高考数学二轮复习专题专题1数列的单调性与最值（范围）问题试题含解析答案

这是一份高考数学二轮复习专题专题1数列的单调性与最值（范围）问题试题含解析答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．在公差为的等差数列中，，数列满足．若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．已知数列的前项和为，且满足，，则数列的最大项为（ ）
A．B．130C．D．
3．已知数列的通项公式，且最小项为，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
4．在数列中，，则“”是“是递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．已知，则这个数列的前100项中的最大项与最小项分别是（ ）
A．，B．，C．，D．，
6．已知数列的前项和为，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
7．已知各项都不为零的无穷数列满足: ，若为数列中的最小项，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知数列的通项公式为，若是单调递增数列，则实数t的取值范围是（ ）
A．(－6，＋∞)B．(－∞，－6)
C．(－∞，－3)D．
9．已知数列an是单调递增数列，，，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．2,3
10．数列的前项的和满足，则下列选项中正确的是（ ）
A．数列是常数列B．若，则是递增数列
C．若，则D．若，则的最小项的值为
11．已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．为递减数列B．为递增数列
C．数列有最小项D．数列有最大项
12．数列单调递减，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
13．在数列中，，记，若数列为递增数列，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
14．已知等比数列的公比为，其前项和为，且，，成等差数列，若对任意的，均有恒成立，则的最小值为（ ）
A．2B．C．D．
二、多选题
15．记等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．是递减数列B．有最大项
C．是递增数列D．有最小项
16．设等差数列的公差为d，前n项和为，若，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是递增数列B．C．D．数列中最大项为第6项
17．已知数列的前项和为，数列的前项和为，若对一切都有恒成立，则整数的可能值为（ ）
A．-1B．0C．1D．2
18．已知等比数列的前n项和为满足，数列满足，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．设，，则的最小值为12.5
C．若对任意的恒成立，则
D．设，若数列的前n项和为，则
三、填空题
19．已知数列满足：，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是 .
20．等差数列中，为的前n项和，，若不等式，对任意的恒成立，则实数k的取值范围为 .
21．已知数列的前项的积为，且，则满足的最小正整数的值为 ．
22．已知数列的前项和为，对任意都有，若，则的值为 .
23．公比为的等比数列的前项和，若，记数列的前项和为，若恒成立.则的最小值为 .
24．已知数列的前n项和分别为，，若任取，不等式恒成立，则实数的取值范围为 .
参考答案：
1．B
【分析】求出数列通项公式，然后确定结合函数的单调性与取值范围确定结论．
【详解】由题意得，则，因为函数在上单调递减，在上单调递减，且当时，，当时，其图象如图所示，的图象为其上一系列孤立的点由对，恒成立，即为的最大项，结合图象得，所以．
故选：．
2．C
【分析】借助等差数列的性质结合所给条件可计算出，表示出后结合对勾函数的性质计算即可得.
【详解】因为，所以是以1为公差的等差数列，
又，所以，即，
则当时，，
又符合上式，故，
则，
令，由对勾函数性质可得：
在上单调递减，在上单调递增，
当时，，当时，，
故数列的最大项为．
故选：C.
3．B
【分析】设函数，利用导数判断单调性，从而得到数列的单调性，求出最小项得解.
【详解】设函数，则，
所以当时，，当时，，
即函数在上单调递减，在上单调递增.
因为，，所以a1>a2，，
又，，，
，解得.
故选：B.
4．A
【分析】先利用构造法求出数列的通项公式；再结合二次函数的单调性及列出不等式得出；最后根据充分条件和必要条件的定义即可判断.
【详解】因为，
所以，
又因为，
所以是首项为，公差为3的等差数列，
所以，
则.
若是递增数列，，
则，解得.
所以“”是“是递增数列”的充分不必要条件.
故选：A.
5．C
【分析】分离常数，得到当，时，，且随着的变大，变大，当，时，，且随着的变大，变大，从而得到答案.
【详解】，
当，时，，，且随着的变大，变大，
当，时，，，且随着的变大，变大，
故这个数列的前100项中的最大项与最小项分别是，.
故选：C
6．C
【分析】根据数列递推式，采用两式相减的方法推出，结合等比数列通项公式求出表达式，结合单调性，即可求得答案.
【详解】由题意知，故时，，
当时，，，则，
即，故，又，
所以an为首项是，公比为的等比数列，
故，
随n的增大而减小，且数列的奇数项均为负值，偶数项为正值，
故时，取最大值，最大值为，
故选：C
7．A
【分析】变形得到，故，结合为数列中的最小项，得到，得到不等式，求出答案.
【详解】各项都不为零，，
故为公差为1的等差数列，
则，
因为为数列中的最小项，所以，
所以a1<0，且，解得.
故选：A
8．A
【分析】由是单调递增数列，得，代入解析式得，根据恒成立条件即得
【详解】因为是单调递增数列，
所以对于任意的，都有，
即，
化简得，
所以对于任意的都成立，
因为，所以.
故选:A.
9．C
【分析】由数列为单调递增数列得，从而得，再令，求出的最大值，从而可求解.
【详解】由题意可得，由于数列an为单调递增数列，
即，，
整理得，
令，则，，
所以数列bn单调递减，故是数列bn的最大项，
则的取值范围为，故C正确.
故选：C．
10．D
【分析】由递推关系求出时，代入得到结果与直接代入得到结果作比较可得A错误；由递推关系得到奇数项和偶数项，可判断B错误；由递推关系得到当时，an的偶数项为，奇数项为，再用分组求和可得C错误；由递推关系得到时，an的偶数项为，奇数项为，可得D正确.
【详解】A：当时，；①
当时，，
作差可得，代入可得，与①可能矛盾，
故数列不一定是常数列，故A错误；
B：由可得且，
所以数列an不是单调数列，故B错误；
C：若，则由以上选项可知，
所以当时，an的偶数项为，奇数项为，
而，故C错误；
D：若，则，，故时，an的偶数项为，奇数项为，
则an的最小项的值为，故D正确；
故选：D.
【点睛】方法点睛：
（1）已知求时可仿写作差；
（2）求数列中较大的前某项和时，可根据数列的周期性用分组求和.
11．C
【分析】由已知，分析等比数列的公比范围，进而可以判断的单调性，判断A，B；由，分，进行讨论，判断C，D．
【详解】设等比数列的公比为，则，
由可得，又a2故等比数列首项，公比满足或，
当时，等比数列为正负项交替的摆动数列，故不单调；
当时，，等比数列单调递减，故A，B不正确；
又，且
所以当时，由于，
则，，
此时数列的最小项为，最大项为；
当时，有，
则数列为单调递增数列，有最小项，无最大项，故C正确，D不正确.
故选：C.
12．C
【分析】利用数列单调递减，可知，可化为，再判断数列
的单调性，即可求出的取值范围.
【详解】∵数列单调递减，∴，
∴，
则，
令，，令，可知在区间上单调递增，则数列为单调递增数列，
对所有的正整数都成立只需时，成立，
即，解得，
∴的取值范围是，
故选：C.
13．A
【分析】由递推关系可得，求得，不等式恒成立等价于恒成立，讨论的奇偶即可求出.
【详解】由，得，即，
而，则，即，，
由数列为递增数列，得任意的恒成立，
则，即恒成立，
当为奇数时，恒成立，数列单调递增，的最小值为1，则，
当为偶数时，恒成立，数列单调递减，的最大值为，则，
所以实数的取值范围为.
故选：A
【点睛】思路点睛：涉及数列不等式恒成立问题，可以变形不等式，分离参数，借助函数思想求解即可.
14．B
【分析】由已知可求得 ，为奇数时，， 根据单调性可得： ，为偶数时，，根据单调性可得： ，可得的最大值与最小值分别为2，， 考虑到函数 在上单调递增，即可得出结论．
【详解】等比数列的公比为，因为，，成等差数列，所以，解得，
所以，
当为奇数时，，易得单调递减，且，所以；
当为偶数时，，易得单调递增，且，所以．
所以的最大值与最小值分别为2，．
函数在上单调递增，所以．
．所以的最小值．
故选：B．
【点睛】思路点睛：由已知条件求得等比数列的前n项和，通过分类讨论并利用函数单调性求得的最大值和最小值，再由函数在上单调递增且，可求取值范围.
15．BCD
【分析】由已知条件可得首项和公比的范围，结合等比数列的通项公式和求和公式对选项分析即可.
【详解】设等比数列an的公比为,因为，
所以且，
对A选项，当时，an是递减数列，，an是摆动数列，故A错误；
对B选项，当时，an是递减数列，最大项为，
当，an是摆动数列，，
所以数列的奇数项为正，偶数项为负，最大项为第一项，故B正确；
对C选项，，且，则，所以，
因为单调递减，所以单调递增，
所以单调递增；故C选项正确；
对D选项，当时，an是递减数列，有最小项，没有最大项，
当，an是摆动数列，因为，所以数列奇数项为正，偶数项为负，且单调递减，
所以数列有最小项为最大项为，故D选项正确；
故选：BCD
16．BC
【分析】利用等差数列的前项和公式和等差数列的性质得到，，再利用等差数列的通项公式得到关于d的不等式组进行求解，即可判断AC；利用等差数列的前项和公式及等差数列的性质计算判定B；利用单调性判定D.
【详解】等差数列an的公差为d，前n项和为，，
对于A、C，显然，，
则，，又，则，解得
所以等差数列an是递减数列，A错误，C正确；
对于B，由，得，B正确；
对于D，由等差数列an是递减数列，得数列an中最大项为第1项，D错误.
故选：BC
17．CD
【分析】根据可求出数列的通项公式，即可得的通项公式，利用裂项法求得，根据恒成立，求出m的范围，即可求得答案.
【详解】由题意知数列的前项和为，
故当时，；
当时，，
也适合该式，故an=2n+1，
则，
故，
由于对一切都有恒成立，
故，结合选项知整数的可能值为1，2，
故选：CD
18．BCD
【分析】对于A：先求，结合等比数列性质分析求解；对于B：由，利用对勾函数的性质求解判断；对于C：由对恒成立求解判断；对于D：由，利用裂项相消法求解判断.
【详解】对于选项A：因为，
若，则；
若，则；
若an为等比数列，则，即，解得，
此时符合，则，
且，即an为等比数列，综上所述：，故A不正确；
对于选项B：因为，，
令，则，
因为对勾函数在内单调递增，在内单调递减，
当，时，；当，时，；
所以，故B正确；
对于选项C：由，
若，则；
若，则，则；
且符合上式，所以，
若对恒成立，即对恒成立，
令，则，
当时，；当时，，当时，，
则，则，故C正确；
对于选项D：，
则，故D正确.
故选：BCD
19．
【分析】利用等比数列通项公式求出数列的通项公式，再根据数列是单调递增数列，可得不等式，解不等式即可得到答案；
【详解】由题可得，
，又，
是首项为2，公比为2的等比数列，
，，
，又，
数列是单调递增数列，
，
且对恒成立，
.
故答案为：.
20．
【分析】利用等差数列的定义及求和公式先计算基本量得an,Sn，再分离参数，借助对勾函数的性质计算即可.
【详解】由题意可知，则的公差为，
所以，
则，即恒成立，
由对勾函数的性质知在上单调递减，在上单调递增，
而，即，
所以.
故答案为：
21．
【分析】利用，结合等差数列的定义与通项公式，可得，再根据等差数列的求和公式，利用结果求解即可．
【详解】当时，有，所以；
当时，由，得，即，
则有数列是等差数列，其中公差为，首项为，
可得，即，
所以，
若，则，即，
因为数列是单调递增数列，且当时，；当时，，
所以满足的最小正整数的值为．
故答案为：．
22．
【分析】利用an,Sn关系及等比数列定义求的通项公式，再由等比数列前n项公式及已知求k值.
【详解】当，则，即，
又，则，
所以是首项为，公比为的等比数列，则，
则，即，，可得.
故答案为：
23．2
【分析】先利用与之间的关系求得，再求数列bn的通项公式，进而求，从而利用裂项相消法求的前项和，从而可得的最小值.
【详解】由，当时，；
当时，，
检验：当时，满足，
于是.
所以，
故，
当时，，
所以，
又恒成立，所以，即的最小值为2.
故答案为：2.
【点睛】关键点睛：在本题中，使满足恒成立，要大于或等于数列的前项和的最大值，需要熟练应用与之间的关系和数列求和的裂项相消法.
24．
【分析】由推理得到，，再对n进行奇偶分类，分别解决恒成立问题即得实数λ的取值范围.
【详解】已知数列an的前n项和分别为，由题意，
①，②，
得，即，
因为，所以，
故an是首项为，公比为的等比数列，，
故；
当n为奇数时，恒成立，，
因为随着n的增大而减小，所以时取最大值，故；
当n为偶数时，恒成立，只需，
显然随着n的增大而增大，所以时取最小值，故，
所以．
故答案为：