空间位置关系的判定与性质9种高频考法专项训练-2026届高考数学二轮复习

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(1)求证：平面；
(2)若平面与平面夹角的余弦值为，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）取中点，连接，，
因为是中点，所以，，
又在直三棱柱中，，，是中点，
所以，，所以四边形是平行四边形，
所以，因为平面，平面，
所以平面．
（2）取中点，连接，，
由是中点，所以在直棱柱中，平面，
因为，所以，
所以．
以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，
设，则，
所以．
设平面的一个法向量为，
所以，令，则，
设平面的一个法向量为，
则，令，则.
因为平面与平面夹角的余弦值为，
所以，
解得，所以．
例2．（2026·广东深圳·一模）已知球的半径为1，在球的内接八面体中，顶点，分别在平面两侧，且四棱锥与都是正四棱锥.
(1)如图1，若点在平面上，求证：平面；
(2)如图2，若二面角的正切值为，求该内接八面体的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2).
【详解】（1）如图，连接，则必过点，
在四边形中，由于对角线，互相平分，
则四边形为平行四边形，故，
由于平面且平面，
所以平面；
（2）解法1 如图，记正方形的中心为，取中点，连接，，，，由于，则，同理可证，则为二面角的平面角，又，则，
则为二面角的平面角，为二面角的平面角，
不妨设点在的下方，
设
则，，，，，
于是，，
于是，
，
由于，则，解得，
则，则，即内接八面体的体积为；
解法2 如图，记正方形的中心为，连接，，
则，，两两垂直，如图，以点为坐标原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
不妨设点在的下方，
则，，，，
于是点，，，，
设平面的一个法向量为，，，
由，，令，则，
于是平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
，，
由，，令，则，
于是平面的一个法向量为，
设二面角的平面角为，由于，
则，则，，
则，即内接八面体的体积为.
解法3 如图，过点作，记正方形的中心为，连接，，
由于平面，，平面，则，，
且，则，，两两垂直，如图，以点为坐标原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
由对称性，不妨设点在的下方，设
则，，，，
于是点，，，，
设平面的一个法向量为，，
，
由，，
令，则，，
于是平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
，，
由，，
令，则，，
于是平面的一个法向量为，
设二面角的平面角为，由于，
则，则，
则，即内接八面体的体积为.
变式1．（25-26高二上·浙江杭州·期中）如图，在四棱锥中，底面，，∥，，，，E为棱的中点．
(1)求证：∥平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）取的中点，连接，则∥，且.
因为∥，，所以，∥，且.
所以四边形为平行四边形.
所以∥.
因为平面，平面，所以∥平面.
（2）因为底面，底面，所以.
又，所以以为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，所以.
所以.
设平面的法向量为，
则.
令，则，
所以平面的一个法向量为.
设直线与平面所成角为，
则.
即直线与平面所成角的正弦值为.
变式2．（2026·陕西榆林·一模）如图，直四棱柱内接于圆柱，且底面为矩形，B是圆柱底面圆O的圆周上一动点，AC是圆O的直径，且，E是AB的中点，Q是的中点．
(1)证明：平面；
(2)设，求平面与平面ABC的夹角的正弦值.（用表示）
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）如图，取的中点，连接，
则，且．
因为底面为矩形，所以，，且，
所以，且，
则四边形为平行四边形，所以．
因为平面，平面，
所以平面．
（2）以为坐标原点，直线，分别为轴，过点且在底面内与垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示．
设，则，，，
所以，．
设平面的法向量为，
则，
令，得.
易知平面的一个法向量为．
设平面与平面的夹角为，
则．
所以，
即平面与平面的夹角的正弦值为．
考点二 面面平行的判定
例1．（2026·湖北孝感·二模）如图：正八面体可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体．
(1)证明：平面平面；
(2)若，点为棱上的动点，则直线与平面所成的角的正弦值的范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）连接交于点，则四点共面，且为的中点，
所以四边形都是平行四边形，所以，，
又平面，平面，所以平面，
平面，平面，所以平面，
平面，平面，又在平面内相交于点，
所以平面平面.
（2）根据正八面体结构，以点为原点，为轴，如图建立空间直角坐标系
则，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，则，，
所以，即，令，则，
所以平面的一个法向量为，
因为点为棱上的动点，
所以设，
则，
设直线与平面所成的角为，
，
又，
当时，，当或0时，，
故直线与平面所成角的正弦值的范围.
例2．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知正方体，棱长为2，线段、BD的中点分别为点M、P、N．
(1)求证：平面平面；
(2)求异面直线MN与所成角的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）连接、、、，
由线段、BD的中点分别为点M、P、N，
则、，
又平面，平面，
平面，平面，
故平面，平面，
又，、平面，
故平面平面；
（2）连接、，由（1）知，，
则异面直线MN与所成角即为直线与所成角，
，，，
则，故为等边三角形，故，
即异面直线MN与所成角的大小为.
变式1．（2026·湖北襄阳·一模）如图，正三角形和平行四边形在同一个平面内，其中，，AB，DE的中点分别为F，G．将沿直线AB翻折到，使二面角为120°，设CE的中点为H．
(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为四边形为平行四边形，F、G分别为的中点，
所以四边形为平行四边形，所以．
因为平面，平面，所以平面，
又H、G分别为的中点，所以．
平面，平面，所以平面，
因为FD、平面，，
所以平面平面．
（2）因为三角形为正三角形，，F为的中点，
所以，，
所以为二面角的平面角，
又，平面，
所以平面，因为平面，所以平面平面．
作平面于O，则O在直线上．
又二面角的平面角为，
所以O在线段的延长线上．由已知得，则，．
以F为原点，所在直线分别为x轴、y轴，过点F平行于的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
如图，
因为， ，所以，
则，，，，，
则，，
设平面的一个法向量为，
则由，，得，
令，得．
易得平面的一个法向量，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
变式2．（25-26高二上·广东广州·期末）如图，在长方体中，，，点E，F，G分别在棱，，上，点P，Q，R分别在棱，，上，．
(1)求和所成角的余弦值；
(2)求证：平面平面．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）根据题意，以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，
则.
所以.
所以.
所以和所成角的余弦值为.
（2）证明：连接，取的中点分别为，连接.
因为，所以.
因为，所以.
因为，所以.
又平面，而不在平面内，所以平面.
因为，所以.
而，所以.
又平面，而不在平面内，所以平面.
又平面，所以平面平面．
考点三 线面平行的性质
例1．（25-26高三下·北京·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，侧面底面，，为线段的中点，为线段上的动点．
(1)若平面，求证：点为线段中点；
(2)如果直线与平面所成角的正弦值为，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）连接，
因为平面，平面平面，平面，
所以，
又因为为线段的中点，
所以点为线段中点.
（2）在中，因为，，
所以，即，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
连接，在中，，，，
所以，
即，
所以，所以，
以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
则，，，
设，所以，
所以，
设平面的法向量为，
则，令，则，，
所以，
因为直线与平面所成角的正弦值为，
所以，
解得，
所以.
例2．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，直角梯形中，为的中点，以为折痕把折起，使点到点的位置，且．
(1)设平面与平面的交线为，证明：；
(2)证明：平面；
(3)求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）由，，得四边形为平行四边形，则，
而平面，平面，则平面，
又平面平面平面，所以.
（2）由，得，即得，
由四边形是正方形，得，则，
而平面，所以平面.
（3）由（2）得，直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，
设平面的一个法向量，则，取，得，
设平面的一个法向量，则，取，得，
因此，由图形知二面角的大小为钝角，
所以二面角的余弦值为.
变式1．（2026·新疆·模拟预测）如图，在多面体中，四边形，均为矩形，，，点为线段上一点，且平面.
(1)若平面，求证：点是的中点；
(2)若直线与平面所成角的大小为，求.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）连接，交于点，连接，
平面，平面，平面平面，
，
在矩形中，点为线段的中点，
点是的中点.
（2）平面，
为直线与平面所成的角，
，
又平面，，
故为等腰直角三角形，
.
在中，，，，
，
且，
.
变式2．（2026·贵州安顺·一模）如图，已知四面体的所有棱长都等于2，E，F，G分别是棱，，的中点．平面平面．
(1)证明：；
(2)求平面与平面的夹角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)．
【详解】（1）因为F，G分别是棱，的中点，故．
又平面，平面，所以平面．
而平面，平面平面，所以．
（2）过D作平面，垂足为O．建立如图所示空间直角坐标系．
则，， ，，
，，
设为平面的法向量，则
，取
平面的一个法向量为，所以，
设为平面与平面所成角，则，
因此，平面与平面所成角的正弦值为．
考点四 面面平行的性质
例1．（25-26高三下·河南驻马店·开学考试）如图，在圆台中，下底面圆的直径，点C在圆上，且，上底面圆的半径，且平面平面．
(1)证明：．
(2)若圆台的高为2，求平面与平面所成二面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）作，垂足为M，连接．
因为平面平面，平面平面，
所以平面．
因为平面，所以，．
因为圆台的上、下底面平行，所以圆，
则，．
因为平面，所以，即点，，M，P共面．
因为平面，所以，，
所以四边形为矩形，
所以，．
在中，，．
在中，，解得，
所以．
在中，M，分别为，的中点，
所以，所以．
（2）以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，
，．
设平面的法向量为，
则，即，
令，得．
设平面的法向量为，
则，即，令，得．
因为，所以，
所以平面与平面所成二面角的正弦值为．
例2．（2026·山东滨州·一模）如图，在矩形中，，点分别是边的中点，点分别在线段上移动（不含端点），且，将四边形沿翻折至四边形，使得二面角的大小为．
(1)求证：平面；
(2)当时，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【详解】（1）在线段上取一点，使得，
因为平面，平面，所以平面，
由平行线性质可得：，
且，，则，
即，可得，且，则，
又因为平面，平面，所以平面，
且，平面，可得平面平面，
由平面，可得平面.
（2）设的中点分别为，连接，则，
由题意可知：，，
且，平面，可得平面，
因为平面，则，
可知二面角的平面角为，
且，可知为等边三角形，则，
又因为，平面，则平面，
以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
又因为，可知点分别是线段的中点，
则，，
可得，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，可得；
设平面的法向量为，则，
令，则，可得；
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
变式1．（25-26高二上·湖南常德·期末）如图，是正四棱柱被平面所截得的几何体，，.
(1)证明：四边形是平行四边形；
(2)求平面和平面的夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为几何体是平面截正四棱柱所得，所以平面，平面平面，平面平面，所以，
同理，所以四边形为平行四边形；
（2）分别以为轴建立空间直角坐标系，
则.
设，因为，因为，
所以，解得，即，
设平面的法向量，由，
得，令，则，所以
由题意知，平面的法向量，
设平面和平面的夹角为，则，
所以平面和平面的夹角的余弦值为.
变式2．（25-26高三上·江苏无锡·月考）已知多面体ABCDEF如图所示，其中四边形ABCD为矩形，，平面ABCD．
(1)求证：平面BCF；
(2)若，点A到平面BDF的距离为，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为，所以，，
又，平面，则平面，
而平面，所以，
又不在平面内，平面，所以平面，
因为，且不在平面内，平面，所以平面，
又，平面，故平面平面，
因为平面，故平面．
（2）解法一：连结AF，如图所示，
设，，则，
，，在中，
以BF为底，则高，
，
，
因为，，
由等体积法可得，，即，
解得．
解法二：由，面，以为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
设
则
则，
设面BDF的法向量，则，
取，则，
又，
解得，即．
考点五 线面垂直的判定
例1．（25-26高二上·浙江杭州·期中）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，．
(1)求证：平面PAB:
(2)求二面角的大小；
(3)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见详解
(2)
(3)
【详解】（1）平面平面，且平面平面，,平面，
平面，又平面，∴，
又且，平面，
平面.
（2）取的中点，连接，，，
又平面，平面平面，平面平面，
平面，平面，，
又，，
如图建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量为，则，令，则，，
又观察可知平面的法向量为，
.
故二面角的大小为.
（3）
设平面的法向量为，则，令，则，，
又，.
直线PB与平面PCD所成角的正弦值为.
例2．（25-26高二下·贵州·月考）如图，，平面平面为BD的中点，为CE的中点．
(1)证明：平面ACE；
(2)求平面AEF与平面ADF夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为，所以，即.
因为平面平面平面平面，，
所以平面.
因为平面，所以.
因为，为的中点，所以，
因为,平面ACE，
所以平面ACE.
（2）以为原点，所在直线分别为轴，在平面内与垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，
，由，得,
,.
，设平面的一个法向量为，
则，令，可得，即.
由（1）知为平面的一个法向量，
设平面AEF与平面ADF夹角为，，
所以平面AEF与平面ADF夹角的余弦值为.
变式1．（2026·江苏·一模）把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中，．将沿翻折至，使得二面角为直二面角．
(1)证明：平面；
(2)若在同一个球面上，求该球的半径；
(3)求平面与平面所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）二面角为直二面角，即平面平面，
又因为平面，平面平面，
所以平面．
又因为平面，所以．
由题意平面，
所以平面．
（2）取中点中点，连接，
则，
因为平面，平面，所以，所以，
在中，为中点，所以.
以为正交基底建立如图所示空间直角坐标系，
则．
设该球的球心坐标为，则
解得.
所以该球的半径为.
（3）法一：取中点，在中，过作，垂足为，连接，
平面平面平面，
平面平面，所以平面．
而平面，故，
又因为，平面，故平面，
而平面，所以，
则为平面与平面的所成角.
直角三角形中，，
所以平面与平面所成角的余弦值为.
法二：平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，则即
取，得平面的一个法向量为.
所以平面与平面所成角的余弦值为.
变式2．（2026·重庆·一模）如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且．
(1)求证：平面；
(2)已知为线段中点，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）在三棱柱中，，，
，则.
又四边形是正方形，则，，所以.
又，平面，因此平面.
又平面，所以.
在等边中，为中点，则，
又，平面，所以平面.
（2）
取中点为，中点为，则，.
由（1）知，平面，平面，则.又，故.
又，平面，则平面.即两两垂直.
以为坐标原点，，，的方向为轴､轴､轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
因为为线段中点，所以.
，，.
设平面的法向量为，
则，即，故可取.
设直线与平面所成角为，
则
所以直线与平面所成角的正弦值为.
考点六 面面垂直的判定
例1．（2026·河南许昌·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面平面，是边长为2的等边三角形，为侧棱的中点，为线段上一点.
(1)证明：平面平面；
(2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值；
(3)设点为三棱锥的外接球的球心，试判断三棱锥的体积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)是定值，
【详解】（1）平面平面，平面平面 ，，且平面，则平面，
因平面，则，又，则，
因平面，则平面，
又平面，故平面平面.
（2）由平面，平面平面，平面，则
故为的中点，取的中点，连接，，
则平面，因平面，则，
，平面，所以平面
故可以为坐标原点，，所在直线为轴，过作的平行线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意，，，，，
则，，.
设平面的法向量为，
则，故可取，
设与平面所成角为，则.
（3）由（1）知，平面，因平面，则，即为直角三角形，
又也为直角三角形，则三棱锥外接球的球心为线段的中点.
，即 ，在平面外，在平面内，则平面，
故点到平面的距离等于点到平面的距离，又等于点到平面的距离的一半.
故，
而，故.
例2．（2026·河北唐山·一模）如图，在三棱锥中，，，D是的中点.
(1)证明：平面平面；
(2)若，三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由，D是的中点，得，而，，
平面，则平面，而平面，所以平面平面.
（2）由（1）知平面，则，
而，解得，
即，直线两两垂直，
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
，，
设平面的法向量，则，令，得，
因此，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
变式1．（2026·山东青岛·一模）如图，在菱形中，，，为的中点，将沿翻折至，得到四棱锥.
(1)证明：平面平面；
(2)当二面角为120°时，求和平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由题意得，为等边三角形，
又为中点，所以，，故.
又因为，所以平面.
又因为平面，所以平面平面.
（2）如图，以为原点，，以及垂直于平面的直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
由（1）知，，
又，所以即为二面角的平面角，即.
则，，，.
，，，
设平面的法向量，
则，即，取
设直线与平面所成的角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
变式2．（2026·河北保定·一模）如图，三棱锥 中，
(1)证明:平面平面.
(2)设三棱锥的外接球的球心为O.
（i）求球O 的体积;
（ii）求直线 OB 与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)（i）；（ii）
【详解】（1）取中点，连接、，
由，得,
在中，，故，
​
在中，，，，
由余弦定理：,
又，
故为直角三角形，,
因为为中点，所以，
在中， ​，，，
,
所以由勾股定理逆定理得
又，且平面，故平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）（i）由为直角三角形，其外接圆圆心为斜边中点，半径,
三棱锥的外接球球心在过且垂直于平面的直线上,
设，球半径,
,
则​，平方得：
,
故
（ii）以为原点建立空间直角坐标系：，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴,
则，球心
所以，。
设平面法向量，
则：
取​，得，
，设直线与平面所成角为，
则
考点七 线面垂直的性质
例1．（25-26高二下·湖南衡阳·开学考试）如图，在四棱柱中，底面ABCD是正方形，侧面是矩形，，.
(1)证明：；
(2)若三棱锥的体积为3，求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为底面ABCD为正方形和侧面是矩形，
所以，，
又，平面，所以平面.
又平面，
所以.
（2）过点作于E，因为，
由（1）得平面，
又平面，所以，
又，平面ABCD，
所以平面ABCD.
过点E作交AB于F，
以E为原点，以，，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.
设，因为平面，
所以由三棱锥的体积为3，得三棱锥的体积为3，
即三棱锥的体积为3，即，得.
由，，
得，，
则，，，，，
，，，.
设平面的法向量为，
由，可得，
令，可得，，
所以.
设平面的法向量为，
由，可得，
令，可得，
所以，
设平面与平面的夹角为，
则.
例2．（2026·广东广州·一模）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面，点是棱的中点．
(1)求证：；
(2)若点到平面的距离为，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）取的中点，连接，
因为点是棱的中点，所以，
又因为平面，且平面，所以，
因为，所以，
由底面为菱形，且，可得为等边三角形，
因为是的中点，所以，
又因为，且平面，所以平面，
因为平面，所以.
（2）取的中点，连接，因为是的中点，可得，
因为，所以，
又因为平面，且平面，所以，
以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，
设，可得，
所以，
设平面的法向量为，可得，
令，可得，所以，
因为点到平面的距离为，可得，
则，解得，所以，所以，且.
又因为平面与轴所在直线垂直，所以平面的一个法向量为，
设平面与平面夹角为，可得，
所以平面与平面夹角的余弦值.
变式1．（2026·湖南·模拟预测）如图，在三棱锥中，．
(1)证明：；
(2)若和所在平面垂直，且平面与平面所成角的余弦值为，求．
【答案】(1)证明见解析
(2)或．
【详解】（1）取中点，连接．
因为，所以．
又由题，可得≌，则，
故．
因为平面，所以平面，
又平面，所以.
（2）法一：设，
由平面平面且平面平面，由面面垂直的性质定理可知，
可以点为坐标原点，过点垂直于平面的直线为轴，直线为轴，
过点垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，
则有，
则，
设平面的一个法向量为，
则有，故可取，
易知平面的一个法向量为，
则，解得，
所以或，
法二：如图，过点作于点，过点作于点，连接．
因为平面平面且平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以．
又，平面，
所以平面，即为平面与平面所成的角，
由题，可知．
设，则，
所以在中，，所以，
在中，，
所以，即，
所以或．
变式2．（2026·安徽合肥·模拟预测）如图，在四棱锥中，，，，平面，且，为的中点．
(1)求证：；
(2)为棱上一点，且直线与平面所成的角为30°，求平面与平面夹角的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）取的中点，连接，因为，且，
四边形是平行四边形，又，所以四边形是矩形，
故，因为为的中点，为的中点，所以，
因为平面，所以平面，进而，
，且平面，所以平面，
因为平面，故.
（2）以D为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
，，,，，，
设，，，
设平面的法向量为，则，
令，得，
，因为，所以，
计算得，所以，平面的法向量，
平面的法向量，设平面与平面夹角为，
，故.
考点八 面面垂直的性质
例1．（24-25高三上·陕西·期中）如图，平面四边形中，，，，将沿翻折至，使得平面平面，是的中点．
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成的角；
(3)求平面与平面夹角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）
，，
又，
，即且，
四边形为平行四边形，
连接，交于点，则是的中点，连接，
又，
四边形是边长为的菱形，
是的中点，是的中点，，
平面，平面，
平面．
（2）
，，
，即，
又四边形是边长为的菱形，即，
，
是边长为的正三角形，则是边长为的正三角形，
取的中点，连接，，则，
平面四边形中， ，
，，
又，则，
，
平面平面，平面平面，
又，平面，
平面，则是在平面的射影，
是直线与平面所成的角，
也是边长为的正三角形，
又，，，
即直线与平面所成的角为.
（3）
由（2）知，，，，
如图所示，以为坐标原点，
以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，
设平面的法向量为，
则，解得，
取，，，
平面的一个法向量为，
有，，
设平面的法向量为，
则，，解得，
取，则，，
平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，则，
设平面与平面的夹角为，
则.
例2．（2026·辽宁抚顺·一模）如图所示，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，为的中点，且，平面平面．
(1)求证；平面平面；
(2)设直线与平面所成的角为，求直线与平面所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）在等腰梯形中，
，，，
是的中点，，
所以四边形是菱形，，
因为平面平面，平面平面，
又，为的中点，所以，平面，
平面，平面，
，
平面，平面，，
平面，
平面，
所以平面平面．
（2）
由底面为等腰梯形，如图，
取的中点，连接，可得，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
因为，，所以，设，
则，
则，，
设平面的一个法向量，
则，令，得，
因为直线与平面所成的角为，所以，所以，即，
设平面的一个法向量，
，，
则，令，得，
设直线与平面所成角为，
则．
所以直线与平面所成角的余弦值为．
变式1．（2026·山东德州·一模）如图，边长为2的正方形所在的平面与平面垂直，且.
(1)证明：平面平面；
(2)当时，求平面与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为平面平面，交线为平面，
所以平面，又平面，故.
又因为平面，
所以平面，而平面，
故平面平面.
（2）以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，由题设得，，
设是平面的法向量，则
，即，令，可得.
又是平面的法向量，
设平面与平面所成角为，
，所以，
所以平面与平面所成角的正弦值是.
变式2．（2026·广东佛山·一模）如图，和所在平面垂直，且，．
(1)证明：；
(2)求平面和平面的夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）过在平面内作，过在平面内作，
因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，而平面，所以，
于是，，两两垂直，如图，以为原点建立空间直角坐标系，
，，．
所以，．
因为，所以；
（2）由（1）知，而平面的法向量为，
设平面的法向量为，则，
取，可得，，所以．
因为．
所以平面和平面的夹角的余弦值为.
考点九 空间位置关系的综合判定
例1．（2026·湖北孝感·二模）已知三条不同的直线，，和两个不同的平面，，下列四个命题中正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
【答案】B
【详解】对于A，若，，则两直线可以平行，可以垂直，可以异面，因此A错误；
对于B，若，，则，因此B正确；
对于C，当时，若，可以满足，但不成立，即C错误；
对于D，若，，也可能满足，所以D错误.
例2．（2026·河北邯郸·一模）在下列四个正方体中，为正方体的顶点，为所在棱的中点，则满足直线平面的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】如图1所示，建立空间直角坐标系，设正方体的边长为，
则，所以
设平面的一个法向量为，
则，取，则，所以，
又易知，则，
又，即与不垂直，所以与平面不平行，故A错误，
对于B，如图2，由选项A知平面的一个法向量为，
，则，
又，即与不垂直，所以与平面不平行，故B错误，
对于C，如图3，由选项A知平面的一个法向量为，
，则，
又，即与不垂直，所以与平面不平行，故C错误，
对于D，如图4，记为正方体所在棱的中点，连接，易得，
又平面，平面，所以平面，
又，平面，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面，
又平面，则直线平面，所以D正确，
变式1．（25-26高三下·天津河西·开学考试）已知两条不同的直线，两个不同的平面，下列命题中一定正确的是（ ）.
A．若是一对异面直线，且，则.
B．若，则.
C．若，，，，则.
D．若，，则.
【答案】A
【详解】A，过直线作平面分别交于，由线面平行的性质可得：，
即，因为，所以，同理可得过作平面交于，即可得，
因为异面，所以是内的相交直线，根据面面平行的判定定理，可得，故A正确；
B，若，则可能相交、异面，即不一定平行，故B错误；
C，面面垂直的性质定理要求，题中没有这个条件，当不在内时，不能推出，故C错误；
D，若，，则可能平行、斜交，即不一定垂直，故D错误.
变式2．（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）已知为异面直线，平面，平面，直线满足，，，,则（ ）
A．，且B．，且
C．与相交，且交线与垂直D．与相交，且交线与平行
【答案】D
【详解】对于A，假若，则由平面，平面，可得，这与异面矛盾，故A错误；
对于B，如上图，在长方体中，
不妨设平面为平面，平面为平面，满足，
棱所在直线分别为，满足所有题设条件，但，即得不出，故B错误，；
对于C，D，如上图，由A项知，相交，设，过空间内一点，分别作，作，
因，故可确定平面，
因为，，所以，，且，故；
又因，，所以，，所以，，同理可得；
因为，，所以不重合，故有.
综上可知，C项错误，D项正确.
故选：D.考点目录
线面平行的判定
面面平行的判定
线面平行的性质
面面平行的性质
线面垂直的判定
面面垂直的判定
线面垂直的性质
面面垂直的性质
空间位置关系的综合判定