函数与导数：利用零点的数量求参数范围、利用零点证明不等式专项训练-2026届高考数学二轮复习

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例1．（25-26高三上·河南三门峡·期末）已知函数．
(1)求极值；
(2)若曲线在点处的切线也是曲线的切线，求；
(3)若函数有且只有两个零点，求的取值范围．
例2．（2026·贵州·模拟预测）已知函数的导函数为．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若方程有两个根，求的取值范围.
例3．（25-26高三上·云南普洱·期末）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数有且仅有两个零点，求的取值范围.
例4．（25-26高三上·广东潮州·期末）已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)已知曲线与曲线有两个不同的交点，求实数的取值范围.
变式1．（25-26高二上·宁夏银川·期末）已知函数
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若函数在上有且仅有2个零点，求的取值范围.
变式2．（2026·山东青岛·模拟预测）已知为奇函数．
(1)求；
(2)若无零点，求的取值范围；
变式3．（25-26高三上·山东泰安·期末）已知函数．
(1)若在处的切线方程为，求的值；
(2)当时，，总存在，使得成立，求 的取值范围；
(3)当时，有三个不同零点，求的取值范围．
变式4．（25-26高三上·新疆·月考）已知函数在处取得极值.
(1)求，的值与函数的单调区间；
(2)若函数有三个不同的零点，求的取值范围；
(3)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.
考点二 利用零点证明不等式
例1．（25-26高三上·浙江·开学考试）已知函数.
(1)若，求函数的单调递减区间；
(2)若存在实数b，使得函数有三个不同的零点.
①求a的取值范围；
②若成等差数列，求证：.
例2．（25-26高三上·重庆·月考）已知函数.
(1)若曲线在处的切线与在处的切线的倾斜角互补，求的值.
(2)已知有三个不同的零点.
（i）求的取值范围；
（ii）若为较大的两个零点，证明：.
例3．（2026·安徽淮北·一模）已知函数．
(1)若曲线在点处的切线方程为，求实数的值；
(2)当时，
（i）证明：在上存在唯一极小值点和唯一零点；
（ii）在（i）的条件下，证明：．
例4．（25-26高三上·河北保定·期末）已知函数.
(1)讨论函数极值点的个数，并说明理由；
(2)当时，过点存在三条直线与曲线相切，切点横坐标分别为，证明：
（i）若，则；
（ii）若，则．
（注：e是自然对数的底数）
变式1．（25-26高三上·福建厦门·月考）已知函数与有两个交点，交点横坐标分别为，，且．
(1)求的取值范围；
(2)证明：；
变式2．（25-26高三上·广东·期中）已知函数.
(1)是否可以为的极值点？请说明理由；
(2)证明：若在上单调，则在上单调；
(3)若有三个零点，证明：.
变式3．（25-26高三上·重庆·月考）已知函数，其中.
(1)若，试讨论的单调性;
(2)若有3个零点.
(i)证明：;
(ii)若成等差数列，求：的值.
变式4．（25-26高三上·湖南湘西·月考）已知函数，其中．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：在区间上存在唯一的极值点与唯一的零点；
(3)在（2）的条件下，证明：．考点目录
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利用零点证明不等式