概率最值问题、概率与数列综合问题专项训练-2026届高考数学二轮复习

这是一份概率最值问题、概率与数列综合问题专项训练-2026届高考数学二轮复习，共14页。
例1．（25-26高三上·广西·期末）为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动．活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得10元基础券的概率为0.6，获得20元基础券的概率为0.4）．闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券20元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付商品．已知消费者闯过第一关的概率为p₀，闯过第二关的概率为p．某生产商将商品定价100元，成本41元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的30%，进阶券面额的50%．
(1)若，，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；
(2)设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为，记生产商销售一件该商品的期望利润为（单位：元）．（期望利润=购买概率×（支付金额的期望-商品成本）-优惠券成本的期望）
（ⅰ）求关于p的函数表达式；
（ⅱ）证明：在内存在唯一极大值点，并求当p为何值时，商家期望利润最大？最大期望利润是多少？（结果保留1位小数）
例2．（25-26高三上·广东·月考）一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端.某种植户对一块地的个坑进行播种，每个坑播2粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立.对每一个坑而言，如果全部的种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种.
(1)当时，用表示要补播种的坑的个数，求的分布列与数学期望.
(2)当取何值时，有4个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？
例3．（25-26高二上·江西宜春·期末）某知识竞赛题库中的题目按照难度不同分为，，三类，学生甲回答这三类题目中每个题的正确率分别为，，.
(1)若现有，，这三类中的题目各一题，学生甲每回答正确一题得5分，回答错误得-2分.设学生甲回答三题后的总得分为，求的分布列及数学期望；
(2)若题库中，，三类题目题量之比为4∶3∶3.
（ⅰ）学生甲在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率；
（ⅱ）现随机抽取题库中的100道题，记学生甲答对的题目数为，求使事件“”的概率最大时的取值.
例4．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）1934年-1936年红军完成伟大长征，该壮举实现了中国革命事业从挫折到胜利的伟大转折，是中华民族复兴进程中的丰碑.2026年恰逢红军长征胜利90周年，为传承长征精神，某校计划开展以“传承长征精神，续写时代华章”为主题的观影活动.同学们通过参加三个不同的游戏可以获得观影票，每个游戏需各玩一次且结果互不影响，每位同学可以自主安排参加这三个游戏的先后顺序，连胜两个游戏可以获得一张观影票，连胜三个游戏可以获得两张观影票，否则无法获得观影票.已知一个盒子中有5个大小质地完全相同的小球（编号为“”），这三个游戏的规则如下：
游戏一：从盒子中随机摸出一个小球，若这个小球的编号为“4”或“5”，则获胜；
游戏二：从盒子中有放回地依次随机摸出两个小球，若这两个小球的编号均不小于“4”，则获胜；
游戏三：从盒子中不放回地依次随机摸出两个小球，若这两个小球的编号之和为，则获胜.
(1)分别求出同学参加游戏一，游戏二获胜的概率；
(2)当时，同学如何安排游戏顺序，获得观影票的概率最大?
(3)根据的不同取值，同学如何安排游戏顺序，获得观影票的概率最大？
变式1．（2026·河北·一模）人工智能是当前全球科技竞争的焦点，而高性能智能芯片是AI发展的核心基石.为加速突破关键核心技术，某人工智能创新中心举办了一场智能芯片设计攻关赛，比赛按逻辑设计、物理实现、流片与测试三个环节依次进行，参赛者只有通过当前环节，才能进入下一环节.已知老张、小李、小军三位工程师通过逻辑设计环节的概率分别为 ，通过物理实现环节的概率分别为 已知三人之间以及每人的不同环节之间互不影响.
(1)当a为何值时，老张通过逻辑设计环节和物理实现环节的概率最大?
(2)当 时，设老张、小李、小军三位工程师中能进入流片与测试环节的人数为ξ，求ξ的分布列与数学期望.
变式2．（25-26高三上·山西长治·期中）某超市为吸引顾客，组织购物抽奖活动，抽奖机中有种不同面值的代金券可抽，抽得的代金券可在本超市消费，抽奖规则如下：
顾客先在抽奖机上随机抽取一个数（）．
（Ⅰ）当时，随机抽得一张代金券；
（Ⅱ）当时，随机抽取张面值不同的代金券，但这些代金券都不能用于消费．仅供参考，随后从剩下的（）张代金券中逐个随机抽取，一旦出现比这张代金券的面值都高的，即抽得该张代金券；若后面没有比这种的面值都高的，则抽得最后一张代金券．
某位顾客购物后参加抽奖活动．
(1)当，且三张代金券的面值分别为元，元，元时.
①若其抽取的数，求其抽得代金券的面值的均值和方差；
②求其抽得元代金券的概率.
(2)当，顾客抽取（）为何值时，抽得最高面值的代金券的概率最大？
变式3．（25-26高三上·江西抚州·期末）某学校组织“学党史、强信念、跟党走”为主题的知识竞赛，每位参加比赛的同学均可参加多轮答题活动，每轮答题结果互不影响.每轮比赛共有两组题，每组都随机抽取两道题作答，先进行组答题，只有组的两道题均答对，方可进行组答题，否则本轮答题结束.已知甲同学组每道题答对的概率均为，组每道题答对的概率均为，两组题至少答对3道题才可获得一张奖券.
(1)设甲同学在一轮比赛中答对的题目数量为，求的分布列与数学期望；
(2)若甲同学进行了10轮答题，试问甲同学获得多少张奖券的概率最大？并说明理由.
变式4．（24-25高二下·安徽六安·期末）甲、乙两个不透明的口袋内装有除颜色外大小质地完全相同的若干个小球，已知甲口袋有个红球和4个白球，乙口袋有个红球和2个白球．现在小明从甲口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球，然后再从乙口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球．
(1)当时．
（i）求小明4次摸球中，至少摸出1个红球的概率;
（ii）设小明4次摸球中，摸出红球的个数为X，求X的分布列和数学期望；
(2)当时，设小明4次摸球中，恰有3次摸出红球的概率为P，则当m为何值时，P最大？
考点二 概率与数列综合问题
例1．（2026·福建福州·模拟预测）在全球化的现代社会中，物流网络已成为支撑经济发展、促进区域协同的关键基础设施.物流能否准时送达，将影响到消费者的购物体验，而物流提前送达往往能够超越客户预期，显著提升满意度.某物流公司每天需要从干线枢纽发送包裹至目的地城市.从干线枢纽到目的地城市，有三种方案供选择：
方案A：选择高速支线，物流提前送达的概率为；
方案B：选择高速干线，物流提前送达的概率为；
方案C：选择国道线路，物流提前送达的概率为.
(1)物流公司每次随机选择一种方案，求物流提前送达的概率；
(2)物流公司研发了一套智能自适应调度系统，这套系统的核心算法如下：
①第1次，随机选择一种方案；
②从第2次起，若前一次物流提前送达，则沿用此方案；若前一次未提前送达，则在三种方案中随机选择一种.
记第n次选择方案A，B，C的概率分别为，，.
（i）求，，并证明：数列为等比数列；
（ii）判断智能自适应调度系统能否提高物流提前送达的概率.
例2．（2026·江西·模拟预测）小明玩一个掷骰子游戏：每次同时掷三枚均匀的六面骰子（点数从1到6），记录点数和.每枚骰子朝上的点数互不影响，游戏规则如下：
•若连续两次点数和大于等于12，则游戏立即结束.
•若某次点数和小于12，则之前的“点数和大于等于12”的次数清零，并从下一次重新开始计数.
以当前连续点数和大于等于12的次数作为状态，记状态0为上一次点数和小于12或刚开始，状态1为上一次点数和大于等于12，状态2为游戏结束.
(1)求一次掷三枚骰子，点数和大于等于12的概率p.
(2)设从状态0开始，记第n次掷骰子后游戏首次结束（即首次到达状态2）的概率为.
①求，；
②证明：数列满足递推关系（，）；
(3)以掷骰子的次数为步数，构成一个马尔可夫链.
设从状态0、状态1出发到游戏结束所需步数的期望分别为、．
考虑当前状态与下一步可能转移的状态，建立关于、的方程组（例如：在状态0时，掷一次骰子后可能仍处于状态0或进入状态1，步数期望如何表达？）；以此为依据解答下列问题：
设随机变量X表示从开始到游戏结束时所需的掷骰子次数（即首次到达状态2的步数），求X的数学期望．
例3．（25-26高三上·四川成都·期末）错排问题源于伯努利和欧拉研究的“装错信封问题”.设将编号为的个小球放入编号为的个盒子中（每盒恰放一球），若恰有个小球不在其对应编号的盒子中（即“错放”），则称这种情况数为错排数，其中编号为的小球对应编号为的盒子.，规定.
(1)直接写出的值；
(2)设，证明数列是等比数列；
(3)在高考英语中，“七选五”是一种常见题型.题目给出一篇缺少5个句子的短文，要求考生从文后的7个选项中选出5个最佳选项，填入文中空缺处，使文章完整､语义连贯.某考生由于平时不重视英语学习，于是在做此类题时采用“蒙题”的策略：5个空完全随机作答（选项不重复）.记蒙题答对的题数为随机变量，求的分布列和数学期望.
变式1．（2026·河北·模拟预测）篮球是以手为中心的身体对抗性体育运动，篮球控球能力对球员的场上表现有直接影响．某教练指导三名学员B，C，D进行篮球控球训练，训练开始时篮球在教练手里，由教练进行控球示范，1分钟后等可能地传给学员B，C，D其中一人，学员控球训练1分钟后，将球传出，传给教练的概率为，传给另外两名学员的概率均为，篮球在四人之间传递．
(1)若四人进行了3次传球，求教练控球2次的概率．
(2)设分别表示第次传球后由A，B控球的概率．
（i）求的表达式及其最大值；
（ii）若数列的前项和为，求．
变式2．（24-25高二下·山东淄博·期末）生活中运动对人体健康非常重要，为了了解不同年龄人群篮球运动的情况，随机调查了400人，得到如下数据：
(1)依据小概率值的独立性检验，能否认为篮球运动的情况与年龄有关？
(2)某校组织“篮球”比赛，分成了、、三组进行挑战赛，其规则如下：挑战权在任何一组，该组都可向另外两组发起挑战，且被挑战方拥有下一次的挑战权，若挑战权在组，挑战、组的概率为，，若挑战权在组，则挑战、组的概率为，，若挑战权在组，则挑战、组的概率为，.已知首先由组发起挑战，按此规则进行了多次挑战.
①前3次挑战后，求组拥有挑战权的次数的分布列与数学期望；
②经过次挑战后，挑战权在组的概率为，求；
③数列收敛的定义：已知数列，若对于任意给定的正数，总存在正整数，使得当时，，（是一个确定的实数），则称数列收敛于.根据数列的定义证明②中收敛.
附：.
变式3．（24-25高二下·陕西商洛·期末）如图，已知在正四棱锥的某个顶点处有一个质点Q，质点Q随机地沿一条棱或底面对角线向相邻的某个顶点移动，且向每个相邻顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱或底面对角线移动到相邻顶点称为一次移动．假设质点Q的初始位置在点A处，设质点Q移动n次后还在底面上的概率为．
(1)求的值．
(2)已知数列满足．
（i）证明：数列为等比数列．
（ii）求数列的前n项和．考点目录
概率最值问题
概率与数列综合问题
年龄
篮球运动情况
合计
经常运动
不经常运动
40及以上
130
70
200
40以下
100
100
200
合计
230
170
400
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828