2026届高三数学一轮复习课件第56讲离散型随机变量及其概率分布、期望与方差

这是一份2026届高三数学一轮复习课件第56讲离散型随机变量及其概率分布、期望与方差，共53页。PPT课件主要包含了链教材·夯基固本，所以X的分布列为，答案2元，平均水平，标准差，偏离程度，研题型·能力养成，答案ABD，答案AC，期望与方差的决策应用等内容，欢迎下载使用。
1．(人A选必三P70练习T2)若随机变量X满足P(X＝c)＝1，其中c为常数，则D(X)＝_____．
　　　　因为随机变量X满足P(X＝c)＝1，其中c为常数，所以E(X)＝c×1＝c，所以D(X)＝(c－c)2×1＝0．
2．(人A 选必三P66练习T1)已知随机变量X的分布列为  则E(X)＝_______，E(3X＋2)＝________．
　　　　E(X)＝1×0.1＋2×0.3＋3×0.4＋4×0.1＋5×0.1＝2.8，E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝3×2.8＋2＝10.4．
3．(人A选必三P70练习T1)已知随机变量X的分布列为  则D(X)＝________，σ(2X＋7)＝________．
4．(人A选必三P71练习T3)已知随机变量X的分布列为P(X＝0)＝0.2，P(X＝1)＝a，P(X＝2)＝b，若E(X)＝1，则a＝_______，b＝_______．
5．(人A选必三P71习题T2)现要发行10 000 张彩票，其中中奖金额为2元的彩票1 000张，10元的彩票300张，50元的彩票100张，100元的彩票50张，1 000元的彩票5张．1张彩票可能中奖金额的均值是_______．
所以E(X)＝2×0.1＋10×0.03＋50×0.01＋100×0.005＋1 000×0.000 5＝2，即1张彩票可能中奖金额的均值是2元．
1．离散型随机变量的分布列的性质(1) pi______0(i＝1,2，…，n)；(2) p1＋p2＋…＋pn＝_____．2．离散型随机变量的均值与方差一般地，若离散型随机变量X的分布列为
x1p1＋x2p2＋…＋xnpn
3．均值与方差的性质(1) E(X1＋X2)＝_________________；(2) 若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝_________________；(3) E(aX＋b)＝______________(a，b为常数)；(4) D(aX＋b)＝___________(a，b为常数)；(5) D(X)＝E(X2)－[E(X)]2．
E(X1)＋E(X2)
E(X1)·E(X2)
aE(X)＋ba2D(X)
离散型随机变量的分布列的性质
　　　(1) 设X是一个离散型随机变量，其分布列为
则常数a的值为(　　)
　　　(2) 设离散型随机变量ξ的分布列如下表所示：
则下列各式正确的是(　　)
离散型随机变量分布列的性质的应用(1) 利用“概率之和为1”求相关参数．(2) 利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率．(3) 可根据性质判断所得分布列结果是否正确．
离散型随机变量的分布列及数字特征
视角1　求离散型随机变量的分布列及数字特征
求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤：(1) 理解ξ的意义，写出ξ的所有可能取值；(2) 求ξ取每个值的概率；(3) 写出ξ的分布列；(4) 由均值、方差的定义求E(ξ)，D(ξ)．
视角2　期望方差的性质及应用　　　　　(1) (多选)已知随机变量ξ的分布列为
　　　　　(2) (多选)已知随机变量X，Y，且Y＝3X＋1，X的分布列如下：
　　　(2024·湖南九校联盟二联)猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名，该游戏中有A，B，C三首歌曲．嘉宾甲参加猜歌名游戏，需从三首歌曲中随机选一首，自主选择猜歌顺序，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，并且获得本歌曲对应的奖励基金．假设甲猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲的概率及猜对时获得相应的奖励基金如下表：
(1) 求甲按“A，B，C”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名的概率．
　　　　甲决定按“A，B，C”顺序猜歌名，获得的奖励基金金额记为X，则X的所有可能取值为0,1 000，3 000，6 000，P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，P(X＝1 000)＝0.8×　 (1－0.5)＝0.4，P(X＝3 000)＝0.8×0.5×(1－0.5)＝0.2，P(X＝6 000)＝0.8×0.5×0.5＝0.2，所以E(X)＝0×0.2＋1 000×0.4＋3 000×0.2＋6 000×0.2＝2 200；甲决定按“C，B，A”顺序猜歌名，获得的奖励基金金额记为Y，则Y的所有可能取值为　　0,3 000,5 000,6 000，P(Y＝0)＝0.5，P(Y＝3 000)＝0.5×(1－0.5)＝0.25，P(Y＝5 000)＝0.5×0.5×(1－0.8)＝0.05，P(Y＝6 000)＝0.5×0.5×0.8＝0.2，所以E(Y)＝0×0.5＋3 000×0.25＋5 000×0.05＋6 000×0.2＝2 200．
参考答案一：由于D(X)＝(0－2 200)2×0.2＋(1 000－2 200)2×0.4＋(3 000－2 200)2 ×0.2＋(6 000－2 200)2×0.2＝4 560 000，D(Y)＝(0－2 200)2×0.5＋(3 000－2 200)2 ×0.25＋(5 000－2 200)2×0.05＋(6 000－2 200)2×0.2＝5 860 000，由于D(Y)＞D(X)，所以应该按照“A，B，C”的顺序猜歌名．参考答案二：甲按“C，B，A”的顺序猜歌名时，获得0元的概率为0.5，大于按照“A，B，C”的顺序猜歌名时获得0元的概率0.2，所以应该按照“A，B，C”的顺序猜歌名．
1．决策问题一般有三种途径：(1) 利用概率：若概率越大，则事件发生的可能性越大，而选择概率大的好还是选择概率小的好，要根据具体问题而定．(2) 利用均值：随机变量的均值反映了随机变量的平均水平，究竟是均值大的好还是均值小的好，也要根据具体问题而定，如经济收入的均值是越大越好，生产中的次品数是均值越小越好．(3) 利用方差：方差反映了随机变量偏离平均值的程度，方差越大，随机变量的取值越分散；方差越小，随机变量的取值越集中于均值附近．
2．在做决策时，一般能通过概率进行决策的优先用概率，不能用概率决策的，再比较均值，当均值相等时，再比较方差(或标准差)．
1．若随机变量ξ的分布列如下表所示，且m＋2n＝1.2，则n＝(　　)  A．－0.2B．0.4C．0.2D．0
　　　　依题意得m＋n＋0.1＋0.1＝1，又m＋2n＝1.2，解得n＝0.4，m＝0.4．
2．已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数)：  则下列计算结果正确的是(　　)A．a＝0.2B．P(X≥2)＝0.7C．E(X)＝1.4D．D(X)＝6.3
　　　　因为0.2＋0.3＋0.4＋a＝1，所以a＝0.1，故A错误；由分布列知P(X≥2)＝0.4＋0.1＝0.5，故B错误；E(X)＝0×0.2＋1×0.3＋2×0.4＋3×0.1＝1.4，故C正确；D(X)＝(0－1.4)2×0.2＋(1－1.4)2×0.3＋(2－1.4)2×0.4＋(3－1.4)2×0.1＝0.84，故D错误．
3．已知随机变量X，Y满足Y＝2X＋1，且随机变量X的分布列为
4．若p为非负实数，随机变量X的分布列如下表，则D(X)的最大值是_____．
一、单项选择题1．若随机变量X的分布列如下表，则P(|X－2|＝1)的值为(　　)
4．设0＜a＜1，随机变量X的分布列是  则当a在(0，1)内增大时(　　)A．D(X)增大B．D(X)减小C．D(X)先增大后减小D．D(X)先减小后增大
6．已知离散型随机变量X的分布列如下，则(　　　)
三、填空题7．若随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝2，则D(2X－3)＝_____．
8．已知随机变量X的分布列如下：  若E(X)＝1.2，则p＝_______；当p＝_______时，D(X)最大．
　　　　由E(X)＝1.2，得0×p＋1×0.6＋2×(0.4－p)＝1.2，解得p＝0.1．依题意，E(X)＝1.4－2p，E(X2)＝02×p＋12×0.6＋22×(0.4－p)＝2.2－4p，所以D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝2.2－4p－(1.4－2p)2＝－4(p－0.2)2＋0.4，则当p＝0.2时，D(X)取得最大值．
9． (2024·邯郸三调)从分别写有数字1，2，3，5，9的5张卡片中任取2张，设这2张卡片上的数字之和为X，则E(X)＝_____．
10．(2024·临汾二模)已知质量均匀的正n面体，n个面分别标有数字1到n．(2) 在(1)的情况下，抛掷两个这样的正n面体，随机变量Y表示这两个正n面体与地面接触的面上的数字和的情况，记数字和小于7、等于7、大于7时，Y分别取值0，1，2，求Y的分布列及期望．
11．(2025·南昌期初)某校举行知识竞赛，每个班各派5名同学参赛，若某班5名同学失分(均为整数)都不超过5分，则该班级为“优秀班级”．(1) 若A班5名同学失分分别为1，1，3，3，4，从这5个失分中随机抽两个分数，记这两个分数差的绝对值为随机变量X，求随机变量X的分布列和期望．