2026年高考数学一轮复习专题课件：抛物线(二)

2026年高考数学一轮复习专题课件★★　　抛物线(二)①相切：k≠0，Δ＝0；②相交：k≠0，Δ>0或k＝0；③相离：k≠0，Δ0)的焦点为F，过F的焦点弦AB的倾斜角为θ，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且y1>y2，则有下列性质：(1)y1y2＝_______，x1x2＝______．－p2(5)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．(6)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．(7)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．1．判断下面结论是否正确．(对的打“√”，错的打“×”)(1)若直线与抛物线相交，则它们有两个公共点． 夯实双基答案　(1)×(2)所有的焦点弦中，通径的长最短．答案　(2)√(3)若直线l过(2p，0)，与抛物线y2＝2px(p＞0)交于A，B两点，O为原点，则OA⊥OB.答案　(3)√(4)若过准线上一点P作抛物线的两条切线，A，B为切点，则直线AB过抛物线焦点．答案　(4)√(5)若AB是抛物线y2＝2px(p＞0)过焦点的一条弦，BB1⊥准线于B1，O为原点，则A，O，B1三点共线．答案　(5)√2．过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2＝4x有且仅有一个公共点，这样的直线有(　　)A．1条　　　　　　　　　 B．2条C．3条 D．4条√解析　两条切线，还有一条平行于x轴．3．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于(　　)A．9 B．8 C．7 D．6√√5. (人教A版选修一P138习题3.3T5改编)如图，M是抛物线y2＝4x上的一点，F是抛物线的焦点，以Fx为始边，FM为终边的角∠xFM＝60°，则|MF|＝________．4题型一　 焦点弦问题 已知AB是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦，θ为直线AB的倾斜角，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，求证：【答案】　(1)证明见解析　【思路】　(2)中|AB|＝|AF|＋|BF|，再将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离即可；【答案】　(2)证明见解析　【思路】　(3)中S△AOB＝S△AOF＋S△BOF，再由面积公式求得；【答案】　(3)证明见解析　【答案】　(4)证明见解析　【思路】　(4)中将点到焦点的距离转化为点到准线的距离；(5)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．【答案】　(5)证明见解析【讲评】　解决焦点弦问题的关键是“设而不求”方法的应用，解题时，设出直线与抛物线两交点的坐标，根据抛物线的方程正确表示出焦点弦长，再利用已知条件求解．状元笔记(1)解决焦点弦问题时，要注意以下几点(以抛物线y2＝2px(p>0)为例)：①设焦点弦与抛物线的交点为(x1，y1)，(x2，y2)．②因为(x1，y1)，(x2，y2)在抛物线上，故满足y12＝2px1，y22＝2px2.③利用y12y22＝4p2x1x2可以整体得到y1y2或x1x2.(2)利用抛物线的定义把过焦点的弦分成两个焦半径，再转化为到准线的距离，再求解．√【解析】　方法一：作出抛物线的准线，过A，B分别向准线作垂线，垂足分别为A1，B1，过B点作BH⊥AA1于点H.设|AF|＝m，|BF|＝n，由抛物线定义得|AA1|＝|AF|＝m，|BB1|＝|BF|＝n，∴|AH|＝m－n，|AB|＝m＋n. (2)(高考真题·全国卷)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)√【思路】　先求直线AB的方程，将其与抛物线的方程联立、化简，再利用根与系数的关系求解． (3)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F且斜率为 的直线交C于A，B(A在上方)，且|AF|＝6，则|BF|＝________．2题型二　 抛物线的切线 (1)过抛物线x2＝4y上一点(4，4)的切线方程为__________．y＝2x－4∴切线方程为y－4＝2(x－4)．∴y＝2x－4. (2)过点P(－1，－2)的两条直线与抛物线C：x2＝4y分别相切于A，B两点，则三角形PAB的面积为________．状元笔记(1)直线与圆锥曲线相切时只有一个公共点，但只有一个公共点时未必相切，这主要体现在抛物线和双曲线的情况．(2)在讨论时应注意全面，不要忽略二次项的系数为零的情况．√ 思考题2　(1)(2025·重庆八中适应性考试)设F为抛物线C：x2＝2y的焦点，P为C上一点且在第一象限，C在点P处的切线交x轴于N，交y轴于T，若∠FPT＝30°，则直线NF的斜率为(　　)(2)设抛物线x2＝2py(p>0)，M为直线y＝－2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B，记A，B，M的横坐标分别为xA，xB，xM，则(　　)A．xA＋xB＝2xM B．xAxB＝xM2√题型三　 直线与抛物线的综合问题 (2019·课标全国Ⅰ)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为 的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；【答案】　(1)12x－8y－7＝0　 思考题3　(1)过抛物线y2＝8x焦点的直线与抛物线交于M，N两点，设抛物线的准线与x轴的交点为A，当MA⊥NA时，|MN|＝________．8所以8＋2(xM＋xN)＝16，即xM＋xN＝4，所以由抛物线的定义知|MN|＝xM＋xN＋4＝8.方法二：由题意可知A(－2，0)，设M(xM，yM)，N(xN，yN)，即(xM＋2)(xN＋2)＋yMyN＝0，得4＋2(xM＋xN)＋4－16＝0，∴xM＋xN＝4，|MN|＝xM＋xN＋4＝8.6【解析】　设直线AB的方程为x＝ty＋m(m＞0)，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB与x轴交点为M(m，0)．∴y1·y2＝－3，根据抛物线的对称性，不妨假设点A在x轴的上方，则y1>0.【讲评】　求解本题时，应考虑以下几个点：①联立直线与抛物线方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式．②求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高．③利用基本不等式时，应注意“一正，二定，三相等”．圆锥曲线的第二定义及焦半径公式【人教A版选修一P113例6，P125例5】 圆锥曲线的第二定义平面内到一个定点F的距离与到一条定直线l(点F不在直线l上)的距离比等于一个常数e(e>0)的动点M的轨迹是圆锥曲线．当0＜e＜1时，动点M的轨迹是椭圆；当e＝1时，动点M的轨迹是抛物线；当e＞1时，动点M的轨迹是双曲线．圆锥曲线焦半径定义圆锥曲线上任意一点到焦点的距离叫做圆锥曲线关于该点的焦半径．对于椭圆和双曲线上的任意一点，都对应有两条焦半径，对于抛物线上任意一点，焦半径唯一存在．(1)椭圆的焦半径公式：(2)双曲线的焦半径公式(只讨论焦点在x轴上的情况，焦点在y轴上的情况略)：①当点P在双曲线的左支上时，|PF1|＝－ex0－a，|PF2|＝－ex0＋a；②当点P在双曲线的右支上时，|PF1|＝ex0＋a，|PF2|＝ex0－a.(3)抛物线的焦半径公式(F为抛物线焦点)：(2，±3)(3)设抛物线y2＝12x的焦点为F，经过点P(4，1)的直线l与抛物线相交于A，B两点，且点P恰为AB的中点，则|AF|＋|BF|＝________．14√教师备用资料04PART FOUR一、设而不求&设而要求——高考解析几何突围的两大绝招高考中的解析几何问题多是“重复昨天的故事”，运用的多是一些常规的解题模式和常用的数学思想方法，即称之为“通性通法”的考查．但解析几何得分不高的原因是学生为“算”所困，不会选择问题的处理策略．解析几何要注重“通性通法”，通法引路，找到解题的切入点．以下面的题为例谈突围解析几何的两大通法绝招：“设而不求”与“设而要求”．(一)设而不求“设而不求”是简化计算的一种重要手段，它的精彩在于设而不求，化繁为简．解题过程中，巧妙设点，避免解方程组，常见类型有：(1)灵活应用“点、线的几何性质”解题；(2)根据题意，整体消参或整体代入等．1．巧妙运用抛物线定义得出根与系数关系的联系，从而设而不求．2．中点弦或对称问题，可以利用“点差法”，“点差法”实质上是“设而不求”的另一种方法． (1)△ABC的三个顶点都在抛物线E：y2＝2x上，其中A(2，2)，△ABC的重心G是抛物线E的焦点，则BC所在直线的方程为____________________________．(2)抛物线E：y2＝2x上存在两点关于直线y＝k(x－2)对称，则k的取值范围是____________．3．求解直线与圆锥曲线的相关问题时，若两条直线互相垂直或两直线斜率有明确等量关系，可用“替代法”，“替代法”的实质是设而不求． (2017·课标全国Ⅰ，改编)已知F为抛物线C：y2＝2x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为________．8 (二)设而要求解析几何的综合问题，常常涉及直线与曲线相交，当两个交点坐标未知时，用“设而不求”避免求交点，从而简化计算．而当其中一个交点坐标是已知的或除根与系数的关系外，还有坐标等量关系，则常用到“设而要求”．(2)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上．若|ON|＝|OF|(O为原点)，且OP⊥MN，求直线PB的斜率．二、反思感悟“熟”怎样才能生“巧”？要学会剖析，找出关键点和切入点，把一类题型具有的共性总结出来，提炼后形成数学思想方法，在不断地反思与探索中，掌握解答此类问题的通法，达到举一反三的目的．“设而不求”与“设而要求”这两大绝招，适用范围广，在各类题型中不乏其用武之地．