【高考数学】2026届一轮专题复习：2年高考1年模拟 利用导数证明不等式 [含答案]

这是一份【高考数学】2026届一轮专题复习：2年高考1年模拟 利用导数证明不等式 [含答案]，共5页。试卷主要包含了已知函数f=2-ex，已知函数f=xln x+1等内容，欢迎下载使用。
(1)求f(x)的极值；
(2)当x≥0时，求证：f(x)0.
3.已知函数f(x)=xln x+1.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)求证：当a≥1时，f(x)0.
法二 f(x)的定义域为(0，+∞).要证f(x)>0，只需证ex-1>xln x，只需证ex−1x2>ln xx.
令h(x)=ex−1x2，x∈(0，+∞)，则h'(x)=ex−1·x2−ex−1·2xx4=ex−1(x−2)x3，
当x∈(0，2)时，h'(x)ln xx，即f(x)>0.
3.已知函数f(x)=xln x+1.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)求证：当a≥1时，f(x)0，解得x>e-1，所以f(x)的单调递减区间为(0，e-1)，单调递增区间为(e-1，+∞).
(2)证明：令φ(x)=f(x)-a(ex-x)=a(x-ex)+xln x+1，令k(x)=x-ex，x>0，则k'(x)=1-ex0，所以当00，g(x)在(1，+∞)上单调递增，所以g(x)min=g(1)=e-1-1=e-2>0，
所以g(x)>0，则exx-ln x-1x-1>0，故x-ex+xln x+10得x>1a，
则f(x)在0，1a上单调递减，在1a，+∞上单调递增，
∴当x=1a时，函数f(x)取得唯一极小值即最小值.
又∵f(x)≥0且f(1)=0
∴1a=1，解得a=1，故实数a的取值集合是{1}.
(2)证明：由(1)可知，当a=1时，f(x)≥0，即ln x≤x-1对任意x>0恒成立.
∴要证明ex≥2+x2+(e-3)x+ln x，
则只需要证明ex≥1+x2+(e-2)x，
即ex-1-x2-(e-2)x≥0.
令h(x)=ex-1-x2-(e-2)x，x>0，h'(x)=ex-2x-(e-2)，
令u(x)=ex-2x-(e-2)，u'(x)=ex-2，
令u'(x)=ex-2=0，解得x=ln 2.
当x∈(0，ln 2)时，u'(x)