2027届高三数学一轮复习训练：课时规范练21　利用导数证明不等式（含答案）

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1.(15分)已知函数f(x)=x-ln x-exx.
(1)求f(x)的最大值;
(2)证明:1+x3+exx≥3x-f(x).
2.(15分)已知函数f(x)=aex-12x2-x.
(1)若f(x)在R上单调递增,求实数a的取值范围;
(2)当a=1时,证明:∀x∈(-2,+∞),f(x)>sin x.
3.(15分)已知函数f(x)=12ax2-xln x.
(1)若函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围;
(2)若a=2e,证明:f(x)exg(x);
(3)求证:12ln(n+1)0,得0sin x,只需证f(x)>1.
①当x∈(0,+∞)时,令g(x)=f'(x)=ex-x-1,可得g'(x)=ex-1>0,所以g(x)单调递增,所以g(x)>g(0)=0,因此f(x)单调递增,所以f(x)>f(0)=1;
②当x=0时,可得f(0)=1且sin 0=0,所以f(0)>sin 0,满足f(x)>sin x;
③当-20,因此f(x)>sin x.
综上,∀x∈(-2,+∞),都有f(x)>sin x.
3.(1)解 由已知得f'(x)=ax-ln x-1.因为f(x)在(0,+∞)内单调递增,所以当x>0时,f'(x)≥0,即a≥lnx+1x恒成立.令h(x)=lnx+1x(x>0),则h'(x)=-lnxx2,所以当00,n'(π2)=-1+1(π2+1) 20;
当x10,m'(π2)=-1π2+10;当x2