专题06 离散型随机变量的期望与方差（知识串讲 热考题型 专题训练）-2022-2023学年高二数学下学期期中期末考点大串讲（人教A版2019）

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专题06 离散型随机变量的数字特征



知识点1　离散型随机变量的分布列
1．对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量叫做离散型随机变量．
2．一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi(i＝1,2，…，n)为X的概率分布列，简称分布列．
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
离散型随机变量的分布列也可以用如上表格表示．且具有如下性质：
(1)pi≥0，i＝1,2，…，n；
(2)p1＋p2＋…＋pn＝1．
离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．
知识点2　超几何分布
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为

其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．
【注意】超几何分布中的随机变量为抽到的某类个体的个数．主要特征为：(1)考察对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3)从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．
知识点3　离散型随机变量的数字特征
（1）均值
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn

则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn ＝为随机变量X的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
（2）方差
设离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn

则(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度．而为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度．称D(X)为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X)．
【注意】　(1)随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度越大，表明平均偏离程度越大，X的取值越分散.反之，越小，X的取值越集中在附近；(2)方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定是非负实数.
知识点4　二项分布
（1）一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0 P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.
称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)．
（2）二项分布的均值与方差
若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．

考点1 离散型随机变量分布列的性质

【例1】设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
①求2X＋1的分布列；
②求随机变量η＝|X－1|的分布列.
【解析】①由分布列的性质知，0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.
列表为
X
0
1
2
3
4
2X＋1
1
3
5
7
9
从而2X＋1的分布列为
2X＋1
1
3
5
7
9
P
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3
②由①知m＝0.3，列表为
X
0
1
2
3
4
|X－1|
1
0
1
2
3
所以P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3，
故η＝|X－1|的分布列为
η
0
1
2
3
P
0.1
0.3
0.3
0.3
【解后感悟】分布列性质的两个作用
(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性.
(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率.
【变式1-1】（2023·山东·泰安一中模拟预测）离散型随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝(n＝1，2，3，4)，其中a是常数，则P的值为(　　)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为P(X＝n)＝(n＝1，2，3，4)，
所以＋＋＋＝1，即a＝，
所以P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝×＋×＝.
【变式1-2】(多选)（2023·山东·济南一中模拟预测）设离散型随机变量ξ的分布列如下表所示：
ξ
－1
0
1
2
3
P





则下列各式不正确的是(　　)
A.P(ξ<3)＝ B.P(ξ>1)＝
C.P(2<ξ<4)＝ D.P(ξ<0.5)＝0
【答案】ABD
【解析】P(ξ<3)＝＋＋＋＝，A错误；
P(ξ>1)＝＋＝，B错误；
P(2<ξ<4)＝P(ξ＝3)＝，C正确；
P(ξ<0.5)＝＋＝，D错误.
【变式1-3】随机变量X的分布列如下：
X
－1
0
1
P
a
b
c
其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝________，公差d的取值范围是________.
【答案】　
【解析】因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c.
又a＋b＋c＝1，所以b＝，
因此P(|X|＝1)＝a＋c＝.又a＝－d，c＝＋d，
根据分布列的性质，得0≤－d≤，0≤＋d≤，
所以－≤d≤.
考点2 求离散型随机变量分布列

【例2】某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满400元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球，顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就继续摸球，规定摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励．
(1)求1名顾客摸球2次停止摸奖的概率；
(2)记X为1名顾客5次摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布列．
【解析】(1)由题意可得，第一次模到的是红、黄、白球中的一个，概率为，
不放回的第二次摸球，是从剩余的3个球中摸出黑色的球，概率为，
所以1名顾客摸球2次停止摸奖的概率为×＝．
(2)顾客摸奖一次获得的奖金数额设为Y，
Y的可能取值0,10,20,30,40，
则P(Y＝0)＝，P(Y＝10)＝＝，
P(Y＝20)＝＋＝，P(Y＝30)＝＝，
P(Y＝40)＝＝．
所以1名顾客5次摸奖获得奖金数额X＝5Y的分布列为
Y
0
10
20
30
40
X＝5Y
0
50
100
150
200
P






【解后感悟】离散型随机变量分布列的求解步骤

【变式2-1】在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从这10张奖券中任抽2张．
(1)求该顾客中奖的概率；
(2)求该顾客获得的奖品总价值X(单位：元)的分布列．
【解析】(1)记顾客中奖为事件A，则P(A)＝＝＝，即该顾客中奖的概率为．
(2)X所有可能的取值为(单位：元)0,10,20,50,60，
且P(X＝0)＝＝，P(X＝10)＝＝，
P(X＝20)＝＝，P(X＝50)＝＝，P(X＝60)＝＝，
故X的分布列为
X
0
10
20
50
60
P





【变式2-2】为了加强环保知识的宣传，某学校组织了垃圾分类知识竞赛活动．活动设置了四个箱子，分别写有“厨余垃圾”“有害垃圾”“可回收物”“其他垃圾”；另有卡片若干张，每张卡片上写有一种垃圾的名称．每位参赛选手从所有卡片中随机抽取20张，按照自己的判断将每张卡片放入对应的箱子中．按规则，每正确投放一张卡片得5分，投放错误得0分．比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子，得5分，放入其他箱子，得0分．从所有参赛选手中随机抽取20人，将他们的得分按照[0,20]，(20,40]，(40,60]，(60,80]，(80,100]分组，绘成如图所示的频率分布直方图：

(1)分别求出所抽取的20人中得分落在组[0,20]和(20,40]内的人数；
(2)从所抽取的20人中得分落在组[0,40]的选手中随机选取3名选手，以X表示这3名选手中得分不超过20分的人数，求X的分布列．
【解析】(1)由题意知，所抽取的20人中得分落在组[0,20]内的人数有0．005 0×20×20＝2(人)，得分落在组(20,40]内的人数有0．007 5×20×20＝3(人)．
因此，所抽取的20人中得分落在组[0,20]内的人数有2人，得分落在组(20,40]内的人数有3人．
(2)由题意可知，随机变量X的所有可能取值为0,1,2，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，所以，随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P




考点3 离散型随机变量均值与方差的性质

【例3】(多选)设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
q
0.4
0.1
0.2
0.2

若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结果正确的有(　　)
A．q＝0.1
B．E(X)＝2，D(X)＝1.4
C．E(X)＝2，D(X)＝1.8
D．E(Y)＝5，D(Y)＝7.2
【答案】ACD
【解析】因为q＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，
所以q＝0.1，故A正确；
由已知可得E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，
D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，故C正确；
因为Y＝2X＋1，
所以E(Y)＝2E(X)＋1＝5，
D(Y)＝4D(X)＝7.2，故D正确
【解后感悟】离散型随机变量性质有关问题的解题思路
若给出的随机变量Y与X的关系为Y＝aX＋b，a，b为常数，一般思路是先求出E(X)，D(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)求E(Y)，D(Y)；也可以利用X的分布列得到Y的分布列，关键是由X的取值计算Y的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E(Y)或D(Y)．　
【变式3-1】已知随机变量X，Y满足Y＝2X＋1，且随机变量X的分布列如下：
X
0
1
2
P


a

则随机变量Y的方差D(Y)等于(　　)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由分布列的性质，得a＝1－－＝，
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝，
所以D(X)＝×＋×＋×＝，
又Y＝2X＋1，所以D(Y)＝4D(X)＝.
【变式3-2】(多选)(2022·永州模拟)已知 X
0
1
2
P
p－p2
1－p
p2

A．P(X＝2)的值最大 B．P(X＝0) C．E(X)随着p的增大而减小 D．E(X)随着p的增大而增大
【答案】BD
【解析】当p＝时，P(X＝2)＝，P(X＝1)＝1－＝>，A错误；
因为 E(X)＝1－p＋2p2＝2＋，
因为 【变式3-3】已知随机变量ξ的分布列为
ξ
1
2
3
P
0.5
x
y
若E(ξ)＝，则D(ξ)＝________.
【答案】
【解析】由分布列性质，得x＋y＝0.5.
又E(ξ)＝，得2x＋3y＝，可得
D(ξ)＝×＋×＋×＝.
考点4 超几何分布的均值与方差

【例4】（2022·江苏高考模拟）某商场进行抽奖活动.已知一抽奖箱中放有8只除颜色外，其它完全相同的彩球，其中仅有5只彩球是红色.现从抽奖箱中一个一个地拿出彩球，共取三次，拿到红色球的个数记为.
（1）若取球过程是无放回的，求事件“”的概率；
（2）若取球过程是有放回的，求的概率分布列及数学期望
【解题指导】（1）超几何分布概率公式计算概率；
（2）的可能取值为→求得每个取值对应的概率→分布列→数学期望.
【解析】（1）根据超几何分布可知：；
（2）随机变量的可能取值为：；且
，，分布列如下：











【解后感悟】求超几何分布件为背景的均值与方差的解题思路：
第一步：确定参数N，M，n的值.
第二步：明确随机变量的所有可能取值，并求出随机变量取每一个值时对应的概率.
第三步：列出分布列，求期望与方差
【易错提醒】二项分布与超几何分布的关系
在n次试验中，某事件A发生的次数X可能服从超几何分布或二项分布．
区别
①当这n次试验是n重伯努利试验时(如有放回摸球)，X服从二项分布；
②当n次试验不是n重伯努利试验时(如不放回摸球)，X服从超几何分布
联系
在不放回n次试验中，如果总体数量N很大，而试验次数n很小，此时超几何分布可近似转化成二项分布如本例(3)
【变式4-1】（2023·安徽宿州·统考一模）宿州号称“中国云都”，拥有华东最大的云计算数据中心、CG动画集群渲染基地，是继北京、上海、合肥、济南之后的全国第5家量子通信节点城市.为了统计智算中心的算力，现从全市n个大型机房和6个小型机房中随机抽取若干机房进行算力分析，若一次抽取2个机房，全是小型机房的概率为.
(1)求n的值；
(2)若一次抽取3个机房，假设抽取的小型机房的个数为X，求X的分布列和数学期望.
【解析】（1）由题知，共有个机房，抽取2个机房有种方法，
其中全是小机房有种方法，
因此全是小机房的概率为，解得.
即n的值为4.
（2）X的可能取值为0，1，2，3.
，
，
，
.
则随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P




则X的数学期望.
【变式4-2】（2023·全国·模拟预测）新高考模式下，数学试卷不分文理卷，学生想得高分比较困难．为了调动学生学习数学的积极性，提高学生的学习成绩，张老师对自己的教学方法进行改革，经过一学期的教学实验，张老师所教的名学生，参加一次测试，数学学科成绩都在内，按区间分组为，，，，，绘制成如下频率分布直方图，规定不低于分（百分制）为优秀．

(1)求这名学生的平均成绩（同一区间的数据用该区间中点值作代表）；
(2)按优秀与非优秀用分层抽样方法随机抽取名学生座谈，再在这名学生中，选名学生发言，记优秀学生发言的人数为随机变量，求的分布列和期望．
【解析】（1）名学生的平均成绩为.
（2）根据频率分布直方图知：优秀学员对应的频率为，则非优秀学员对应的频率为，
抽取的名学生中，有优秀学生人，非优秀学生人；
则所有可能的取值为，
；；；；
的分布列为：










数学期望.
考点5 二项分布的均值与方差

【例5】（2022·陕西高三模拟）每年3月20日是国际幸福日,某电视台随机调查某一社区人们的幸福度．现从该社区群中随机抽取18名,用“10分制”记录了他们的幸福度指数,结果见如图所示茎叶图,其中以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶．若幸福度不低于8.5分,则称该人的幸福度为“很幸福”．

(Ⅰ)求从这18人中随机选取3人,至少有1人是“很幸福”的概率；
(Ⅱ)以这18人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选3人,记表示抽到“很幸福”的人数,求的分布列及．
【解题指导】(Ⅰ)先计算人都认为不很幸福的概率→再有对立事件就概率；
(Ⅱ)确定二项分步→的可能的取值→列出分布列→求出期望．
【解析】(Ⅰ)设事件抽出的人至少有人是“很幸福”的，则表示人都认为不很幸福

(Ⅱ)根据题意，随机变量，的可能的取值为
；；
；
所以随机变量的分布列为：










所以的期望
【解后感悟】求二项分布为背景的概率模型的解题思路：
第一步：根据题意设出随机变量.
第二步：分析随机变量服从二项分布.
第三步：找到参数n，p.
第四步：写出二项分布的概率表达式.
第五步：求解相关概率.
【易错提醒】二项分布与超几何分布的关系
在n次试验中，某事件A发生的次数X可能服从超几何分布或二项分布．
区别
①当这n次试验是n重伯努利试验时(如有放回摸球)，X服从二项分布；
②当n次试验不是n重伯努利试验时(如不放回摸球)，X服从超几何分布
联系
在不放回n次试验中，如果总体数量N很大，而试验次数n很小，此时超几何分布可近似转化成二项分布如本例(3)
【变式5-1】2023年亚运会在中国杭州举办，开幕式门票与其他赛事门票在网上开始预定，亚奥理事会规定：开幕式门票分为A、B两档，当预定A档未成功时，系统自动进入B档预定，已知获得A档门票的概率是，若未成功，仍有的概率获得B档门票的机会；而成功获得其他赛事门票的概率均为，且获得每张门票之间互不影响．甲预定了一张A档开幕式门票，一张赛事门票；乙预定了两张赛事门票．
(1)求甲乙两人都没有获得任何门票的概率；
(2)求乙获得的门票数比甲多的概率．
【解析】（1）由题意可得：预定一张开幕式门票不成功的概率，成功的概率为，
设甲获得的门票数为，则的可能取值为，
故，
故的分布列为：

0
1
2




设乙获得的门票数为，则，
故，
故的分布列为：

0
1
2




故甲乙两人都没有获得任何门票的概率.
（2）由（1）可得：乙获得的门票数比甲多的概率.
【变式5-2】为了响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，某校实施网络授课，为了检验学生上网课的效果，在高三年级进行了一次网络模拟考试，从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如下图所示），其中数学成绩落在区间[110，120），[120，130），[130，140]的频率之比为4：2：1.

(1)根据频率分布直方图求学生成绩在区间[110，120）的频率，并求抽取的这100名同学数学成绩的中位数
(2)若将频率视为概率，从全校高三年级学生中随机抽取3个人，记抽取的3人成绩在[100，130）内的学生人数为，求的分布列与数学期望.
【解析】1）由直方图可知，数学成绩落在区间内的频率为,
所以数学成绩落在区间内的频率为，
因为数学成绩落在区间[110，120），[120，130），[130，140]的频率之比为4：2：1，
所以数学成绩落在区间[110，120）的频率为，
数学成绩落在区间[70，100）的频率为，
所以中位数落在区间内，
设中位数为，则，解得，
所以抽取的这100名同学数学成绩的中位数为.
（2）由（1）知，数学成绩落在区间[100，130）内的频率为，
由题意可知，，的所有可能取值为，
，，
，，
所以的分布列为：

0
1
2
3





所以数学期望.
考点6 均值与方差在决策中的应用

【例6】（2022·北京卷T18） 在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，935，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
（2）设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；
（3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
【解析】(1)由频率估计概率可得
甲获得优秀的概率为0.4，乙获得优秀的概率为0.5，丙获得优秀的概率为0.5，故答案为0.4
（2）设甲获得优秀为事件A1,乙获得优秀为事件A2，丙获得优秀为事件A3
，

，

，
.
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
P




∴
（3）丙夺冠概率估计值最大.
因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为，甲获得9.80的概率为，
乙获得9.78的概率为.并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利.
【解后感悟】随机变量的均值和方差从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．
【变式6-1】（2023·吉林省实验中学模拟预测）东方商店欲购进某种食品(保质期两天)，此商店每两天购进该食品一次(购进时，该食品为刚生产的).根据市场调查，该食品每份进价8元，售价12元，如果两天内无法售出，则食品过期作废，且两天内的销售情况互不影响，为了解市场的需求情况，现统计该食品在本地区100天的销售量如下表：
销售量/份
15
16
17
18
天数
20
30
40
10
(视样本频率为概率)
(1)根据该食品100天的销售量统计表，记两天中一共销售该食品份数为X，求X的分布列与数学期望；
(2)以两天内该食品所获得的利润期望为决策依据，东方商店一次性购进32或33份，哪一种得到的利润更大？
【解析】(1)根据题意可得，X的所有可能取值为30，31，32，33，34，35，36.
则P(X＝30)＝×＝，
P(X＝31)＝××2＝，
P(X＝32)＝××2＋×＝，
P(X＝33)＝××2＋××2＝，
P(X＝34)＝××2＋×＝，
P(X＝35)＝××2＝，
P(X＝36)＝×＝.
X的分布列如下：
X
30
31
32
33
34
35
36
P







E(X)＝30×＋31×＋32×＋33×＋34×＋35×＋36×＝32.8.
(2)当购进32份时，利润为
32×4×＋(31×4－8)×＋(30×4－16)×
＝107.52＋13.92＋4.16＝125.6(元).
当购进33份时，利润为
33×4×＋(32×4－8)×＋(31×4－16)×＋(30×4－24)×
＝77.88＋30＋12.96＋3.84＝124.68(元).
125.6＞124.68，因此，当购进32份时，利润更大.

1．（贵州省遵义市第一中学等校2022-2023学年高二下学期第一次月考数学试题）已知随机变量的分布列满足：，其中为常数，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由分布列性质可知：，即
故故选：B
2．（2023北京·高三校考强基计划）已知随机变量X的分布列如下表所示，
X
0
1
2
P
a
b
c
若成等比数列，则的最大值为（    ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】根据题意，有故，
而，
而，
等号当时取得，即的最大值为．故选：C.
3．（2023·河南洛阳·洛阳市第三中学校联考一模）已知某离散型随机变量X的分布列如下：
x

0
1
2
P
a
b
c

若，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，得，所以①．
因为，所以②．
由，得，代入①②解得：，．
所以．
故选:C.
4．（2023春·江苏南通·高二江苏省如皋中学校考阶段练习）袋子中有6个白球，8个黑球，现从袋子里有放回地取7次球，用表示取到白球的个数，则（    ）
A． B． C．3 D．
【答案】C
【解析】每次摸到白球的概率为，
因为是有放回地取7次球，所以，
所以.故选：C.
5．（2023·全国·高二专题练习）设随机变量，，若，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】随机变量，∴， 解得，
∴ ，则.
故选：D．
6．（2023春·山东烟台·高二统考阶段练习）随机变量服从两点分布，若，则下列结论正确的有（    ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】因为随机变量服从两点分布，，所以，
故，因此，，
，所以正确的是ABD．
故选：ABD．
7．（2023·全国·模拟预测）2022年10月16日至10月22日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂隆重召开，这是在全党全国各族人民迈上全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的关键时刻召开的一次十分重要的大会.某单位组织大家深入学习、领会党的二十大精神，并推出了10道有关二十大的测试题供学习者学习和测试.已知甲答对每道题的概率都是，乙能答对其中的6道题，规定每次测试都是从这10道题中随机抽出4道，答对一题加10分，答错一题或不答减5分，最终得分最低为0分，甲、乙两人答对与否互不影响，则（    ）
A．乙得40分的概率是 B．乙得分的数学期望是
C．甲得0分的概率是 D．甲、乙的得分都是正数的概率是
【答案】ABD
【解析】A，B选项：设乙的得分为，则的所有可能取值为0，10，25，40，
且，
，，，
因此，故A，B正确；
C，D选项：记“甲得分为正数”为事件，“乙得分为正数”为事件，
则，，
，，
因此甲得0分的概率是，
甲、乙的得分都是正数的概率是，
故C错误，D正确.
故选：ABD
8．（2023春·江苏连云港·高二校考阶段练习）已知离散型随机变量服从二项分布，其中，记为奇数的概率为，为偶数的概率为，则下列说法中正确的有（    ）
A． B．时，
C．时，随着的增大而增大 D．时，随着的增大而减小
【答案】ABC
【解析】对于A选项，由概率的基本性质可知，，
故A正确，
对于B选项，由时，离散型随机变量服从二项分布，
则，
所以，
，
所以，故B正确，
对于C,D选项，，
当时，为正项且单调递增的数列，
故随着的增大而增大故选项C正确，
当时，为正负交替的摆动数列，
故选项D不正确.
故选：ABC.
9．（2023·天津·天津市滨海新区塘沽第一中学校联考模拟预测）一个袋中共有个大小相同的黑球、白球和红球，已知从袋中任意摸出个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出个球，至少得到个白球的概率是，则白球的个数为______________.
【答案】
【解析】设有白球个，因为从袋中任意摸出个球，至少得到个白球的概率是，
所以，解得或（舍去）.
故答案为：5
10．（2023·全国·高二专题练习）离散型随机变量的概率分布规律为，，其中是常数，则______．
【答案】##0.875
【解析】因为，
，
所以，
所以，
所以
，
故答案为：.
11．（贵州省遵义市第一中学等校2022-2023学年高二下学期第一次月考数学试题）某班组织知识竞赛，一共3题，答题规则如下：每队2人，其中1人先答题，若回答正确得10分，若回答错误，则另一人可补答，补答正确也得10分，得分后此队继续按同样方式答下一题；若2人都回答错误，则得0分且不进入下一题，答题结束.已知第一队含有甲､乙两名队员，其中甲队员答对每题的概率均为，乙队员答对每题的概率均为，每题都是甲先回答，且每题是否回答正确相互独立，甲､乙两人回答正确与否也相互独立.
(1)求第一队答对第1题的概率；
(2)设表示第一队获得的总分，求随机变量的分布列.
【解析】（1）设甲、乙答对每题的事件为，
则，所以，
答对第一题分为两种情况：甲先答对，甲先答错乙补答对，
所以答对第一题的概率为
；
（2）由题意得，，
，
，
，
.
所以X的分布列为：
X
0
1
2
3
P




12．（2023春·山东·高二校联考阶段练习）某企业有甲、乙两个研发小组，甲组研究新产品成功的概率为，乙组研究新产品成功的概率为，现安排甲组研发新产品，乙组研发新产品，设甲、乙两组的研发相互独立．
(1)求恰好有一种新产品研发成功的概率；
(2)若新产品研发成功，预计企业可获得利润120万元，不成功则会亏损50万元；若新产品研发成功，企业可获得利润100万元，不成功则会亏损40万元，求该企业获利万元的分布列．
【解析】（1）因为甲、乙两个研发小组研究新产品成功的概率分别为为和，且相互独立，
所以，恰好有一种新产品研发成功的概率；
（2）根据题意，的可能取值有.

，
所以分布列为：










13．（广西柳州市2023届高三第三次模拟考试数学（理）试题）随着中国实施制造强国战略以来，中国制造（Made in china）逐渐成为世界上认知度最高的标签之一，企业也越来越重视产品质量的全程控制.某企业从生产的一批产品中抽取40件作为样本，检测其质量指标值，质量指标的范围为，经过数据处理后得到如下频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中质量指标值的平均数和中位数（结果精确到0.1）；
(2)为了进一步检验产品质量，在样本中从质量指标在和的两组中抽取2件产品，记取自的产品件数为，求的分布列和数学期望.
【解析】（1）设质量指标值的平均数为，中位数为，
则，
因为，，所以中位数位于之间，
则，解得；
（2）样本中质量指标在的产品有件，质量指标在的有件，
则可能的取值为，，，
相应的概率为：，
，，
所以随机变量的分布列为








所以随机变量的期望.
14．（2023春·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）2023年3月华中师大一附中举行了普通高中体育与健康学业水平合格性考试．考试分为体能测试和技能测试，其中技能测试要求每个学生在篮球运球上篮、羽毛球对拉高远球和游泳3个项目中任意选择一个参加．某男生为了在此次体育学业考试中取得优秀成绩，决定每天训练一个技能项目．第一天在3个项目中任意选一项开始训练，从第二天起，每天都是从前一天没有训练的2个项目中任意选一项训练．
(1)若该男生进行了3天的训练，求第三天训练的是“篮球运球上篮”的概率；
(2)设该男生在考前最后6天训练中选择“羽毛球对拉高远球”的天数为，求的分布列及数学期望．
【解析】（1）解：当第一天训练的是“篮球运球上篮”且第三天也是训练“篮球运球上篮”为事件；
当第一天训练的不是“篮球运球上篮”且第三天是训练“篮球运球上篮”为事件；
由题知，三天的训练过程中，总共的可能情况为种，
所以，，，
所以，第三天训练的是“篮球运球上篮”的概率.
（2）解：由题知，的可能取值为，
所以，考前最后6天训练中，所有可能的结果有种，
所以，当时，第一天有两种选择，之后每天都有种选择，故；
当时，
第一天选择“羽毛球对拉高远球”，则第二天有2种选择，之后每天只有1种选择，共2种选择；
第二天选择“羽毛球对拉高远球”，则第一天有2种选择，第三天2种，后每天只有1种选择，共4种选择；
第三天选择“羽毛球对拉高远球”， 则第一天有2种选择，第二天有1种选择，第三天1种，第四天有2种选择，之后每天只有1种选择，共4种选择；
第四天选择“羽毛球对拉高远球”， 则第一天有2种选择，第二天，第三天，第四天，第六天有1种，第五天有2种选择，共4种选择；
第五天选择“羽毛球对拉高远球”， 则第一天有2种选择，第二天，第三天，第四天，第五天有1种，第六天有2种选择，共4种选择；
第六天选择“羽毛球对拉高远球”， 则第一天有2种选择，第二天，第三天，第四天，第五天，第六天都有1种选择，共2种选择；
综上，当时，共有种选择，
所以，；
当时，
第一天，第三天，第五天，选择“羽毛球对拉高远球”，有种选择；
第一天，第三天，第六天，选择“羽毛球对拉高远球”，有种选择
第一天，第四天，第六天，选择“羽毛球对拉高远球”，有种选择；
第二天，第四天，第六天，选择“羽毛球对拉高远球”，有种选择；
所以，当时，共有种选择，
所以，；
所以，当，
所以，的分布列为：










所以，.
15．（广东省部分学校2023届高三下学期3月模拟数学试题）某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放10个大小相同的小球，其中5个为红色，5个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球.如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖.
(1)若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望.
(2)若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望.
(3)如果你是商场老板，如何在上述问两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由.
【解析】（1）若第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，则每次中奖的概率为，
因为两次抽奖相互独立，所以中奖次数服从二项分布，即，
所以的所有可能取值为，则
，


所以的分布列为

0
1
2




所以的数学期望为.
（2）若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，中奖次数的所有可能取值为，
则，
，
，
所以的分布列为

0
1
2




所以的数学期望为.
（3）因为（1）（2）两问的数学期望相等，第（1）问中两次奖的概率比第（2）问的大，
即，第（1）不中奖的概率比第问小，即，
回答一：若商场老板希望中两次奖的顾客多，产生宣传效应，则选择按第（2）问方式进行抽.
回答二：若商场老板希望中奖的顾客多，则选择按第（1）问方式进行抽奖.
16．（2023春·河南商丘·高三临颍县第一高级中学校联考阶段练习）已知甲、乙两所体校都设有三个考试科目：足球、长跑、跳远．若小明报考甲体校，其每个科目通过的概率均为，若小明报考乙体校，则其足球、长跑、跳远三个科目通过的概率依次为，，，其中，且每个科目是否通过相互独立．
(1)若，表示事件“小明报考甲体校时恰好通过个科目”，表示事件“小明报考乙体校时至多通过个科目”，求，；
(2)若小明报考甲体校相比报考乙体校，通过的科目数的期望值更大，求的取值范围．
【解析】（1）；.
（2）设小明报考甲体校通过的科目数为，报考乙体校通过的科目数为，
根据题意可知随机变量，；
随机变量所有可能取值为，
则；；；；
，
，，又，，
即的取值范围为.
17．（2023春·高二课时练习）教育部门最近出台了“双减”政策.即有效减轻义务教育阶段学生过重作业负担和校外培训负担，持续规范校外培训（包括线上培训和线下培训）.“双减”政策的出合对校外的培训机构经济效益产生了严重影响.某大型校外培训机构为了规避风险，寻求发展制定科学方案，工作人员对2021年前200名报名学员的消费金额进行了统计整理，其中数据如表.
消费金额（千元）






人数
30
50
60
20
30
10
该大型校外培训机构转型方案之一是将文化科主阵地辅导培训向音体美等兴趣爱好培训转移，为了深入了解当前学生的兴趣爱好，工作人员利用分层抽样的方法在消费金额为和的学员中抽取了5人，再从这5人中选取3人进行有奖问卷调查，求抽取的3人中消费金额为的人数的分布列和数学期望；
【解析】由题意得，抽中的5人中消费金额为的人数为，
消费金额为的人数为，设消费金额为的人数为X，则，
所以，，，
所以X的分布列为：
X
1
2
3
P



；
18．（2023春·江苏连云港·高二校考阶段练习）已知有一道有四个选项的单项选择题和一道有四个选项的多项选择题，小明知道每道多项选择题均有两个或三个正确选项.但根据得分规则：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.这样，小明在做多项选择题时，可能选择一个选项，也可能选择两个或三个选项，但不会选择四个选项.
(1)如果小明不知道单项选择题的正确答案，就作随机猜测.已知小明知道单项选择题的正确答案和随机猜测的概率分别是、，在他做完单项选择题后，从卷面上看，在题答对的情况下，求他知道单项选择题正确答案的概率.
(2)假设小明在做该道多项选择题时，基于已有的解题经验，他选择一个选项的概率为，选择两个选项的概率为，选择三个选项的概率为.已知该道多项选择题只有两个正确选项，小明完全不知道四个选项的正误，只好根据自己的经验随机选择.记表示小明做完该道多项选择题后所得的分数.求：
（i）；
（ii）的分布列及数学期望.
【解析】（1）设事件A为“题答对”，事件B为“知道正确答案”，
则，
则，
所以.
（2）（i）设事件表示小明选择了i个选项，，C表示选到的选项都是正确的，
X的可能取值为，
则
,
,
故；
（ii）随机变量X的分布列为：
X
0
2
5
P



故.
19．（2023·北京海淀·校考模拟预测）某超市制定的某种有机蔬菜销售策略如下：每天以元/千克购进该种蔬菜，然后以7元/千克出售.若每天下午点以前购进的有机蔬菜没有全部销售完，则对未售出的有机蔬菜进行降价处理，以2元/千克出售，并且降价后能够把剩余蔬菜全部销售完，且当天不再进货.该超市整理了过去两个月（按60天计算）每天下午6点前这种有机蔬菜的日销售量（单位：千克），得到如下的统计数据（注：视评率为概率，）
每天下午6点前的销售量/千克
250
300
350
400
450
天数
10
10
s
t
5
（注：每天超市销售的蔬菜量是相互独立的）
(1)在接下来的2天中，设X为下午6点前的销售数量不少于350千克的天数，求X的分布列和数学期望；
(2)若该超市拟购进350千克有机蔬菜，表示蔬菜销售量．
①求分布列和数学期望；
②写出此时利润的数学期望（直接写出结果）．
【解析】（1）依题意，1天下午6点前的销售量不少于350千克的概率，
随机变量的可能值为0，1，2，
，，，
所以的分布列为：

0
1
2




的数学期望.
（2）①根据题意可得：随机变量的可能值为250，300，350，
根据题意可得；；，
所以的分布列为：








的数学期望.
②.
20．（2023·全国·模拟预测）赌徒分金问题是概率论发展史上最著名的问题之一，1651年法国著名统计学家德·梅赫将它提请著名数学家帕斯卡解决，后来大数学家费马和惠更斯也参与了讨论并给出一般性推广．以下是赌徒分金问题的例子：
(1)甲乙两个选手实力相当（即每人每局胜的概率都是），约定谁先赢4局，就获胜，并赢得奖金10000元，但在甲胜3局，乙胜2局时，比赛被迫中止，请计算甲最后获胜的概率和分到奖金的数学期望．
(2)甲选手每局获胜的概率为，乙选手每局获胜的概率为，现在甲胜3局，乙胜2局，给出方案一：谁率先赢4局谁赢得奖金；方案二：谁率先赢5局谁赢得奖金，如果你是甲选手，你怎样选择比赛方案，并解释其理由．
【解析】（1）设事件甲第四局比赛获胜为，事件甲第五局比赛获胜为，
则事件甲最后获胜可表示为，
由已知，
所以，
所以甲获胜的概率为．
设甲分到奖金X元，则甲分到奖金的分布列为
X
10000
0
P


所以．
（2）方案一：①甲胜1局乙胜0局的概率为p；
②乙先胜1局甲再胜1局的概率为，
所以甲获胜的概率为．
方案二：①甲胜2局乙胜0局的概率为；
②甲胜2局乙胜1局的概率为；
③甲胜2局乙胜2局的概率为，
所以甲获胜的概率为．
，
当时，，选择方案二；
当时，，选择方案一；
当时，，选择方案一二皆可．