专题07 数列的单调性与最值问题（考点专练）-2026年高考数学二轮复习培优讲义（含答案）

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高考中以选择题、填空题以单调性判断、分段数列参数范围、最值求解为主（分值 5-10 分），解答题中多作为第二问设问（结合递推数列、数列求和，分值 6-8 分），属于中档题核心模块：
基础知识必备：掌握数列单调性定义（递增：an+1>an；递减：an+11时，负项数列递减）。函数法转化：将an=f(n)视为函数，用导数或基本函数性质（如二次函数对称轴、对勾函数拐点）确定单调性，再验证n∈N∗的对应项。
易错避坑提效： = 1 \* GB3 ①作商法忽略符号：忘记判断an正负，直接用an+1an与 1 的大小下结论，导致单调性判断错误。 = 2 \* GB3 ②分段数列漏衔接：仅保证各分段内单调，忽略前一段末项与后一段首项的大小关系（如递增数列需满足a6an”。 = 6 \* GB3 ⑥递推数列求通项失误：未正确构造等差 / 等比数列，导致通项求解错误，进而影响单调性分析，建议先验证前 3 项的规律再推导通项。
题型一 单调性判断（作差 / 作商 / 函数法）
方法点拨：①作差比较法：当an+1−an>0时，an递增；当an+1−an0，则当an+1an>1时，an递增；当an+1anan，而非局部项满足。 = 2 \* GB3 ②双向验证逻辑关系：判断条件p（如a2>a1）能否推出单调性（充分性），单调性能否推出条件p（必要性）。 = 3 \* GB3 ③举反例排除：若存在数列满足条件p但不单调，或单调但不满足p，即可判断充分 / 必要关系。
【典例01】（2025·四川自贡·三模）命题：数列为等比数列，命题：数列满足，，，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由等比数列的性质及充分条件和必要条件的定义判断即可.
【详解】充分性：由，且，
设，，，，后续项由依次计算得到：
，，，，
此时数列为1，2，3，4，8，12，16，32，…，显然不是等比数列，所以充分性不成立；
必要性：由为等比数列，显然可得，
且，故必要性成立.
所以是的必要不充分条件.
故选：B.
【典例02】（2025·江苏·三模）在正项数列中，设甲：，乙：是等比数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】A
【分析】根据等比数列的定义和通项公式，结合充分条件、必要条件的定义即可判断.
【详解】令，则，
令，则，
以此类推，得，
则数列是以为首项，为公比的等比数列.
若数列是等比数列，设其公比为，则，
所以，，
得，
当时，；
当时，不成立.
所以甲是乙的充分不必要条件.
故选：A
【变式01】（2025·湖南长沙·三模）数列是公比不为1的等比数列，前项积为，则“，”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由等比数列的性质，结合充分条件与必要条件的意义判断即可.
【详解】充分性：因为，，所以，所以，
又由数列是公比不为1的等比数列，所以，
可得同号，同号，所以，所以，
所以“，”是“”的充分条件；
必要性：若数列每项均为正数时，若且时，则对恒成立，
无法得到对恒成立，必要性不成立，
故“，”是“”的充分不必要条件.
故选：B.
【变式02】（2025·江苏南京·一模）在数列中，“对于任意的正整数，都有”是“数列为等比数列”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据等比数列的性质及充分条件、必要条件的定义进行判断即可.
【详解】当有成立时，数列不一定为等比数列，例如，即充分性不成立；
当数列为等比数列时，一定成立，即必要性成立.
故选：A.
【变式03】（25-26高三上·福建厦门·期中）已知数列满足，则“数列是递增数列”的充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先将通项变形，通过作差法分析单调性，再结合充分不必要条件的定义得出结果.
【详解】将变形为.
.
若数列递增，则，即.
因，故，即（此为充要条件），
所以A选项符合，BCD选项不符合.
故选：A
（限时训练：15分钟）根据内容设置10~30分钟的题量即可
1． （25-26高三上·江苏苏州·期中）已知数列的通项公式为，则数列的最小项是（ ）
A．第1项B．第6项C．第7项D．第13项
【答案】B
【分析】由题设，结合分式型函数的性质分析数列的单调性及的区间上下界，即可得.
【详解】由，，
当时，，即，
当时，，即，
数列在上都单调递减，
所以最小项为，即第6项.
故选：B
2．（25-26高三上·湖南长沙·开学考试）数列的通项为，且为单调递增数列，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据数列的单调性建立不等式，结合一次函数的单调性，可得答案.
【详解】由数列是递增的，则对恒成立，
即，
整理可得，对恒成立，
因函数在时单调递增，则得.
故选：B
3.（2025·贵州黔南·三模）数列满足，若数列单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】依题意可得，解得即可.
【详解】因为单调递增，所以，解得，
即实数的取值范围为.
故选：D
4．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）设函数，数列满足，且数列是递增数列，则a的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由数列递增得到分段函数在两个区间上分别递增，得到对应的范围，然后由，求的范围，从而得到结果.
【详解】∵数列是递增数列，
∴当时，单调递增，即，则，
当时，单调递增，则，
又，即，则，则，
∴.故选：B.
4．（2025·天津·二模）已知是一个无穷数列，“”是“为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据递增数列的概念及充分、必要条件的定义判断即可.
【详解】递增数列是指一个数列从第二项起，每一项都大于它的前一项，即.
若是摆动数列，可能有，但是不是递增数列，则仅不能推出为递增数列，但为递增数列可以推出.
所以“”是“为递增数列”的必要不充分条件.
故选：B.
5. （2025·北京顺义·一模）设为等比数列，则“存在，使得”是“为递减数列”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据题意，举出反例即可得到充分性不满足，再由数列单调性的定义，即可验证必要性满足，从而得到结果.
【详解】假设等比数列的公比，首项，则数列的项依次为，
当时，满足，但是不是递减数列，
故充分性不满足；
若为递减数列，则对于任意的，必然有，
故必要性满足；
所以“存在，使得”是“为递减数列”的必要而不充分条件.
故选：B
6. （2025·山东济南·一模）若数列各项均为正数，则“为等比数列”是“为等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义，结合等差数列、等比数列的定义判断.
【详解】数列中，，
数列为等比数列，令其公比为，则，，
为常数，因此数列为等差数列；
反之，为等差数列，令其公差为，则，即为常数，
因此数列为等比数列，
所以“为等比数列”是“为等差数列”的充要条件.
故选：C
7. （24-25高三上·河北·月考）已知数列的通项公式为，若对于任意正整数n，都有≤成立，则m的值为（ ）
A．15B．16C．17D．18
【答案】C
【分析】利用给定的通项公式，结合单调性求出最大项即可得解.
【详解】数列的通项公式为，则
，
由，，解得，而,
因此当时，，即，当时，，
即，
所以数列的最大项为，即对于任意正整数n，都有≤成立，依题意，.
故选：C
8. （2025·四川成都·二模）(多选)已知数列的通项公式，前项和为，则（ ）
A．数列为等差数列
B．，使得
C．当时，取得最小值
D．数列的最大项的值为
【答案】ABD
【分析】利用给定的通项公式，结合等差数列定义、数列单调性、二次函数性质逐项求解判断.
【详解】对于A，由，得 ，
，数列为等差数列，A正确；
对于B，，，显然，B正确；
对于C，，当时，数列单调递减，，
，
当时，数列单调递减，，，C错误；
对于D，，
因，当时，取最小值，
当或时，，且当或时，取最小值3，
所以数列的最大项的值为，D正确.
故选：ABD.
9. （2025·北京房山·一模）已知数列的各项均为正数，且满足（是常数，），则下列四个结论中正确的是（ ）
A．若，则数列是等比数列
B．若，则数列是递增数列
C．若数列是常数列，则
D．若数列是周期数列，则最小正周期可能为2
【答案】C
【分析】当时，得到，当时，得到，数列不能构成等比数列，可判定A错误；当时，求得，可判定B错误；若数列为常数列，得到，结合二次函数的性质，求得，可判定C正确；假设列是周期数列，且最小正周期为，得到且，结合，得到，化简求得，这与矛盾，可判定D错误.
【详解】对于A中，若，可得，即，
当且时，两边取对数，可得，即，
此时数列表示首项为，公比为的等比数列；
当时，可得，此时，数列不能构成等比数列，故A错误；
对于B中，当时，可得，即，
例如：当时，由，可得，
又由，可得，此时，
所以，当，数列是不一定是递增数列，所以B错误；
对于C中，若数列为常数列，则，
因为，即，
又因为，所以，
所以的取值范围为，所以C正确；
对于D中，假设数列是周期数列，且最小正周期为，即且，
因为，可得，所以，
则，即，
又因为数列的各项均为正数，即，
所以，即，这与矛盾，
所以数列的最小正周期不可能是，所以D错误.
故选：C.
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核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧）
聚焦题型精准解密（5大题型精讲+变式拔高训练）
题型一 单调性判断（作差 / 作商 / 函数法）（）
题型二 分段数列的单调性（含参数范围）（）
题型三 由递推关系判断数列单调性（）
题型四 单调性与最值综合（求数列最大 / 小项）（）
题型五 单调性与充分必要条件结合（）
实战演练高效提分（高考仿真模拟+限时训练提升）