以椭圆为背景的离心率问题、面积问题、定值问题专项训练含答案-2026届高考数学二轮复习

这是一份以椭圆为背景的离心率问题、面积问题、定值问题专项训练含答案-2026届高考数学二轮复习，共13页。
例1．（25-26高二上·江苏泰州·期末）若椭圆上存在四个点与椭圆的两个焦点构成一个正六边形，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
例2．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）已知椭圆的左、右顶点分别为，点M在直线上运动，c为半焦距，若的最大值为45°，则椭圆的离心率e=（ ）
A．B．2C．D．
例3．（25-26高二上·陕西商洛·期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，左、右焦点分别为，，与在第一象限内的交点为P，且，与的离心率分别为，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例4．（25-26高二上·江苏徐州·期末）已知椭圆的左、右顶点分别为、.若上的点满足，，则的离心率为 .
例5．（25-26高二上·福建泉州·期末）从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆反射后，反射光线会经过另一个焦点，且椭圆在反射点处的切线与法线垂直，入射光线与反射光线关于法线对称.现有一光线从椭圆的右焦点发出，经椭圆上的点反射至左焦点.若坐标原点到椭圆在处的切线的距离为，且，则的离心率为 .
例6．（25-26高二上·河南新乡·期末）已知是椭圆的左、右焦点，为椭圆上在轴右侧的一动点，且为坐标原点），则该椭圆离心率的取值范围为 ．
变式1．（25-26高二上·河南平顶山·期末）设，分别为椭圆的左、右焦点，A，B为C上两点，且，，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
变式2．（25-26高二上·贵州遵义·期末）已知椭圆，点，若上任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式3．（25-26高二上·四川眉山·期末）已知，是椭圆的左右焦点，若椭圆上存在一点P使得，则椭圆C的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
变式4．（25-26高二上·湖北孝感·期末）已知椭圆.若圆的方程为，椭圆上存在点，过作圆的两条切线，切点分别为，使得，则椭圆的离心率的取值范围为 .
变式5．（25-26高三上·浙江嘉兴·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，是的中点，且满足，则的离心率为 .
变式6．（25-26高二上·河南濮阳·期末）已知，是椭圆的左、右焦点，为椭圆上在轴右侧的一动点，且（为坐标原点），则该椭圆离心率的取值范围为 .
考点二 以椭圆为背景的面积问题
例1．（25-26高二上·湖南郴州·期末）在圆上任取一点，过点作轴于点，点在线段MN上，且满足，当点在圆上运动时，记点的轨迹为.
(1)求曲线E的方程.
(2)若平行四边形ABCD的四个顶点都在上，其对角线为AC与BD．
（i）证明：AC与BD的交点为原点.
（ii）求平行四边形ABCD面积的最大值.
例2．（25-26高二上·江西宜春·期末）动点满足到定点和定直线的距离之比为，动点的轨迹为曲线，，过点的直线与交于，两点，直线，与直线分别交于点，.
(1)求的方程；
(2)记直线，的斜率分别为，，证明：为定值；
(3)记、的面积分别为，，问是否存在实数，使得恒成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
例3．（25-26高二上·浙江台州·期末）已知圆与轴交于两点（在的右侧），与轴正半轴交于点，点是圆上的动点，过作轴，垂足为的中点为（当点经过两点时，规定点与点重合.），记的轨迹为.
(1)求曲线的方程；
(2)过点的直线与曲线相交于两点，求的取值范围；
(3)当不与两点重合时，过点作的垂线交曲线于点，求面积的取值范围.
变式1．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知椭圆的离心率为为坐标原点，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设椭圆的左、右顶点分别为，过点且斜率不为0的直线交椭圆于两点，记和的面积分别为，求的取值范围．
变式2．（25-26高二上·山东青岛·期末）已知椭圆经过点，焦距为4，过右焦点的直线交于异于左右顶点的两点，为的中点，为原点，直线交直线于．
(1)求的方程；
(2)求的大小；
(3)当取得最大值时，求的面积．
变式3．（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知椭圆的离心率为，且经过点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过的直线l与椭圆C相交于E，F两点，点，求面积的最大值．
考点三 以椭圆为背景的定值问题
例1．（25-26高二上·广东东莞·期末）已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到焦点的最短距离为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过右焦点的直线与椭圆交于，两点，
①若，求直线的方程；
②点为椭圆的中心，点是椭圆上异于左、右顶点的一点，且，求证：为定值.
例2．（25-26高三上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知椭圆经过点，离心率为．动直线交于两点，点满足．
(1)求的标准方程；
(2)记四边形的面积为．
①若点恰好在上，求的值；
②若，问：在轴上是否存在两个定点，使得直线与轴分别交于两点，且为定值？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由．
例3．（25-26高二上·湖北孝感·期末）已知椭圆的右顶点为，且离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过定点且斜率不为零的直线与交于两点，关于轴对称的点为.
（i）求面积的最大值；
（ii）记直线与的斜率分别为，证明：为定值.
例4．（25-26高二上·河北雄安·期末）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)动直线与椭圆相交于两点，的中点为．
（i）求点的轨迹方程；
（ⅱ）记点到轴的距离为，点是轴上的定点，直线的斜率为，直线的斜率为，若为定值，求点的坐标．
变式1．（25-26高二上·江西上饶·期末）有一个半径为4的圆形纸片，设纸片上一定点F到纸片圆心E的距离为，将纸片折叠，使圆周上一点M与点F重合，以点F，E所在的直线为x轴，以线段的中点O为原点建立平面直角坐标系.记折痕与的交点Q的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；
(2)过曲线C外一点作该曲线的两条切线，切点分别为A，B，记，的斜率分别为，，且.
①求P点轨迹方程；
②求证：的面积为定值.
变式2．（25-26高二上·广东清远·期末）已知是椭圆上的一个动点，点到两焦点的距离之和为4，为椭圆的右顶点，为椭圆的上顶点，为坐标原点，且的面积为1.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作斜率为的直线交椭圆于，两点，当的面积最大时，求直线的方程；
(3)已知直线与椭圆交于，两点（点在第一象限），直线，分别交直线于点，，记，，试判断是否为定值.若为定值，请求出该值；若不为定值，请说明理由.
变式3．（25-26高二上·河北·期末）已知椭圆的焦距为，为的右焦点，为坐标原点，过且垂直于轴的直线与交于、两点（在的上方），且．
(1)求的标准方程；
(2)过点且斜率为的直线与交于不同的两点、（在的左侧）．证明直线与的斜率之差的绝对值为定值．
变式4．（25-26高二上·河北·期末）已知为坐标原点，，动点满足，，其中分别是直线的斜率．设动点的轨迹分别为曲线．
(1)若，，求曲线，的方程.
(2)若，，证明：为定值.
(3)若直线，分别与曲线交于，两点，设为线段的中点，当在曲线上变化时，证明：为定值.考点目录
以椭圆为背景的离心率问题
以椭圆为背景的面积问题
以椭圆为背景的定值问题