以双曲线为背景的定点、定值、定直线问题专项训练-2026届高考数学二轮复习

这是一份以双曲线为背景的定点、定值、定直线问题专项训练-2026届高考数学二轮复习，共14页。
例1．（25-26高二上·江苏无锡·期末）双曲线离心率为，且经过点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设，斜率为的直线交曲线于，两点，直线，分别交曲线于，两点.
（ⅰ）若，证明：直线过定点；
（ⅱ）若，证明：直线过定点.
例2．（25-26高二上·甘肃张掖·期末）已知双曲线（，）的实轴长为2，离心率，左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与双曲线的左支交于，两点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)求直线的斜率的取值范围；
(3)设，直线，直线与双曲线的右支分别交于，两点，求证：直线过定点．
例3．（25-26高二上·甘肃白银·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，点在上.
(1)求的方程；
(2)设为的右顶点，直线与交于两点，且.
①证明：直线过定点；
②若都在的左支上，求面积的最小值.
变式1．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，.抛物线的准线经过，且与双曲线的一条渐近线交于点，若，
(1)求双曲线的方程；
(2)双曲线的右顶点为，已知点，且过的直线与交于，两点，直线，分别与轴交于，两点：
（i）若的面积为，求的方程；
（ii）证明：线段的中点为定点.
变式2．（2025·新疆·模拟预测）已知双曲线：的两条渐近线互相垂直，，分别为左右焦点，过的直线分别交双曲线左支于A，B两点，当轴时，.
(1)求双曲线G的方程；
(2)过点A作直线的垂线，垂足为D.
（i）求证：直线过定点；
（ii）求面积的最小值.
变式3．（25-26高三上·江苏南京·月考）已知双曲线为等轴双曲线，虚轴长为4．
(1)求的标准方程；
(2)斜率为的直线过点，且直线与的两支分别交于点，．
（i）求的取值范围；
（ii）若是点关于轴的对称点，证明：直线过定点．
考点二 以双曲线为背景的定值问题
例1．（25-26高二上·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左右顶点分别为，渐近线方程为．
(1)求的离心率；
(2)若点在上，且异于，求证：直线与的斜率之积为定值；
(3)若直线与只有一个公共点，直线与轴交于点，且，求的方程．
例2．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知双曲线 C的渐近线方程为，且双曲线 C经过点
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若点 A、B、D分别为双曲线C上不同的三个点，且 B、D两点关于y轴对称，△ABD的外接圆经过原点 O，证明：原点 O到直线 AB的距离为定值.
例3．（2026·贵州·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，虚轴长为，点在双曲线上，PF垂直于轴，且为实半轴长和半焦距的等差中项.
(1)求双曲线的标准方程.
(2)已知直线与双曲线相切.
①若与直线PF相交于点，与直线相交于点，证明恒为定值，并求此定值；
②若直线分别与双曲线的两条渐近线交于M，N两点，为坐标原点，判断的面积是否为定值.
变式1．（25-26高二上·山东泰安·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，点在双曲线上.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设双曲线上一动点，圆上一动点，且直线与圆相切，求的最小值；
(3)若双曲线上存在异于点的两点，直线与轴分别交于点，且关于原点对称，点在直线上，且.证明：存在点，使得为定值.
变式2．（2026·贵州毕节·一模）已知双曲线的离心率为，左､右顶点分别为.
(1)求的值；
(2)若点为上一点，且在第一象限，是等腰三角形，求点的坐标；
(3)设点在直线上，过作直线交的右支于，两点，作直线交的右支于两点，若，求证：直线的斜率与直线的斜率之和为.
变式3．（25-26高二上·上海·期末）双曲线的左、右焦点分别为，直线过且与双曲线交于两点.
(1)若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
(2)设，若的斜率存在，求证：为定值.
考点三 以双曲线为背景的定直线问题
例1．（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知直线过原点且倾斜角分别为和，平面内动点到距离之积为．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)若曲线与轴的交点分别为（在左侧），过点的直线交曲线于两点（点位于第一象限，位于第二象限），直线与相交于点．
（i）求证：点在定直线上；
（ii）求证：射线平分．
例2．（25-26高三上·山西运城·月考）已知A，B分别是双曲线C：的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为，，且．
(1)求C的方程；
(2)已知过点的直线l：交C的左、右两支于D，E两点（异于A，B），直线AE与直线BD交于点Q，证明：点Q在定直线上．
例3．（24-25高三下·贵州·月考）已知双曲线（，）的焦距为，曲线C的一条渐近线与直线垂直．
(1)求曲线C的方程；
(2)数列，是正项数列，且数列是公差为4的等差数列，点（）在曲线C上，求证：；
(3)过点的直线l交曲线C的右支于A，B两点，在线段上取异于A，B的点R，且满足，证明点R在定直线上．
变式1．（23-24高三上·云南·月考）已知过点的双曲线的渐近线方程为.
(1)求C的方程；
(2)已知A，B是C的实轴端点，过点的直线l与C交于M，N（异于A，B）两点，直线与交于点P，证明：点P在一条定直线上.
变式2．（25-26高二上·江苏徐州·期中）已知双曲线的左焦点为，渐近线方程为.
(1)求双曲线的方程；
(2)若双曲线的左、右顶点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，在第一象限，直线与交于点.求证：点在定直线上.
变式3．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，实轴长为2.
(1)求双曲线的方程；
(2)设A，分别是双曲线的上，下顶点，是下焦点，过点的直线与曲线交于，两点，直线与相交于，求证：点在定直线上.考点目录
以双曲线为背景的定点问题
以双曲线为背景的定值问题
以双曲线为背景的定直线问题