以双曲线为背景的弦长问题、面积问题、斜率问题专项训练-2026届高考数学二轮复习

这是一份以双曲线为背景的弦长问题、面积问题、斜率问题专项训练-2026届高考数学二轮复习，共14页。
(1)求曲线C的方程；
(2)过点且倾斜角为的直线与曲线C相交于A，B两点，求.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）由点与定点的距离和点M到定直线的距离的比是3，
得，整理得，
所以曲线C的方程为.
（2）由过点且倾斜角为的直线，得直线的方程为，
由消去得，解得，
所以.
例2．（25-26高三上·山西晋中·期末）已知双曲线的离心率，右焦点为.
(1)求的方程.
(2)过轴上一点（不与的顶点重合）作斜率为的直线与交于，两点，过原点作直线与交于，两点，已知.
（i）求的取值范围；
（ii）若，求点的坐标.
【答案】(1)
(2)（i）（ii）或
【详解】（1）由右焦点为，知，
因为离心率，所以，从而，
故的方程为.
（2）（i）与平行，分析其中一条即可，过原点且与有两个交点，，则，关于原点对称.
【方法一】（作图分析）考虑从斜率为0开始，绕原点逆时针旋转，当其不超过渐近线时，与有两个交点，符合题意，此时，
当时，与渐近线重合，与没有交点，当时，与也没有交点，即不符合题意，
由对称性可知，也符合题意，
故的取值范围为.
【方法二】（联立）设点，由题意知，直线，
与联立，消去，得，
此方程有两个实根，则，得，
故的取值范围为.
（ii）设点，直线，
与联立，消去，得，
设，，则，
，同理，
由（i）知，所以，
与联立，消去，得，设，，
则，，，
由，得，解得，，
故点的坐标为或.
例3．（2026·山东威海·一模）已知双曲线的焦距为2c，渐近线方程为，右焦点到直线的距离为．
(1)求的方程；
(2)已知直线交于B，C两点，的左顶点记为，若，求弦长|BC|．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意知，，
解得，
所以的方程为
（2）联立，整理得，
由，可得，
设，则
因为，
又直线过点，且，
所以，所以①，（也可利用斜率相等或向量共线得出）
将①式代入得，消去得，
解得，
则

变式1．（25-26高二上·广西贺州·期末）已知中心是坐标原点的双曲线的两个焦点为，且的离心率为3.
(1)求的方程；
(2)设直线与交于两点，若，求的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）依题意设双曲线方程为，
所以，解得，则，
所以双曲线方程为；
（2）设，，
由，消去整理得，
所以，解得或，
又，，
所以，
即，解得（满足），
所以.
变式2．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）已知双曲线的焦点在轴上，中心在坐标原点，虚轴长为4，左、右焦点分别为，过的直线交双曲线于两点且的面积为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点的直线交双曲线于两点，且点是线段的中点，求直线的方程及直线被双曲线截得的弦长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题设双曲线，
因为，
所以，直线的方程为，
联立方程解得，
故，
又因为，
所以，
所以，则，
而．
所以双曲线C的标准方程为；
（2）如图所示：

法一：因为过点的直线与双曲线相交于两点，直线斜率为，
1）当不存在时，直线的方程，显然不是中点（舍），
2）当存在时，设直线的方程为，即，
联立方程得①，
设，则，
因为为中点，所以，，解得，
故直线的方程为，即，
将代入①，得，
则，
，
故直线的方程为，弦长，
法二：因为过点的直线与双曲线相交于两点，
为线段的中点可知，直线的方程不是，
设，直线的斜率为，
由，得，
所以，
因为为中点，则
即，
直线的方程为，即，
联立方程，得，
则，
，
故直线的方程为，弦长.
变式3．（2024·浙江宁波·一模）已知是双曲线：上一点，的渐近线方程为.
(1)求的方程；
(2)直线过点，且与的两支分别交于，两点.若，求直线的斜率.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意可得，解得，
故双曲线方程为
（2）由题意可知：直线的斜率存在，设直线方程为，
联立可得，
由韦达定理可得，
由于，化简得，
故，
,
故，
故，平方可得，
解得或，
由于与的两支分别交于，两点，故，
当时，代入不符合，故舍去，
将其代入，经检验符合，
综上可得
考点二 以双曲线为背景的面积问题
例1．（25-26高三上·吉林四平·期末）已知，既是双曲线：的两条渐近线，也是双曲线：的渐近线，且双曲线的焦距是双曲线的焦距的倍.
(1)求双曲线的方程；
(2)任作一条平行于的直线依次与直线以及双曲线，交于点，，，求的值；
(3)如图，为双曲线上任意一点，过点分别作，的平行线交于，两点，证明：的面积为定值，并求出该定值.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析，
【详解】（1）由题意的焦距为，双曲线的焦距是，
设：，所以：，.
：
（2）不妨设：，设：，
联立：，解得：
联立，解得：
联立，解得：，
从而.
（3）如图，延长，分别交渐近线于，两点，
由（2）可知，
因为四边形是平行四边形，，
所以，
设，
则：，与：联立，
解得，同理求得：，
故，
设的倾斜角为，则，而，
故，
则，因此.
例2．（2026·陕西渭南·一模）已知双曲线：的离心率为，的焦点到其渐近线的距离为2.
(1)求双曲线的方程；
(2)设是双曲线上的点，，两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、四象限，若，，求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意，一条渐近线方程，一个焦点坐标为，
则 ，
解得，
故双曲线的方程： .
（2）

由题，渐近线方程为，故设，
因为，故 ，
将点代入双曲线方程，
则，
化简得，
设，则，
则，
故
.
因为，由对勾函数性质得，
故.
例3．（25-26高二上·福建厦门·月考）已知双曲线：的离心率为2，点在上，为的左、右顶点，为右支上的动点，直线和直线交于点，直线交的右支于点.
(1)求的方程；
(2)探究直线是否过定点，若过定点，求出该定点坐标，请说明理由；
(3)设，分别为和的外接圆面积，且，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)直线恒过定点.理由见解析.
(3)
【详解】（1）根据题意，，解得，所以双曲线的方程为.
（2）直线恒过定点.
理由：设，直线的方程为，联立，
整理得，
则，，
所以，
所以，所以，
直线，所以，又三点共线，所以，
即，即，
所以，即，
因为，所以，
所以，
整理可得，
所以，所以直线恒过定点；
（3）设，分别为和的外接圆面积，，分别为和的外接圆的半径，
由正弦定理可得，所以，
即，设直线的方程为，
联立，整理得，
则，
又，即，
所以，所以，
所以，即，
解得，又因为
，
所以
因为，所以，即
因为，所以实数的取值范围为.
变式1．（2025·浙江金华·三模）双曲线的离心率为，过左焦点的直线与双曲线的左支、右支分别交于点，当直线与轴垂直时，.
(1)求双曲线的方程；
(2)点满足，其中是坐标原点，求四边形的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由直线与轴垂直时，，故，故，
又离心率为，则，所以，
双曲线的方程为：.
（2）设直线l的方程是，，.
由得，
，.
因为，所以，从而.
所以，，消去得，解得，
它满足，.
,
故到直线的距离为，
所以，
由于，所以,
变式2．（2025·贵州黔东南·模拟预测）已知双曲线的左，右顶点分别为的右焦点到渐近线的距离为，过点的直线与的右支交于两点（点在第一象限），直线与交于点.
(1)求双曲线的方程；
(2)证明：点在定直线上；
(3)记的面积分别为，若，求直线的方程.
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3).
【详解】（1）双曲线的渐近线为，设，则，
而，所以双曲线的方程为.
（2）由（1）知，，直线不垂直于轴，设方程为，
由消去得，设，
，，则，，
直线：，直线：，
联立得，解得，
所以直线与交于点在定直线上.
（3）由（2）知，，
则，即，
于是，解得，即，
所以直线的方程为，即.
变式3．（24-25高三上·河南·期中）已知双曲线：的一条渐近线的斜率为，直线的方程为.
(1)若与的左、右两支分别相交，求的取值范围；
(2)当，2时，对应的曲线分别为，，设直线与的左、右两支依次相交于点，，直线与的左、右两支依次相交于点，，为坐标原点，证明：的面积与的面积相等.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）因为双曲线的一条渐近线的斜率为，
所以，所以，
联立消去并整理，得，
因为与的左、右两支分别相交，所以，
因为，所以，所以，
即的取值范围为.
（2）设，
当时，由（1）中及韦达定理，得，
当时，由（1）中及韦达定理，得，
所以与中点的横坐标都为.因为，，，在同一直线上，
所以与的中点重合，设该中点为，所以，
所以，所以，
所以的面积与的面积相等.
考点三 以双曲线为背景的斜率问题
例1．（25-26高二上·海南儋州·月考）已知双曲线的离心率为，且过点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设点是双曲线上两点，且，其中为双曲线的右焦点，记直线的斜率为.证明：是定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意可得，解得，
故双曲线的标准方程为；
（2）由双曲线的标准方程为，故，
设、，则、，
由，则有，化简得，
由点是双曲线上两点，则、，
将代入，有，
整理得，又可得，
则，解得，则，
则，则，
当时，，
此时直线的斜率为；
当时，，
此时直线的斜率为，
故为定值或.
例2．（2026·新疆·一模）已知双曲线的右顶点是抛物线的焦点，过双曲线C的右焦点作斜率不为0的直线与抛物线交于两点，且
(1)求双曲线C的方程；
(2)点在双曲线C的左支上，过点作抛物线的两条切线，其斜率分别为，求的最大值．
【答案】(1)
(2).
【详解】（1）由抛物线的焦点为得，设双曲线右焦点为，
直线，
与抛物线方程联立可得．
则，
解得，所以，故的方程为.
（2）设抛物线的切线方程为，显然，
与抛物线方程联立可得，
令，得，
切线方程为．
设，代入切线方程可得，
．
点在的左支上，．
代入得，
故当时，的最大值为.
例3．（25-26高二上·云南昭通·期末）已知双曲线的左、右顶点分别为、．
(1)若双曲线的离心率，求实数的值；
(2)在（1）的条件下，求以、为焦点，离心率为的椭圆的标准方程；
(3)直线与双曲线相交于相异两点，设正数为双曲线一条渐近线的斜率，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由已知，可得，解得．
（2）由已知、，
设椭圆方程为，
所以，又因为离心率为，所以，
所以，，
所以椭圆的标准方程为．
（3）如图：

联立，
消去，得，
双曲线与直线相交于相异两点，
等价于不等式组，
解得或；
依题意：，
当时，；当时，，
所以的取值范围是．
变式1．（25-26高二上·安徽阜阳·期中）已知是双曲线C:（a>0，b>0）的左、右焦点，圆与双曲线C的一条渐近线切于点P，过的直线l与C交于A，B两个不同的点.若双曲线C的离心率，求:
(1)的长;
(2)当A，B都在双曲线C的左支上时，直线l的斜率的取值范围.
【答案】(1).
(2)
【详解】（1）设双曲线C:（a>0，b>0）的一条渐近线方程为，即，
则点到直线的距离为.
因为以为圆心的圆与l相切于点P，所以.
因为，即=，所以.又，即，所以
如图，在中，，
在中，|
所以.
（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，
设点，联立
可得.
因为直线l与双曲线C交于左支的两点，
所以，
解得或，
故直线l的斜率的取值范围为.
变式2．（25-26高二上·陕西汉中·月考）已知圆，圆．若动圆与圆外切，与圆内切，设动圆圆心的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)若P为直线与轴的交点，Q为直线上的另外一点，直线过且与曲线C交于A，B两点，求证：
①；
②设直线，，的斜率分别为，求证．
【答案】(1)；
(2)①证明见解析；②证明见解析
【详解】（1）由圆，得圆心，半径.
由圆，得圆心，半径，显然，即两圆外离，如下图示：
由动圆M与圆外切，与圆内切，令圆M的半径为，则，，
所以，显然，即动圆圆心M的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，
所以，得，故动圆圆心M的轨迹方程为.
（2）①根据题意得，设且，令，设，如图：
联立，消得，
由，知，又，
所以，，则，且有，
故
，
所以直线与直线关于x轴对称，故，得证.
②由①知，，，如图：
所以
，
所以.
变式3．（25-26高三上·河北沧州·月考）已知双曲线的左、右焦点分别为,离心率为e,O为坐标原点，点是双曲线上任意一点．
(1)证明：；
(2)若.
①求双曲线的离心率；
②过且斜率为的直线交双曲线于A，B两点，若，求的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)① ；②
【详解】（1）证明：因为点在双曲线上，所以，
得证．
（2）①由（1）同理可知，
所以，
由于点在双曲线上，则或，故，因此，
又，，故，
即.
因为，
所以，即，所以.
②设，
因为，所以，所以
由①知双曲线可化为，直线，
将直线代入中消去整理得，，
所以，
又由得，
消去得，
因为在区间[2，3]上单调递增且恒大于2，
所以在区间[2，3]上单调递减，
所以，即，
所以.考点目录
以双曲线为背景的弦长问题
以双曲线为背景的面积问题
以双曲线为背景的斜率问题