专题21 数列的单调性和最值讲义-2025届高三数学二轮复习 含答案

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数列是特殊函数，研究其性质一般都离不开函数与方程思想的应用.其中数列的单调性和最值在解决数列许多问题上有着重要的作用，也能更好的体现数列的函数本质，本节专门针对数列单调性的判断方法和最值的求解给出了系统指导.

题型一：数列的单调性
判断数列的单调性，常用的方法有作差比较法、作商比较法和函数图象法：
（1）作差比较法：当an+1−an>0时，an递增；当an+1−an0，则当an+1an>1时，an递增；当an+1anbn，进一步求出参数的范围．
练1已知数列an中，a1=1，其前n项和为Sn，且满足2Sn=n+1ann∈N∗.
（1）求数列an的通项公式；
（2）记bn=3n−λan2，若数列bn为递增数列，求实数λ的取值范围.
题型二：数列的最值

1.求最大项可通过列不等式组求.
数列最值：若an≥an+1an≥an−1n≥2则an最大；若an≤an+1an≤an−1n≥2则an最小.
2．数列前n项和的最大最小值问题，通常有函数图象法和邻项变号法：
（1）函数图象法：求出数列an的前n项和Sn=fn，利用函数y=fx的图象性质来研究Sn的最大最小值问题.
（2）邻项变号法：
若当n≤m时，an≥0，当n≥m+1时，an≤0，则数列Sn中，Sm最大；
若当n≤m时，an≤0，当n≥m+1时，an≥0，则数列Sn中，Sm最小.
例2设等比数列满足an满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2⋯an的最大值为______.
【思路点拨】
先由条件求出数列an的通项，a1a2⋯an最大项有三种思路：
1）利用n+1项与n项的做商同1比较，确定最大项；
2）算出a1a2⋯an的通项式，由二次函数的性质求最大项；
3）抓住a1a2⋯an中的an与1的关系，由邻项变号法来判断最大项.
练2已知数列an和bn满足a1a2⋯an=2bnn∈N∗．若an为等比数列，
且a1=2，b3=6+b2.
（1）求an与bn；
（2）设cn=1an−1bnn∈N∗，记数列cn的前n项和为Sn.
（i）求Sn；
（ii）求正整数k，使得对任意n∈N∗，均有Sk≥Sn.
练3已知数列an的前n项和为Sn，且a2an=S2+Sn对一切正整数n都成立.
（1）求a1，a2的值；
（2）设a1>0，数列lg10a1an的前n项和为Tn，当n为何值时，Tn最大?并求出最大值.

1.已知数列{an}满足an=(3−a)n−2,n≤6an−5,n>6，且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是（ ）
A．167,3B．167,3C．(1,3)D．(2,3)
2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn−n2=n(2a1+a2−3)．
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设cn=a2n−1133n，求数列{cn}的最大项．
3．已知数列an满足：a1+a2+a3+⋯+an=n−ann=1,2,⋯．
（1）求a1，a2的值；
（2）求数列an的通项公式；
（3）令bn=2−nan−1n=1,2,3,⋯，如果对任意n∈N∗，都有bn+14t≤t2，求实数t的取值范围．
4．已知数列an各项都不为0，a1=1,a2=3且满足anan+1=4Sn−1，
(1)求{an}的通项公式；
(2)若bn=an−1an−14，{bn}的前n项和为Tn，求Tn取得最小值时的n的值．
5．已知数列an的前n项和为Sn，a1=0，Sn=an+1−n，n∈N∗.
（1）求证：数列an+1是等比数列；
（2）设数列bn的前n项和为Tn，已知bn=nan+1，若不等式Tn≥m−92+2an对于n∈N∗恒成立，求实数m的最大值.
6．已知数列{an}中，a1=1，an+1=anan+3．
(1)求证：{1an+12}是等比数列，并求{an}的通项公式；
(2)若不等式2n+1an⋅λ≥(2n−7)(3n−1)对于n∈N∗恒成立，求实数λ的最小值．
7.已知Sn为等比数列an的前n项和，若a3=2，且4a1、3S2、2S3是等差数列bn的前三项.
（1）求数列an的前n项和Sn；
（2）求数列bn的通项公式，并求使得an>bn的n的取值范围.