数列的单调性及其应用、数列的周期性及其应用专项训练-2026届高考数学二轮复习

这是一份数列的单调性及其应用、数列的周期性及其应用专项训练-2026届高考数学二轮复习，共14页。
(1)当时，判断数列是否为等差数列，并说明理由；
(2)求证：“”是“数列单调递增”的充分不必要条件．
【答案】(1)不是，理由见详解；
(2)证明见详解.
【详解】（1）假设数列为等差数列，设它的公差为，
由可得，
即，
因为当时，恒成立，
所以在时恒成立，
即，解得，
所以，当时，数列不是等差数列.
（2）当时，，
因为，，故，即，
因此数列单调递增，故充分性成立，
取，则，
因为，故，此时数列单调递增，
但不满足，故必要性不成立，
故“”是“数列单调递增”的充分不必要条件．
例2．（25-26高二上·上海·期末）等比数列的首项为1，公比为2，等差数列的首项为1，公差为2，设的前项和为.
(1)求；
(2)求并判断的单调性，并证明无解.
【答案】(1)
(2)，单调递增数列，证明见解析.
【详解】（1）解：因为等比数列的首项为1，公比为2，
所以等比数列的通项公式为：，
因为等差数列的首项为1，公差为2，
所以等差数列的通项公式为：，
所以
（2）解：由（1），
所以
所以，
因为对任意正整数，，
所以，即，，
所以为严格递增数列，
因为，，
所以，由数列严格递增可知，不存在正整数使得，
所以无解.
例3．（25-26高三下·新疆喀什·期末）已知数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，且，．
(1)求的通项公式；
(2)记的前项和为，求满足的最大整数．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设的公比为，则，
因为，所以，则，
则，即，
整理得，解得或（舍去），则，
所以．
（2）由（1）可知，
故
，
因为函数在上单调递增，函数在上单调递增，
则函数在上单调递增，
故随着的增大而增大，
又，
，
所以满足的最大整数．
例4．（25-26高二上·安徽合肥·期末）若各项均为正数的数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若正项等比数列，满足，求；
(3)对于中的，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2)；
(3)
【详解】（1）由，可得，且，
又，所以，
即，
因为，所以，所以，
所以是公差为的等差数列.
又，得，所以.
（2）设的公比为，因为，所以，
即，解得舍或，
因为，所以，，
所以，
，
两式相减得:.
所以；
（3）由（2）得不等式，可变为
当为奇数时，，
记，所以， ，
令，得，所以.
所以时，，即，即，
时，，即，即且取奇数时，单调递增，
此时，即；
当为偶数时，，所以，
时，，即，
时，，即，且取偶数时，单调递增.
此时，所以，即.
综上所述，实数的取值范围为.
变式1．（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知数列，，，当时，总存在正整数，使，则
(1)若，求证：为常数列；
(2)求证：是单调递增数列；
(3)试求当时，第项的最大值与最小值（用表示）．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)最大值为，最小值为
【详解】（1）时，，则，
又，故数列为常数列，且；
（2）由，，故；
假设对任意的，有；
当时，，，
由，，则，
故，即；
故对任意，都有，即是单调递增数列；
（3）由（2）知，是单调递增数列，故，
故要使第项最大，则只需使，即，
此时，又，
故数列从第二项开始，以为公比，
又，故，故，
故第项的最大值为；
由是单调递增数列，故，
要使第项最小，则只需使，即，
此时，又，
则数列是以为公比，为首项的等比数列，
即，则，，，
则，
故第项的最小值为.
变式2．（25-26高二上·浙江丽水·期末）已知等比数列的公比为，，.数列满足，数列的前项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的通项公式；
(3)记，是否存在，对于都有成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)存在或
【详解】（1）由题意得，解得或（舍），所以.
（2）当时，
当时=.
所以，
所以.
令
则
则.
则，即，
又因为，所以.
所以数列的通项公式为.
（3），
，
当时，；当时，；当时，.
所以存在或对于都有成立．
变式3．（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若是递减数列，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以，
所以，，，，
将上述个式子相加，得：，
设，
则，
所以，
所以，
所以，
又，所以，
当时，，上式也成立，
所以；
（2）因为是递减数列，所以，
即，
由（1）可知，，所以，
设，则，
，
当时，，即；
当时，，即；
所以是数列的最大项，即，
所以，实数的取值范围是.
变式4．（25-26高二上·上海奉贤·期末）已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，若，求正整数的最小值；
(3)记，其中且.若是严格增数列，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)17
(3)
【详解】（1）∵，∴当时，，
又满足上式，所以.
（2）∵，
∴，
∴，解得，∴，
即正整数的最小值为17.
（3）因为是严格增数列，所以对任意正整数，有恒成立，
即恒成立，
其中且，所以，
化简得到恒成立，
在，时严格减，
所以，当时，取到最大值为3，
所以.
考点二 数列的周期性及其应用
例1．（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）已知数列首项不为0，，则：
(1)若且，则数列前10项和为多少？
(2)是否存在实数，使得成立？
【答案】(1)5；
(2)存在，.
【详解】（1）当时，，，显然，两边取倒数得，
即，则，
所以.
（2）由，得，
则，
同理，若恒成立，而，
则存在，使得恒成立，因此，解得，
所以存在实数，使得成立.
例2．（2026·安徽马鞍山·一模）若数列满足（为常数），则称数列为等比和数列，为公比和，已知数列是以5为公比和的等比和数列，且，记．
(1)求证：数列是周期数列，并指出其周期；
(2)求的值．
【答案】(1)证明见解析，周期为2
(2)6
【详解】（1）由及可得，
由此可得递推关系，所以，
可得，即数列是周期数列，周期为2．
（2），，
由（1）知， 周期为 2，所以，
所以．
例3．（2026·湖北·模拟预测）已知无穷数列满足：，为正整数，且，.
(1)若，，求；
(2)证明：“存在，使得”是“是周期为3的数列”的必要不充分条件；
(3)若，是否存在数列，使得恒成立？若存在，求出一组，的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)或3或5
(2)证明见解析
(3)不存在，理由见解析
【详解】（1）因为对任意成立；
令得，所以，则或3，
若，由，则，则或3，
若，由，则，则或5，
因为，综上所述：或3或5.
（2）记，，
必要性：若是周期为3的周期数列，或，
当时，数列前5项为：，，，，，
由得，该式当且仅当或时成立，
与，为正整数矛盾；
当时，数列前5项为：，，，，，
由得，则或（舍，此时），
，，此时数列：，，0，，，0，，，0，…存在，使得，
另一方面：取数列：1，1，0，1，1，2，3，5，…其中当时，，
此时数列不是周期数列，
综上，“存在，使得”是“是周期为3的周期数列”的必要不充分条件.
（3）不存在，理由如下：
等价于（*）或（**），
首先说明不存在，使得，否则由得记为，
所以，，，
依此类推得前项为…，，0，，，0，，，0（第项），
则，要么相等，要么有一项为0，矛盾，因此对任意成立，
其次，不存在，使得以及同时成立，否则两式相加得，矛盾.
（ⅰ）若（*）式只对有限个正整数才成立，不妨设当且仅当时（*）式成立，其中，
则当时，（**）式恒成立，此时恒成立，
由此易知当，因此数列是无界数列，
（ⅱ）若存在无限个正整数使得（*）式成立，不妨设当且仅当时（*）式成立，
其中，考虑与，为方便书写记为，，，
则，
若，则，
若，则，…，，，
则，
此时，
无论哪种情况总有成立，即恒成立，
记，则恒成立，由此易得数列是无界数列，
所以，存在使得，故不存在符合题意的，.
变式1．（24-25高三下·河北沧州·月考）设是整数数列，m是某个取定的正整数，若是除以m的余数，则称数列是关于m的模数列，记作．斐波那契数列是常见的整数数列，满足．
(1)写出数列的第3项、第4项和第5项；
(2)斐波那契数列有许多非常好用的性质，比如：，请利用这个性质解决以下问题：
（i）证明数列是周期为8的周期数列；
（ii）求的个位数字．
参考数据：．
【答案】(1)．
(2)（i）证明见解析；（ii）4
【详解】（1）由递推关系得，
所以．
（2）（i）由题中给的性质，可得，
因为，
所以，
所以，
所以数列是周期为8的周期数列．
（ii）因为要计算个位数字，所以考虑数列的周期，
由参考数据，猜想数列的周期为60，证明如下：
因为，又由参考数据易得，
所以，
所以数列是周期为60的周期数列．
因为，
所以，
所以
，
又因为该数列的个位数字是以60为周期，所以，
，
所以，
所以的个位数字为4．
变式2．（24-25高三下·浙江宁波·月考）对于数列，若存在正整数，使得从数列的第项起，恒有成立，则称数列为第项起的周期为的周期数列．
(1)已知数列满足，且，证明：3是的一个周期．
(2)已知数列（其中，不全为0），，证明：存在正整数，使得时，成立，并求出满足条件的一个周期．
(3)已知数列，求证：不是周期数列．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析，；
(3)证明见解析.
【详解】（1）由于，①
，②
由②①得，，
即，
又，则，故3是的一个周期．
（2）由递推和，，
得，，，．
（i）若，则，，，，．
（ii）若，则，，，，．
无论何种情况，都有，．
由递推关系得，会逐渐进入循环，对的自然数，恒有．
故是的一个周期．
（3）假设是周期数列，则至少存在，，不妨设，使得．
由递推关系得，
整理得．
再进一步得到，如此进行下去，最后得到．
设，则，得，但这不可能．
接下来证明：，．
设，，
则；
；
以此类推，得到，．
于是有，（）
若存在，不妨设，其中s，t都是非负整数，
则式（）经过s步倒推后，得到，则，得．
由于，得，
但经过递推后得到都是有理数，两者矛盾．
故，，假设不成立，故不是周期数列.
变式3．（25-26高三上·浙江·月考）已知数列满足，其中，．
(1)若，证明：对任意的正整数，都有成立．
(2)若，
（ⅰ）试探究是否存在满足条件的，使得，若存在则求出一组的值，若不存在，请说明理由；
（ⅱ）取为的小数部分，其中，，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)（ⅰ）不存在，理由见解析；（ⅱ）
【详解】（1）解：因为且，可得，
两式相减，可得，即
又因为，所以，则，
所以数列是以为首项，公比为的等比数列，
所以，故，
又由
，
所以，即对任意的正整数，都有成立.
（2）解：当时，，可得．
（ⅰ）由，，，
代入可得，
，所以，所以不存在满足条件的；
（ⅱ）由（i）可得，
当时，，，所以的情况与相同；
当时，设，则，，
，故的小数部分与的小数部分相等，
所以与的小数部分相等．
又由，故，所以是周期数列且周期为，
，
不妨设，则，，，则，
因此，
当时，而，故，
所以数列是周期数列，周期为，
不妨设，则，，，
因此，．同上可得，
综上所述，无论与如何选取，都有．考点目录
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