
于是一班总分不少于分的概率为 .
（2）依题意随机变量的可能取值为，，，，
所以，，
，．
所以的分布列为：
所以，
.
例2．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）某高中在选拔学生参加高中数学联赛中，对数学成绩较好的100名学生进行了一次测试，将测试所得的成绩（满分100分）分成7组：，，，，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求此次测试成绩的平均数（同组数据以该组区间的中点值作代表）；
(2)从测试成绩在区间内的学生中随机抽取4人，记4人中测试成绩在区间内的人数为，求的分布列、数学期望和方差.
【答案】(1)71.2
(2)分布列见解析，，.
【详解】（1）由图知测试成绩的平均数为：
.
（2）测试成绩在区间内的学生人数为人，
测试成绩在区间内的学生人数为人，
所以的可能取值为2，3，4.
故，，，
所以的分布列为：
所以，
.
例3．（25-26高三上·山东·月考）在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩､防护服､消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量､该厂质检人员从某日生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：，得到如下频率分布直方图.规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩.

(1)求该厂商生产口罩质量指标值的平均数和第60百分位数；
(2)现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为，求的分布列及方差.
【答案】(1)平均数为123，第60百分位数为125；
(2)分布列见解析，方差为.
【详解】（1）该厂商生产口罩质量指标值的平均数为
；
，
故第60百分位数落在内，设其为，
则，
解得，故第60百分位数为125；
（2）一级口罩与二级口罩的个数比为，
现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，
则一级口罩有个，二级口罩有个，
再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为，的可能取值为0,1,2，
，，，
故的分布列如下：
数学期望为，
方差为
变式1．（24-25高三下·上海·月考）某甜品店打算推出三款新品，在前期市场调研时，将顾客按照年龄分为青少年组中年组和老年组，随机调查了名顾客对这三款新品的购买意愿，统计数据如下（单位：人）：
假设顾客的购买意愿相互独立.用频率估计概率.
(1)从顾客中随机抽取人，估计该名顾客愿意购买第一款新品的概率；
(2)从三个不同年龄组的顾客中各随机抽取人，记为这人中愿意购买第二款新品的人数，求的分布列和数学期望；
(3)用“”表示顾客愿意购买第款新品，“”表示顾客不愿意购买第款新品．写出方差、、的大小关系并说明理由．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)，理由见解析
【详解】（1）由表格中的数据结合古典概型的概率公式可知，
从顾客中随机抽取人，估计该名顾客愿意购买第一款新品的概率.
（2）在三个不同年龄组的顾客中各随机抽取人，青
少年组、中年组、老年组的顾客愿意购买第二款新品的概率分别为、、，
由题意可知，随机变量的可能取值有：、、、，
所以，，
，
，，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
故随机变量的期望为.
（3）用频率估计概率，由表可知顾客愿意购买第款新品的概率为，
顾客愿意购买第款新品的概率为，
顾客愿意购买第款新品的概率为，
所以，，
所以，
，
所以.
变式2．（24-25高三下·上海·月考）近年来，随着智能手机的普及，网上买菜迅速进入了我们的生活.现将一周网上买菜次数超过3次的市民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的市民认定为“不喜欢网上买菜”.某市M社区为了解该社区市民网上买菜情况，随机抽取了该社区100名市民，得到的统计数据如下表所示：
(1)是否有95%的把握认为社区的市民喜欢网上买菜与年龄有关？
(2)社区的市民小张周一、二均在网上买菜，且周一等可能地从两个买菜平台随机选择一个下单买菜如果周一选择平台买菜，那么周二选择平台买菜的概率为，如果周一选每平台买菜，那么周二选择平合买菜的概率为，求小张周二选择平台买菜的概率；
(3)用频率估计概率，现从社区随机抽取20名市民，记其中喜欢网上买菜的市民人数为随机变量，并记随机变量，求的期望和方差.
参考公式：，其中.
【答案】(1)有95%的把握认为喜欢网上买菜与年龄有关
(2)
(3)，；，
【详解】（1）有95%的把握认为喜欢网上买菜与年龄有关.
，
查表得临界值3.841，由于，认为喜欢网上买菜与年龄有关；
（2）
；
（3）喜欢网上买菜的概率，，
则
对于，利用线性变换性质：
.
变式3．（24-25高三下·上海·月考）某公司为招聘新员工设计了一个面试方案:应聘者从道备选题中一次性随机抽取 道题，按照题目要求独立完成. 规定：至少正确完成其中道题便可通过面试.已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且两位应聘者每题正确完成与否互不影响.
(1)求甲正确完成面试题数的分布列及其期望；
(2)求乙正确完成面试题数的分布列及其方差；
(3)试问:甲和乙谁通过面试的可能性更大?并说明理由.
【答案】(1)分布列见解析；
(2)分布列见解析；
(3)甲通过面试的可能性更大；理由见解析
【详解】（1）甲正确完成试题数的可能取值为，，，
，，，
所以甲正确完成面试题数的分布列为：
.
（2）乙正确完成面试题数的可能取值为：，，，
，，
，，
所以乙正确完成面试题数的分布列为：
所以，
.
（3）因为，，
所以，所以甲通过面试的可能性大.考点目录
离散型随机变量的数学期望
离散型随机变量的方差
男性
女性
以月薪作为主要考虑因素
300
150
以发展前景作为主要考虑因素
200
150
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
0
1
2
3
4
5
男性
女性
总计
以月薪作为主要考虑因素
300
150
450
以发展前景作为主要考虑因素
200
150
350
总计
500
300
800
0
1
2
3
4
5
类别
研发岗
运维岗
合计
深度认知
60
60
基础认知
20
40
合计
0.1
0.05
0.025
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
7.879
10.828
类别
研发岗
运维岗
合计
深度认知
60
60
120
基础认知
20
40
60
合计
80
100
180
0
2
4
6
类别
研发岗
运维岗
合计
深度认知
60
60
120
基础认知
20
40
60
合计
80
100
180
0
2
4
6
0
1
0
1
0
1
2
3
0
1
2
3
2
3
4
5
订单密度X
调度骑手数（人）
15
25
40
80
120
15
25
40
80
120
0.3
0.2
0.2
0.2
0.1
15
25
40
80
120
0.35
0.2
0.2
0.2
0.05
60
80
100
120
2
3
4
0
1
2
青少年组
中年组
老年组
愿意
不愿意
愿意
不愿意
愿意
不愿意
第一款
第二款
第三款
喜欢网上买菜
不喜欢网上买菜
合计
年龄不超过45岁的市民
40
10
50
年龄超过45岁的市民
20
30
50
合计
60
40
100
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
3.841
6.635
10.828