大题专练训练26：圆锥曲线（抛物线：定值定点问题）-2022届高三数学二轮复习

这是一份大题专练训练26：圆锥曲线（抛物线：定值定点问题）-2022届高三数学二轮复习，共11页。试卷主要包含了已知抛物线的焦点与圆的圆心重合等内容，欢迎下载使用。
二轮大题专练26—圆锥曲线（抛物线：定值定点问题）1．已知点，，抛物线，过点的动直线交抛物线于，两点，直线交抛物线于另一点，为坐标原点．（1）求；（2）证明：直线恒过定点．解：（1）设点，，，，由题意，设直线，由得，△，，又，．（2）证明：设，，直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为，，，三点共线，，，即，，即，，，，即，，直线的方程是，即，，由式可知，代入上式，得，令，解得，直线恒过定点．2．已知直线与抛物线相交于，两点，满足．定点，，是抛物线上一动点，设直线，与抛物线的另一个交点分别是，．（1）求抛物线的方程；（2）求证：当点在抛物线上变动时（只要点、存在且不重合），直线恒过一个定点；并求出这个定点的坐标．解：（1）设，，，，联立，整理可得：，所以可得，，进而可得，由，可得：，即，可得，所以抛物线的方程为：；（2）证明：设，，，，，，由，，三点共线可得，，即，整理可得：，所以，同理可得，，三点共线，，所以直线的方程：，整理可得：，将，的值代入直线方程可得：，所以解得：，所以直线过定点． 3．已知曲线上的任意一点到点的距离与到直线的距离小1．（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）若不经过坐标原点的直线与曲线交于，两点，以线段为直径的圆过点，求证：直线过定点．解：（Ⅰ）因为曲线上的任意一点到点的距离与到直线的距离小1，所以曲线上的任意一点到点的距离与到直线的距离相等，所以曲线为以为焦点，直线为准线的抛物线，即，所以曲线的方程为．（Ⅱ）证明：根据题意设直线方程为，，，，，联立，可得，所以，，，因为以线段为直径的圆过点，所以，所以，，，即（舍去）或，所以直线的方程为，即，所以直线经过定点．4．已知曲线上的任意一点到点的距离与到直线的距离相等．（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）若不经过坐标原点的直线与曲线交于，两点，且．求证：直线过定点．（Ⅰ）解：因为曲线上的任意一点到点的距离与到直线的距离相等，根据抛物线的定义可知，曲线的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，故曲线的方程为；（Ⅱ）证明：设直线，，，，，联立方程组，可得，所以，，所以，，，因为线段为直线的圆过点，所以为直角三角形，故有，所以，化简可得，又因为，，所以，所以，因为，，所以，所以，解得或，因为直线不过原点，所以，故，所以直线，令，则，所以直线恒过定点．5．已知抛物线上的点到焦点的距离为4．（1）求，的值；（2）设，是抛物线上分别位于轴两侧的两个动点，且，其中为坐标原点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．（1）解：由抛物线定义得，，所以抛物线方程为，代入点，可解得，故；；（2）解：设直线的方程为，，，联立，消得：，则，，由得：，所以：或（舍去），即，所以直线的方程为，所以直线过定点．6．已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点，是抛物线上异于点的两个不同的动点，当直线过点时，的最小值为8．（1）求抛物线的方程；（2）若，证明：直线恒过定点．（1）解：抛物线的焦点坐标为，，若直线过点，则直线的斜率一定不为0，不妨设直线的方程为，对于抛物线方程，可得，设，，，，则，，所以，所以当时，取得最小值为，所以，所以抛物线的方程为．（2）证明：设直线的方程为，，，，，联立，得，由题意△，所以，，因为，所以，所以不符合题意，舍去），所以直线的方程为，所以直线恒过定点．7．已知抛物线的焦点与圆的圆心重合．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）与抛物线的交点为，点，为上两点，且，分别为直线，的斜率），过点作，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．解：（Ⅰ）即，可得圆心的坐标为，即有抛物线的焦点坐标为，即，可得，则抛物线的方程为；（Ⅱ）证明：由题意可得，当直线的斜率存在时，由题意可得的斜率不为0，设直线的方程为，，，，，联立，消去可得，△，故，则，，消去可得，△，故，则，，因为，所以，整理可得，即，即，即，整理可得，即，由题意可得不过点，故，所以，则直线的方程为，所以直线过定点；当直线的斜率不存在，设方程为，则，，，由可得，即，解得，也过定点，综上可得，直线过定点．取的中点，则，此时始终有为定值．8．已知圆的方程为，直线的方程为，点为平面内一动点，是圆的一条切线为切点），并且点到直线的距离恰好等于切线长．（Ⅰ）求点的轨迹方程；（Ⅱ）已知直线的方程为，过直线上一点作（Ⅰ）中轨迹的两条切线，切点分别是，两点，证明：直线经过定点，并求出定点坐标．解：（Ⅰ）设点的坐标，则点到直线的距离，过点做圆的切线，则切线长，由题意可得，整理可得，所以点的轨迹方程：；（Ⅱ）证明：设直线的方程为：，设，，，，联立直线与抛物线的方程：，整理可得：，则，由可得，所以，所以在点的切线方程为：，即，同理可得在点切线方程为，，解得，由题意可得两条切线的交点在上，所以，即，代入直线的方程：，所以直线恒过定点，且定点的坐标为．