空间向量与立体几何：动点存在性问题、立体几何新定义问题专项训练-2026届高考数学二轮复习

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例1．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）如图，在四棱锥中，为等边三角形，底面为等腰梯形，，且．
(1)求．
(2)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
例2．（25-26高二上·福建厦门·期末）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形.，且，，为中点.
(1)证明：平面；
(2)已知线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，求到直线的距离.
例3．（25-26高三上·宁夏·月考）如图1，在直角梯形中，已知，，将沿翻折，使平面平面.如图2，的中点为O.
(1)求证：平面BCD；
(2)若AD的中点为G，在线段AC上是否存在点H，使得平面GHB与平面BCD夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.
例4．（25-26高二上·云南昆明·期末）如图，在四棱锥中，，，，是的中点.

(1)已知，分别为，的中点，求证：平面；
(2)若平面，，则：
（i）求平面与平面夹角的余弦值；
（ii）在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.
变式1．（2026·湖南岳阳·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面.
(1)求证：；
(2)设在线段和上，且为中点，，若直线与平面所成角的大小为，
（i）求平面与平面所成角的余弦值；
（ii）平面交直线于点，设，求的值.
变式2．（25-26高三上·江苏无锡·月考）在四棱锥中，已知底面是直角梯形，，，平面平面，且，.

(1)证明：平面；
(2)当时，求异面直线，所成角的余弦值；
(3)是否存在实数，使得平面平面，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.
变式3．（25-26高三上·吉林长春·月考）如图甲，在梯形中，，E是的中点，将沿折起，使点D到达点P的位置，如图乙，且．
(1)求证：平面平面；
(2)求点E到平面的距离；
(3)设的中点为O，在平面内取点Q，使得直线平面，问点Q是否在内？请说明理由．
变式4．（25-26高三上·湖南长沙·月考）如图，在三棱柱中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，且，侧面为菱形，点在底面上的射影为AC的中点D．利用空间向量法求解下列问题．

(1)求证：．
(2)在线段上是否存在点E，使得直线DE与侧面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由．
考点二 立体几何新定义问题
例1．（25-26高二上·湖北孝感·期末·多选）空间直角坐标系中，已知向量，则经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，根据上面的材料，以下选项说法正确的是（ ）
A．若直线的方程为，则点在直线上
B．已知平面的方程，平面的方程为，则这两平面所成角的正弦值为
C．已知平面的方程为，则点到平面的距离为
D．已知平面的方程为，平面的方程为，平面的方程为，则直线与平面的夹角的余弦值为
例2．（25-26高三上·江苏·月考·多选）克莱因提出“几何学就是研究在特定变换下不变性质的学科”，该观点被后世称为“爱尔兰根纲领”，如在初中阶段我们研究了旋转、翻折、平移等保持变换前后长度不变、角度不变的变换，称这些变换为保长变换和保角变换，设平面和是空间中两个相异平面，是平面外一点.定义平面到平面关于点的单点透视变换，若直线交平面于点，则，称为在平面内的像：若，则，称为平面内的影消点.则下述命题中正确的有（ ）
A．是保角变换，但不是保长变换
B．“平面和相交”是“平面内存在影消点”的充要条件
C．若平面内存在影消点，则影消点的轨迹是一条直线
D．平面内的椭圆在单点透视变换下的像仍是椭圆
例3．（25-26高三上·北京海淀·月考）18世纪英国数学家辛普森运用定积分，推导出了中学数学教材中柱、锥、球、台体等几何体的统一体积公式：（其中分别为几何体的上底面面积、中截面面积、下底面面积和高），我们也称为“万能求积公式”．例如，正四棱锥的底面边长为a，高为h，则该正四棱锥的体积为．类似地，可运用该公式求解下述问题：如图，在五面体中，平面，四边形为矩形，，直线与平面所成角的正切值为，则该五面体的体积为 ．
例4．（25-26高二上·湖北宜昌·月考）类比二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图，由不共面的三条射线，，构成的图形称为三面角，记，，，二面角的大小为，则.已知平行六面体的底面为菱形，，，，则二面角的余弦值为 .

例5．（25-26高二上·广东广州·期末）如图所示，用一个不平行于圆柱底面的平面截该圆柱所得的截面为椭圆面，得到的几何体称之为“斜截圆柱”.是底面圆的直径，，椭圆所在平面垂直于平面，且与底面所成的二面角的大小为，椭圆上的点在底面上的投影分别为点，且点均在直径的同一侧.若点，，，将半圆均分成5等份.求：
变式1．（25-26高二上·山西太原·期中·多选）给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算：
①是与都垂直的向量；
②三个向量构成右手系（如图1）；
③．
如图2，在长方体中，
，则下列结论正确的是（ ）

A．
B．
C．
D．长方体的体积
变式2．（25-26高二上·河南·月考·多选）在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．已知点，若方程为的平面过点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．是平面的一个法向量
C．直线与平面所成的角的正弦值为
D．点在平面内的射影的坐标为
变式3．（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期中）在空间直角坐标系中，定义：平面的一般方程为（，且，，不同时为零），点到平面的距离，则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心到侧面的距离等于 .
变式4．（25-26高二上·上海·期中）北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和，例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为，则五棱锥的总曲率为 ．
变式5．（25-26高二上·山东日照·月考）如图1，在平面四边形中，，，，是等腰直角三角形，，将沿折叠到的位置，形成如图2所示的三棱锥，且.
(1)证明：；
(2)已知三棱锥，外接球球心为.
①若为线段上动点（不包含点），为中点，为中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值.
②类似于平面中三角形的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：由射线，，构成的三面角，记，，，二面角的大小为，则，当、、时，请在图3的基础上，试证三面角余弦定理，并用该结论求图2中二面角的余弦值.考点目录
动点存在性问题
立体几何新定义问题