以抛物线为背景的中点弦问题、弦长问题、面积问题专项训练-2026届高考数学二轮复习

这是一份以抛物线为背景的中点弦问题、弦长问题、面积问题专项训练-2026届高考数学二轮复习，共14页。
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设，，则，由作差得，
得，所以直线方程为，即.
故选：C
例2．（25-26高三上·湖南长沙·月考）过抛物线的焦点作直线，交抛物线于，两点.若线段中点的横坐标为6，则等于（ ）
A．20B．16C．12D．8
【答案】B
【详解】由题设，抛物线的焦点为，可设，
联立，可得，则，
所以，，则，得，
所以.
故选：B
例3．（25-26高二上·湖北武汉·期末）已知抛物线，直线与抛物线相交于两点，且的中点为，则 .
【答案】
【详解】根据题意，点在直线上，所以，解得.
设点，
则，两式作差得，
整理得，
又，且，解得.
故答案为：.
例4．（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知抛物线，直线与抛物线交于两点，满足，设线段的中点为，则到轴的最小距离为 ．
【答案】
【详解】由抛物线，得焦点为，准线方程为，
设，
因为线段的中点为，所以，且到轴的距离为，
由抛物线定义及三角形三边关系定理，可知，
当且仅当三点共线时等号成立，
则，即到轴的最小距离为.
故答案为：.
变式1．（25-26高二上·陕西西安·月考）已知直线交抛物线于、两点，且的中点为，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】若直线的斜率不存在，则该直线的方程为，
此时直线与抛物线只有一个交点，不符合题意，
所以直线的斜率存在，
设点、，
因为的中点为，则，
则，这两个等式作差得，
即，
故直线的斜率为.
故选：A.
变式2．（25-26高三上·广东·月考）过抛物线的焦点的直线与该抛物线交于两点，若线段的中点的纵坐标为1，则（ ）
A．12B．C．D．
【答案】C
【详解】设，则，则.
因为线段的中点的纵坐标为1，所以，则.
又直线过的焦点，所以直线的方程为，
则线段的中点的横坐标为，则，故.
故选：C
变式3．（25-26高三上·陕西商洛·月考）已知抛物线，直线与抛物线相交于，且的中点为，则 ．
【答案】
【详解】又中点在直线上，
所以，即，故直线的方程为
设，联立方程得，
所以，，
因为的中点为，
所以，解得，满足判别式，
故.
故答案为：
变式4．（25-26高二上·天津滨海新区·月考）若直线经过抛物线焦点，且与抛物线相交于两点，且，则的中点横坐标为 .
【答案】
【详解】记为焦点到准线的距离，
则，，
分别过点作准线的垂线，垂足分别为，
直线经过抛物线焦点，且与抛物线相交于两点，
根据抛物线的定义得到，
设，
，
，
，
，，，，
的中点横坐标为，
故答案为：.
考点二 以抛物线为背景的弦长问题
例1．（25-26高二上·河北秦皇岛·期末）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线交抛物线于，两点.
(1)求直线的方程；
(2)求线段的长度.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）抛物线的焦点坐标为，
∵ 直线过点且斜率为1，
∴ 由点斜式得直线的方程为，即.
（2）联立直线与抛物线的方程，
消去得：，整理得.
设，，由韦达定理得.，
得；
因 ，，故 .
即线段的长度为.
例2．（25-26高二上·山西太原·期末）已知抛物线的焦点是直线与轴的交点．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过点的直线交于两个不同点，且，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）根据题意，直线与轴的交点为，
所以抛物线的焦点，
则抛物线的标准方程为；
（2）设，，
当直线的斜率不存在时为，此时，不符合题意：
故设，
联立方程组，得，
则，
根据抛物线定义，
得，所以直线的方程为或；
例3．（2026·江苏南通·一模）已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是2．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)已知上存在三点，且关于直线对称．
①求的取值范围；
②若为等边三角形，求．
【答案】(1)
(2)①；②
【详解】（1）设点．
因为直线的斜率与直线的斜率的差是2，所以，
，
化简得：．
（2）①因为关于直线对称，所以直线的斜率为-2．
设直线的方程为，
联立消去可得．
所以
所以中点坐标．
因为点在直线上，所以．
因为，所以，
因为曲线方程，即曲线上要挖掉两点，
即直线不能经过点，
若直线过点，则，
若直线过点，则．
综上所述：的取值范围是．
②因为为等边三角形，所以点在直线上．
设，则，
．
所以，即，
化简得，①．
因为点在直线上，所以②．
由①②消得，．
因为，所以，
所以．
变式1．（25-26高二上·安徽池州·月考）已知为坐标原点，是抛物线上异于原点的两个动点．
(1)若为等边三角形，证明：关于轴对称；
(2)设点位于第一象限，在（1）的条件下，若的面积为，求边上的中线所在直线截抛物线的弦长．
【答案】(1)证明见解析;
(2).
【详解】（1）设，，
由在抛物线上，则
又为等边三角形，则，从而
因此，
又，所以，从而，
故，关于轴对称.
（2）设等边的边长为，
由，解得，
由（1）可知关于轴对称，故，故，，
因为点在抛物线上，
所以，
故抛物线的方程为.
因为，等边三角形的中线与高线重合，
所以边上中线所在直线方程为，即．
由，消去整理得，解得，或，
因此直线与抛物线的另一个交点坐标为，
故弦长为．
变式2．（25-26高二上·江苏淮安·期中）在平面直角坐标系中，点到直线的距离与它到点的距离相等，记动点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)直线与交于点，
①求的取值范围；
②直线与轴的交点为，若，求．
【答案】(1)
(2)①②
【详解】（1）因为点到直线的距离与它到点的距离相等，
所以点的轨迹是以为焦点的抛物线，
所以的方程为；
（2）①，
因为直线与交于点，
所以，
因此的取值范围为；
②设，
在中，令，得，即
，
由①可得，，
即，
因此.
变式3．（24-25高二上·安徽阜阳·期中）如图，已知抛物线，直线依次与，轴交于点，直线依次与，轴交于点，其中，．
(1)若，且，求；
(2)若，点关于轴的对称点为，证明：
①；②．
【答案】(1)2
(2)①证明见解析；②证明见解析
【详解】（1）由直线，直线，可知，
如图，设两平行线之间的距离为，
则点到边的距离与点到边的距离都等于.
所以，由，得.
联立直线与抛物线，设，
由，消得，
，由，可知.
由韦达定理知，
则
，
由直线，，
同理可得
，
则，解得，又，则.
（2）设，由题意可得，
①由，得，
则，即，所以，
由都在抛物线上，
得，，故；
②由①知，，
由，则，且.
由（1）可知，，，
则，；
同理可得，.
所以
由点即关于轴的对称点的坐标为，
则，
故；
同理可得，，；
所以.
又由，则，
所以，
则，得证.
考点三 以抛物线为背景的面积问题
例1．（25-26高二上·北京·期末）已知抛物线，其焦点为，是上的一点.
(1)求；
(2)直线交于两点，且的面积为16，求直线的方程.
【答案】(1)；
(2)
【详解】（1）将代入，得，其中，
所以；
（2）直线的斜率显然存在，设直线，、，
由得：，
，，，
由于
所以，
解得，
即直线方程为：，所以直线恒过定点，
原点到直线的距离，
，
，
，解得，
所以直线方程为：.
例2．（25-26高二上·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，点E到点的距离等于点E到直线的距离，记动点E的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)若点P是x轴下方（不含x轴）一点，C上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．
（ⅰ）设AB中点为M，求证：轴；
（ⅱ）若P是半圆上的动点，求面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
【详解】（1）因点E到的距离等于点E到直线的距离，
故点的轨迹为以为焦点，以直线为准线的抛物线，
则动点E的轨迹方程为.
（2）（ⅰ）设，，
因为PA，PB的中点均在C上，所以，
故可以看成方程即的两个不相等的实数根，
由韦达定理，可得，即点M的横坐标与点的横坐标相同，
故轴；
（ii）由（i）可知，
且，
仿（i），设AB中点为M，则轴，于是，
，
，
故的面积，
因为，所以，
因此面积的取值范围是.
例3．（2026·浙江温州·模拟预测）已知抛物线的焦点为上有一点到焦点的距离为3，过焦点作直线与抛物线交于两点，为坐标原点.
(1)求点的坐标；
(2)求的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由抛物线定义可得，因此
所以抛物线的方程为，焦点的坐标为
（2）
设直线的方程为，与联立，消元可得，
，
设，则，
所以；
解得.
所以原点到直线的距离为，
所以
变式1．（25-26高三上·山西太原·期末）已知抛物线关于轴对称，其焦点是，直线与相交于，两个不同点，且.点，动点满足.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)求点的轨迹方程；
(3)设，是过作抛物线的两条切线的切点，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题意可设抛物线的标准方程为（），
，抛物线经过点，，，
抛物线的标准方程为.
（2）设，由（1）得，
因为动点满足，点，
则，
化简得，即.
所以点的轨迹方程为.
（3）
设，，，
由得，，
抛物线在点处的切线方程为，即，
点在该切线上，，
同理可得，
直线的方程为，
由得，，，
，
点到直线的距离，
面积，
由（2）点满足方程，
则，，，
∴
面积，
当时，面积取得最大值.
变式2．（25-26高二上·福建福州·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，其横坐标为，且．
(1)求的值；
(2)已知直线与抛物线交于两点，若，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）分析可得，点在抛物线上，其横坐标为，代入抛物线方程，得点的纵坐标为，
因为，根据抛物线的定义可得，
，计算可得；
（2）由（1）可得抛物线方程：，设，，
联立可得，
韦达定理可得，，，
所以弦长，
所以点到直线的距离为，
所以的面积为，
因为，所以当时，取得最大值．

变式3．（25-26高二上·山东枣庄·期末）已知抛物线上的一点到焦点的距离为2，到轴的距离为.
(1)求的方程；
(2)若点在直线上，过点作直线分别与相交于四点，且满足，设线段PQ的中点为.
（i）求证：直线与的对称轴平行或重合；
（ii）求面积的最小值.
【答案】(1)
(2)(i)证明见解析
(ii)
【详解】（1）已知点到焦点的距离为，根据抛物线定义，点到准线的距离也为.
点到轴的距离为，设，则：
，又，代入得：
因，得.
所以抛物线的方程为：.
（2）(i)证明直线与的对称轴平行或重合
设，由知为的中点，
设，则的坐标为.
因在抛物线上，代入：
又，化简得：
同理，对有：
故是方程的两根，
由韦达定理：，的中点的纵坐标为：
而的纵坐标也为，故与轴平行，即与抛物线的对称轴(轴)平行或重合.
(ii)求面积的最小值
由(i)知，
则：
的长度为.
因，
所以：
当 时，面积取得最小值：考点目录
以抛物线为背景的中点弦问题
以抛物线为背景的弦长问题
以抛物线为背景的面积问题