抛物线中的定点、定值、定直线问题专项训练——2026届高考数学二轮复习

这是一份抛物线中的定点、定值、定直线问题专项训练——2026届高考数学二轮复习，共14页。
例1．（25-26高二上·山东东营·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点的横坐标为1，且是抛物线上异于坐标原点的两点．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)若直线、的斜率之积为－4，求证：直线恒过定点，并求出该定点坐标．
例2．（25-26高二上·安徽六安·期末）已知抛物线 的焦点为为坐标原点，抛物线上存在点到和的距离都等于．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点的直线交抛物线于两点，直线与抛物线相交于另一点，直线与抛物线相交于另一点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：直线经过定点．
例3．（25-26高二上·青海海东·期末）已知抛物线的焦点为，的准线与轴交于点，.
(1)求的方程.
(2)已知为坐标原点，直线交于，两点.
（ⅰ）证明：.
（ⅱ）若，证明：过定点.
变式1．（25-26高二上·山东淄博·期末）已知点为坐标原点，直线经过抛物线的焦点.
(1)求的方程；
(2)若直线与交于两点，且，证明：直线过定点.
变式2．（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知抛物线的焦点为F，抛物线上的点P的横坐标为2，且．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过点F的直线l交抛物线于A，B两点，设点，设直线EA，EB分别与抛物线交于另一点C，D，求证：
直线CD过定点，并求出定点坐标．
变式3．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）已知抛物线的焦点为F，直线与W相切．
(1)求W的方程．
(2)过点F且与平行的直线与W相交于M、N两点，求．
(3)已知点，不垂直于x轴的直线l与抛物线W交于A、B两点，若直线AQ、BQ关于x轴对称，求证：直线l过定点并写出定点坐标．
考点二 抛物线中的定值问题
例1．（25-26高二上·广东茂名·期末）已知抛物线C：的焦点，点O为坐标原点，过点作直线，分别交抛物线C于A，B两点和C，D两点，直线与直线交于点E.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若的角平分线所在的直线方程为，求直线的方程；
(3)抛物线C在第一象限的图象上是否存在定点M，使得的面积为定值，若存在，求出该定值；若不存在，说明理由.
例2．（2026·四川遂宁·一模）已知双曲线分别是的左、右焦点．在直线上，且到其中一条渐近线的距离为.抛物线：上的一个动点到的距离与点到的准线的距离之和的最小值为.
(1)求的方程和的方程；
(2)若过的直线与的左、右两支分别交于两点，与交于两点.问是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
例3．（25-26高二上·广西钦州·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)给出如下的定义：若直线与抛物线有且仅有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称直线为抛物线上点的切线，公共点称为切点．请你运用上述定义解决以下问题：
（i）证明：抛物线上点处的切线方程为；
（ii）若过点可作抛物线的2条切线，切点分别为.证明：直线的斜率之积为常数．
变式1．（25-26高二上·贵州贵阳·月考）已知抛物线：的焦点为，过点且与轴垂直的直线交于两点，且.
(1)求抛物线的方程，并写出的焦点坐标和准线方程；
(2)过焦点的直线与抛物线交于两点（异于两点），且位于轴同一侧，直线与相交于点.
①证明：点在定直线上，记该直线为，求出的方程；
②，设直线的斜率分别为，证明：.
变式2．（2025·陕西汉中·一模）已知抛物线：（）的焦点为，点（）在上，，斜率为的直线与交于，两点．
(1)求的方程；
(2)若，求直线的方程；
(3)设直线与的斜率分别为，，证明：为定值．
变式3．（2025·江苏苏州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，直线与交于两点.
(1)若过，另一条过的直线与交于两点（在轴上方），直线分别交直线于两点，证明：为的中点；
(2)若上存在点，使得，证明：为定值.
考点三 抛物线中的定直线问题
例1．（25-26高二上·福建泉州·期末）已知顶点在坐标原点，焦点在轴上的抛物线过点.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，
（i）若点在第一象限且，求直线的方程；
（ii）若抛物线在、两点处的切线交于点，证明点在某定直线上，并求出该定直线的方程.
例2．（25-26高二上·贵州遵义·期末）已知抛物线：的准线方程为.
(1)求的方程.
(2)过点且斜率为的直线与交于，两个不同的点，为坐标原点.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）若，求的取值范围；
（ⅲ）过点作轴的垂线，交直线于点，证明：线段的中点在一条定直线上.
例3．（25-26高二上·湖南常德·期末）在直角坐标系中，点到直线的距离与点到点的距离相等，记动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)已知经过点的直线与交于，两点，且．
（ⅰ）求直线的方程；
（ⅱ）若经过点的直线（与不重合）与交于，两点，且，位于轴同一侧，直线与直线相交于点，证明：点在定直线上．
变式1．（25-26高二上·山西太原·期末）已知抛物线，直线与相交于、两个不同点，在轴左侧，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)过抛物线焦点的直线与相交于、两个不同点（异于、两点），在轴左侧．
①若直线的斜率为，求的值；
②设直线与相交于点，证明：点在定直线上．
变式2．（2025·广东肇庆·模拟预测）设抛物线的焦点为，过点的动直线与抛物线交于，两点，当在上时，直线的斜率为.
（1）求抛物线的方程；
（2）在线段上取点，满足，，证明：点总在定直线上.
变式3．（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）已知曲线上的点到的距离比它到轴的距离大1.
（1）求曲线的方程；
（2）过作斜率为的直线交曲线于､两点；
①若，求直线的方程；
②过､两点分别作曲线的切线､，求证：､的交点恒在一条定直线上.考点目录
抛物线中的定点问题
抛物线中的定值问题
抛物线中的定直线问题