【浙江专用】2026年高考数学一轮复习课时训练：20　利用导数证明不等式（含答案）

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(1)若函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围;
(2)若a=2e,证明:f(x)sin x.
3.(17分)(2025·浙江A9协作体开学考试)设函数f(x)=x+[ln(x+1)]2,g(x)=ln(x+1)[ln(x+1)+m+1]+n.
(1)求f'(x)的最大值;
(2)若函数f(x)的极小值点为x0,证明:-120,当x>1时,h'(x)0,所以g(x)单调递增,所以g(x)>g(0)=0,因此f(x)单调递增,所以f(x)>f(0)=1;
②当x=0时,可得f(0)=1且sin 0=0,所以f(0)>sin 0,满足f(x)>sin x;
③当-20,因此f(x)>sin x.
综上可得,∀x∈(-2,+∞),都有f(x)>sin x.
3.(1)解 令k(x)=f'(x)=1+2ln(x+1)x+1(x>-1),则k'(x)=2[1-ln(x+1)](x+1)2,当x∈(-1,e-1)时,k'(x)>0,当x∈(e-1,+∞)时,k'(x)0,且当x∈(e-1,+∞)时,f'(x)>0,由函数零点存在定理可得函数f'(x)存在唯一的x0∈(-12,0),使得f'(x0)=0,且当x∈(-12,x0)时,f'(x)