以椭圆为背景的定点问题、定值问题、定直线问题专项训练含答案-2026届高考数学二轮复习

这是一份以椭圆为背景的定点问题、定值问题、定直线问题专项训练含答案-2026届高考数学二轮复习，共13页。
例1．（25-26高三上·湖北·期末）已知椭圆的左､右顶点分别为，上､下顶点分别为，记四边形的内切圆为为上任意一点，过作的两条切线分别交于两点.
(1)求的标准方程；
(2)求证：直线过定点；
(3)求的最小值.
例2．（25-26高二上·湖北咸宁·期末）已知矩形在如图所示的平面直角坐标系中，，，，，，分别是矩形四条边的中点，且四点均在坐标轴上，直线，上的动点，满足，，直线与的交点为.
(1)证明：点在一个确定的椭圆上，并求此椭圆的方程；
(2)设，是椭圆的左右顶点，若直线与椭圆交于、，且（，分别表示直线，的斜率），过作直线的垂线，垂足为.
（i）证明：直线过定点；
（ii）求的取值范围.
例3．（25-26高三上·天津西青·期末）已知椭圆的离心率为，左顶点到右焦点的距离为3.
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的右顶点为，若直线与椭圆相交于，两点（异于点），且满足，试证明直线经过定点，并求出该定点的坐标.
变式1．（25-26高三上·湖北武汉·期末）已知为坐标原点，直线与椭圆交于两点（点在点的右侧），是椭圆在第二象限上的一动点（不同于）．
(1)若，直线和直线的斜率分别记为，求的值；
(2)若，是否存在点使得四边形为平行四边形？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由；
(3)若为线段上的一点，，求证：直线过定点，并求出定点的坐标．
变式2．（2026·河南南阳·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，轴，且点到直线的距离为.
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于不同的两点.
（i）求的取值范围；
（ii）若于点，证明：直线过定点.
变式3．（25-26高二上·四川攀枝花·期末）设椭圆的离心率为，上顶点为，右焦点为，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)设为椭圆上两个不同的动点（均不与重合）．
①若直线过点，求面积的最大值；
②若是的角平分线，试问直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.
考点二 以椭圆为背景的定值问题
例1．（25-26高二上·广东梅州·期末）如图，在矩形中，分别是上的点，且满足.以的中点为原点，所在直线为轴，过点的垂线为轴建立坐标系（如图所示）.
(1)证明直线与的交点在某椭圆上.并求椭圆的方程；
(2)过椭圆的右焦点作轴的垂线，与椭圆在第一象限的交点为，直线l与椭圆交于M、N两点，平分.
（i）求证：直线的斜率为定值；
（ii）求的中点到点F的最小距离.
例2．（25-26高三上·云南曲靖·期末）已知动圆经过点，且与圆相切.记动圆圆心的轨迹为曲线，经过点，斜率为的直线与曲线交于两点，为坐标原点.
(1)求曲线的标准方程；
(2)当时，求的面积；
(3)设，延长，分别与曲线交于，两点，直线的斜率为，求证：为定值.
例3．（2026·河南南阳·模拟预测）已知椭圆过点，.
(1)求C的离心率；
(2)过C上的点作斜率为的直线与C交于点，作关于x轴的对称点，过作斜率为的直线与C交于点，作关于x轴的对称点，…，重复上述操作.
（ⅰ）若，，且，重合（在此之前，与不重合），求直线的方程；
（ⅱ）当时，若，，，，探究：是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
变式1．（25-26高三上·山东青岛·期末）已知椭圆：的（）一个焦点与上、下顶点构成直角三角形，以椭圆的短轴为直径的圆与直线相切.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆的右焦点的直线交椭圆于，两点，设为坐标原点，求的面积的最大值；
(3)试问平面内是否存在定点，使得为定值？若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由.
变式2．（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为为上一点，且时，的面积为．
(1)求的方程；
(2)设为的左顶点，直线过点，且与交于B，C两点，直线AB，AC与轴分别交于点M，N，证明：为定值．
变式3．（2026·安徽马鞍山·一模）已知，动点满足直线的斜率与直线的斜率的商是，记点的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)已知椭圆以分别为左，右焦点，离心率为.直线与轴平行，与交于点，与交于两点.直线与轴交于点.
（i）求面积的最大值；
（ii）求证：为定值，并求出该定值.
考点三 以椭圆为背景的定直线问题
例1．（25-26高三上·河南周口·期末）已知椭圆：的左、右顶点分别为，，是的右焦点，是直线上的动点，且外接圆面积的最小值为.
(1)求的方程.
(2)过点，且不与轴重合的直线与交于，两点.
（ⅰ）若的斜率为1，且的面积为，求点的坐标.
（ⅱ）设直线与交于点，试判断是否在一条定直线上.若是，求出该直线方程；若不是，说明理由.
例2．（25-26高二上·河北邢台·期末）已知分别为椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆的左、右顶点，，是椭圆上的动点，过动点作椭圆的切线，分别与直线和相交于D，C两点，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点，记动点的轨迹为．
(1)证明：直线与椭圆相切．
(2)求动点的轨迹的方程．
(3)过点作斜率不为0的直线与相交于点R，S，直线AR与BS的交点为，判断点是否在定直线上．
例3．（25-26高二上·广西·月考）已知：，，，以原点为端点的射线OP分别与圆及圆交于R、S.过点R作x轴的垂线为l，过点S作x轴的平行线为m，设直线l与直线m的交点为T.
(1)当，求的面积；
(2)求动点T的轨迹C的方程；
(3)若过的动直线与轨迹C交于异于，的P、Q两点，直线与直线交于M，问动点M是否在一条直线上?如果不在一条直线上，请说明理由；如果在一条直线上，请求出此直线的方程.
变式1．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知椭圆的右焦点为，过点且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于，两点（其中点在轴的上方），点，分别为椭圆的左、右顶点.
(1)若的垂直平分线交轴于点，为坐标原点.求的取值范围；
(2)若直线和相交于点，试探究能否在一条定直线上运动？若能，求出的值，若不能，请说明理由.
变式2．（24-25高三上·北京·月考）已知椭圆的离心率为，点在C上.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点且斜率为的直线交椭圆C于，两点，试用含的代数式表示；
(3)在（2）的条件下，过点P作垂直于x轴的直线与直线AQ相交于点M，证明：线段PM的中点在定直线上.
变式3．（24-25高三上·北京·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，，若到过椭圆左焦点、斜率为的直线的距离为3，连接椭圆的四个顶点得到的四边形面积为4．
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆相交于两点，证明：直线的交点在垂直于轴的定直线上．考点目录
以椭圆为背景的定点问题
以椭圆为背景的定值问题
以椭圆为背景的定直线问题