2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用1.2常用逻辑用语(3大考点+5大)(讲义)(学生版+解析)

这是一份2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用1.2常用逻辑用语(3大考点+5大)(讲义)(学生版+解析)，共13页。
\l "_Tc199354657" 02 落实主干知识 PAGEREF _Tc199354657 \h 3
\l "_Tc199354658" 一、充分条件与必要条件 PAGEREF _Tc199354658 \h 3
\l "_Tc199354659" 二、全称量词和存在量词 PAGEREF _Tc199354659 \h 3
\l "_Tc199354660" 三、常用二级结论 PAGEREF _Tc199354660 \h 4
\l "_Tc199354661" 03 探究核心题型 PAGEREF _Tc199354661 \h 5
\l "_Tc199354662" 题型一：充分、必要条件的判定 PAGEREF _Tc199354662 \h 5
\l "_Tc199354663" 题型二：利用充分条件与必要条件关系求参 PAGEREF _Tc199354663 \h 5
\l "_Tc199354664" 题型三：含量词的命题的否定 PAGEREF _Tc199354664 \h 6
\l "_Tc199354665" 题型四：含量词的命题的真假判断 PAGEREF _Tc199354665 \h 7
\l "_Tc199354666" 题型五：利用命题的真假求参 PAGEREF _Tc199354666 \h 7
\l "_Tc199354667" 04 好题赏析（一题多解） PAGEREF _Tc199354667 \h 8
\l "_Tc199354668" 05 数学思想方法 PAGEREF _Tc199354668 \h 9
\l "_Tc199354669" ①数形结合 PAGEREF _Tc199354669 \h 9
\l "_Tc199354670" ②转化与化归 PAGEREF _Tc199354670 \h 9
\l "_Tc199354671" ③分类讨论 PAGEREF _Tc199354671 \h 10
\l "_Tc199354672" 06 课时精练（真题、模拟题） PAGEREF _Tc199354672 \h 11
\l "_Tc199354673" 基础过关篇 PAGEREF _Tc199354673 \h 11
\l "_Tc199354674" 能力拓展篇 PAGEREF _Tc199354674 \h 13
1、理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.
2、理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定.
一、充分条件与必要条件
1、定义
如果命题“若，则”为真（记作），则是的充分条件；同时是的必要条件．
2、从逻辑推理关系上看
3、大小关系（设包含的对象分别组成集合）
①若，则是的充分条件
②若，则是的必要条件
③若，则是的充分不必要条件
④若，则是的必要不充分条件
⑤若，则是的充要条件
二、全称量词和存在量词
1、全称量词与存在量词的概念
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“”表示.
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“”表示.
2、全称量词命题和存在量词命题
三、常用二级结论
1、从集合与集合之间的关系上看
设．
（1）若，则是的充分条件（），是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且；
简记：“小大”．
（2）若，则是的必要条件，是的充分条件；
（3）若，则与互为充要条件．
题型一：充分、必要条件的判定
【例1】（2025·广东深圳·二模）在四边形中，若，则“”是“四边形是正方形”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解题总结】
充分、必要条件的三种判定方法
(1)定义法：根据，是否成立进行判断.
(2)集合法：根据，成立对应的集合之间的包含关系进行判断.
(3)等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止.
【变式1-1】（2025·河南开封·二模）设，则的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-2】（2025·福建三明·三模）已知a，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【变式1-3】（2025·陕西渭南·三模）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
题型二：利用充分条件与必要条件关系求参
【例2】（2025·河北秦皇岛·一模）已知，集合，若是的必要不充分条件，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【解题总结】
求参数问题的解题方法：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.
【变式2-1】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知“”是：“”成立的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【变式2-2】（2025·河南·模拟预测）已知集合，则使得“且”成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-3】（2025·吉林延边·一模）若“”的充分不必要条件是“”，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
题型三：含量词的命题的否定
【例3】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）命题“”的否定是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题总结】
含量词命题的否定，一是改写量词，二是否定结论.
【变式3-1】（2025·河北保定·一模）已知命题，则为（ ）
A．B．
C．D．
【变式3-2】（2025·内蒙古呼和浩特·二模）命题，的否定是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【变式3-3】（2025·甘肃庆阳·模拟预测）命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
题型四：含量词的命题的真假判断
【例4】（2025·湖北宜昌·二模）已知命题，，命题，，则（ ）
A．和都是真命题B．和都是真命题
C．和都是真命题D．和都是真命题
【解题总结】
判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可.当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假.
【变式4-1】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知命题，，命题，，则（ ）
A．和都是真命题B．和都是真命题
C．和都是真命题D．和都是真命题
【变式4-2】（2025·河北唐山·一模）已知命题；命题．则（ ）
A．和都是真命题
B．是假命题，是真命题
C．是真命题，是假命题
D．和都是假命题
【变式4-3】（2025·陕西西安·二模）已知命题；命题，则（ ）
A．p和都是真命题B．和都是真命题
C．p和q都是真命题D．和q都是真命题
题型五：利用命题的真假求参
【例5】（2025·四川攀枝花·一模）命题“”为假命题，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【解题总结】
由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围.
【变式5-1】（2025·辽宁·一模）若命题“”是假命题，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-2】（2025·河南·模拟预测）已知命题“”是假命题，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-3】（2025·重庆·模拟预测）已知命题，若是假命题，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
1．若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
①数形结合
1．“”是“圆不经过第三象限”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．已知命题，为假命题，则a的取值范围为
A．B．C．D．
3．在中，，点P在边BC上，则“”是“P为BC中点”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
②转化与化归
4．若“，使成立”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．已知x，y是实数，则“”是“”是的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲、乙、丙共同写出三个集合：，，，然后他们三人各用一句话来正确描述“”表示的数字，并让丁同学猜出该数字，以下是甲、乙、丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：是的必要不充分条件；丙：是的充分不必要条件．则“”表示的数字是（ ）
A．3或4B．2或3C．1或2D．1或3
③分类讨论
7．设甲：“函数在单调递增”，乙：“”，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．若“”是“”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
9．“R，使”的一个充分不必要条件是
A．B．C．D．或
基础过关篇
1．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知命题p：，；命题q：，，则（ ）
A．p和q都是真命题B．和q都是真命题
C．p和都是真命题D．和都是真命题
2．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量，则（ ）
A．“”是“”的必要条件B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件D．“”是“”的充分条件
3．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
4．（2025·北京昌平·二模）设数列是公比不为1的无穷等比数列，则“数列为递减数列”是“对任意的正整数，”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．（2025·北京·二模）设平面向量与不共线，，则“与共线”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．（2025·陕西咸阳·三模）已知，且：关于的不等式无解；：直线的斜率非负，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．（2024年北京高考数学真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．（2024年天津高考数学真题）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
9．（2023年天津高考数学真题）已知，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
10．（2025·全国·模拟预测）“”是“圆截直线所得弦长为2”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
11．（2025·辽宁·三模）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
12．（2025·全国·模拟预测）已知等比数列的公比为，甲：数列是递增数列，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
13．（2025·浙江杭州·模拟预测）定义新运算：，设，命题，则（ ）
A．，且为假B．，且为假
C．，且为真D．，且为真
14．（多选题）（2025·甘肃金昌·模拟预测）在中，，，，则“有唯一解”的充分条件可以是（ ）
A．B．C．D．
15．（多选题）（2025·河南·三模）若，则“”的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
16．（多选题）下列四个结论中正确的是（ ）
A．若，则
B．若且，则
C．命题“任意，则”的否定是“存在，则”．
D．“”是“”的必要不充分条件
17．（多选题）（2025·贵州安顺·模拟预测）已知集合，若“”是“”的充分条件，则实数的取值可以是（ ）
A．1B．C．2D．4
18．（2025·辽宁·模拟预测）已知命题“，”的否定为真命题，则的取值范围为 ．
19．（2025·河北石家庄·三模）若命题p：，，则命题p的否定为 ．
20．（2025·辽宁·二模）命题p:“，”是假命题，则m的取值范围是 ．
21．已知，则是的条件 .（在充分不必要､必要不充分､充要､既不充分也不必要中选一个正确的填入）
能力拓展篇
22．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
23．（2025·北京东城·二模）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
24．（多选题）（2025·高三·湖南·开学考试）设，则使得“”成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
p是q的充分条件
p是q的必要条件
p是q的充要条件
且
p是q的充分不必要条件
且
是的必要不充分条件
且
是的既不充分也不必要条件
且
量词名称
常见量词
表示符号
全称量词
所有、一切、任意、全部、每一个等
存在量词
存在一个、至少有一个、有一个、某些、某个、有些、某些等
名称
全称量词命题
存在量词命题
结构
对中任意一个，有成立
存在中一个，有成立
简记
，
，
否定
，
，
1.2 常用逻辑用语
目录 TOC \ "1-2" \h \z \u
\l "_Tc199354656" 01 课表要求 PAGEREF _Tc199354656 \h 3
\l "_Tc199354657" 02 落实主干知识 PAGEREF _Tc199354657 \h 4
\l "_Tc199354658" 一、充分条件与必要条件 PAGEREF _Tc199354658 \h 4
\l "_Tc199354659" 二、全称量词和存在量词 PAGEREF _Tc199354659 \h 4
\l "_Tc199354660" 三、常用二级结论 PAGEREF _Tc199354660 \h 5
\l "_Tc199354661" 03 探究核心题型 PAGEREF _Tc199354661 \h 6
\l "_Tc199354662" 题型一：充分、必要条件的判定 PAGEREF _Tc199354662 \h 6
\l "_Tc199354663" 题型二：利用充分条件与必要条件关系求参 PAGEREF _Tc199354663 \h 7
\l "_Tc199354664" 题型三：含量词的命题的否定 PAGEREF _Tc199354664 \h 9
\l "_Tc199354665" 题型四：含量词的命题的真假判断 PAGEREF _Tc199354665 \h 10
\l "_Tc199354666" 题型五：利用命题的真假求参 PAGEREF _Tc199354666 \h 11
\l "_Tc199354667" 04 好题赏析（一题多解） PAGEREF _Tc199354667 \h 13
\l "_Tc199354668" 05 数学思想方法 PAGEREF _Tc199354668 \h 15
\l "_Tc199354669" ①数形结合 PAGEREF _Tc199354669 \h 15
\l "_Tc199354670" ②转化与化归 PAGEREF _Tc199354670 \h 17
\l "_Tc199354671" ③分类讨论 PAGEREF _Tc199354671 \h 18
\l "_Tc199354672" 06 课时精练（真题、模拟题） PAGEREF _Tc199354672 \h 21
\l "_Tc199354673" 基础过关篇 PAGEREF _Tc199354673 \h 21
\l "_Tc199354674" 能力拓展篇 PAGEREF _Tc199354674 \h 28
1、理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.
2、理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定.
一、充分条件与必要条件
1、定义
如果命题“若，则”为真（记作），则是的充分条件；同时是的必要条件．
2、从逻辑推理关系上看
3、大小关系（设包含的对象分别组成集合）
①若，则是的充分条件
②若，则是的必要条件
③若，则是的充分不必要条件
④若，则是的必要不充分条件
⑤若，则是的充要条件
二、全称量词和存在量词
1、全称量词与存在量词的概念
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“”表示.
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“”表示.
2、全称量词命题和存在量词命题
三、常用二级结论
1、从集合与集合之间的关系上看
设．
（1）若，则是的充分条件（），是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且；
简记：“小大”．
（2）若，则是的必要条件，是的充分条件；
（3）若，则与互为充要条件．
题型一：充分、必要条件的判定
【例1】（2025·广东深圳·二模）在四边形中，若，则“”是“四边形是正方形”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】在四边形中，若，则四边形为平行四边形，
若，则平行四边形为菱形，但不一定为正方形，
四边形是正方形时，必有，即有，
故“”是“四边形是正方形”的必要不充分条件.
故选：B.
【解题总结】
充分、必要条件的三种判定方法
(1)定义法：根据，是否成立进行判断.
(2)集合法：根据，成立对应的集合之间的包含关系进行判断.
(3)等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止.
【变式1-1】（2025·河南开封·二模）设，则的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】对于A，当时，满足，但是不符合，故不是的一个充分条件，故A错误；
对于B，，即，即，所以是的必要不充分条件，故B错误；
对于C，，即，故是的充要条件，故C错误；
对于D，，即，，故是的一个充分不必要条件，故D正确.
故选：D
【变式1-2】（2025·福建三明·三模）已知a，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若，则，充分性成立；
设，则有满足，
此时有，不满足，故必要性不成立，
综上所述，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
【变式1-3】（2025·陕西渭南·三模）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由可知，或，，此时，
即“”“”；
但当时，取，，此时，
即“” “”，
综上所述，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
题型二：利用充分条件与必要条件关系求参
【例2】（2025·河北秦皇岛·一模）已知，集合，若是的必要不充分条件，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，
，
因为是的必要不充分条件，
所以是的真子集,
可得，等号不同时成立，结合，解得，
所以的取值范围为，
故选：B
【解题总结】
求参数问题的解题方法：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.
【变式2-1】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知“”是：“”成立的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为，即，
则或，即，
又是的必要不充分条件，则或，即或.
则的取值范围为.
故选：B
【变式2-2】（2025·河南·模拟预测）已知集合，则使得“且”成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题可知且，解得，
所以使得“且”成立的一个充分不必要条件是集合的一个真子集，
因为只有选项A中的是的真子集，
故选：A
【变式2-3】（2025·吉林延边·一模）若“”的充分不必要条件是“”，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由＂＂的充分不必要条件是＂＂，
得，但，
所以．
故选：B.
题型三：含量词的命题的否定
【例3】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）命题“”的否定是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题可知：
命题“”的否定是“”.
故选：D
【解题总结】
含量词命题的否定，一是改写量词，二是否定结论.
【变式3-1】（2025·河北保定·一模）已知命题，则为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】全称量词命题的否定为存在量词命题，
所以为“”.
故选：A.
【变式3-2】（2025·内蒙古呼和浩特·二模）命题，的否定是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】A
【解析】，的否定是，.
故选：A
【变式3-3】（2025·甘肃庆阳·模拟预测）命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】命题“”的否定是“”.
故选:D.
题型四：含量词的命题的真假判断
【例4】（2025·湖北宜昌·二模）已知命题，，命题，，则（ ）
A．和都是真命题B．和都是真命题
C．和都是真命题D．和都是真命题
【答案】B
【解析】对于命题，不妨取，则，则命题为假命题，
对于命题，不妨取，由，则命题为真命题，因此，和都是真命题.
故选：B.
【解题总结】
判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可.当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假.
【变式4-1】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知命题，，命题，，则（ ）
A．和都是真命题B．和都是真命题
C．和都是真命题D．和都是真命题
【答案】B
【解析】对于命题，不妨取，则，则命题为假命题，
对于命题，由可得或，则命题为真命题，
因此，和都是真命题.
故选：B.
【变式4-2】（2025·河北唐山·一模）已知命题；命题．则（ ）
A．和都是真命题
B．是假命题，是真命题
C．是真命题，是假命题
D．和都是假命题
【答案】B
【解析】对于命题，因为当时，，故命题是假命题；
对于命题，当时，，故命题是真命题.
故选：B.
【变式4-3】（2025·陕西西安·二模）已知命题；命题，则（ ）
A．p和都是真命题B．和都是真命题
C．p和q都是真命题D．和q都是真命题
【答案】C
【解析】当时，成立，所以为真命题；
因为，当且仅当，即时等号成立，
而，所以为真命题,
所以都是假命题.
故选：C
题型五：利用命题的真假求参
【例5】（2025·四川攀枝花·一模）命题“”为假命题，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由已知可得，命题“”的否定，
即命题“”真命题，
根据二次函数的性质可得，应有，
解得.
故选：C.
【解题总结】
由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围.
【变式5-1】（2025·辽宁·一模）若命题“”是假命题，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为“”是假命题，所以“”是真命题；
即a要小于等于的最小值，又当时，，故.
故选：C
【变式5-2】（2025·河南·模拟预测）已知命题“”是假命题，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】已知原命题为假命题，那么它的否定“”为真命题.
对于一元二次函数，要使其对于任意实数都大于等于.
因为恒成立，所以，即，解得.
故选：A.
【变式5-3】（2025·重庆·模拟预测）已知命题，若是假命题，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为是假命题，则命题为真命题，
所以
又，当且仅当时取等号，
所以，
故选：B.
1．若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】解法一：
因为，且，
所以，即，即，所以.
所以“”是“”的充要条件.
解法二：
充分性：因为，且，所以，
所以，
所以充分性成立；
必要性：因为，且，
所以，即，即，所以.
所以必要性成立.
所以“”是“”的充要条件.
解法三：
充分性：因为，且，
所以，
所以充分性成立；
必要性：因为，且，
所以，
所以，所以，所以，
所以必要性成立.
所以“”是“”的充要条件.
故选：C
①数形结合
1．“”是“圆不经过第三象限”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】圆，即，
则圆心为，半径为，且，即，
圆心在第一象限，圆心到原点的距离为，
要圆不经过第三象限，则，解得，
综上圆C不经过第三象限时，
所以“”是“圆不经过第三象限”的必要不充分条件．
故选：
2．已知命题，为假命题，则a的取值范围为
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意知，，
令，则，
作出函数的图象如图所示，
若，则直线与函数的图象没有公共点，
数形结合可知，
所以a的取值范围为
故选：
3．在中，，点P在边BC上，则“”是“P为BC中点”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
在直角三角形ABC中，若P为BC中点，由直角三角形的性质可得成立，即必要性成立，
构造矩形ABDC，其中O为矩形对角线的交点，
则，
点P在边BC上，且，
，则，则P不一定与O重合，即充分性不成立，
故“”是“P为BC中点”的必要不充分条件，
故选：
②转化与化归
4．若“，使成立”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】若“，使得成立”是假命题，
即“，使得成立”是假命题，
故，恒成立，
令，，
根据对勾函数的性质知：在递增，
所以，
，
故选：
5．已知x，y是实数，则“”是“”是的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】若，满足，此时，所以不是的充分条件，
反过来，若，满足，此时，所以也不是的必要条件，
所以”是“”的既不充分也不必要条件．
故选：
6．甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲、乙、丙共同写出三个集合：，，，然后他们三人各用一句话来正确描述“”表示的数字，并让丁同学猜出该数字，以下是甲、乙、丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：是的必要不充分条件；丙：是的充分不必要条件．则“”表示的数字是（ ）
A．3或4B．2或3C．1或2D．1或3
【答案】C
【解析】
因为此数为小于5的正整数，所以
因为是的必要不充分条件，是的充分不必要条件，所以，，故且，解得，故“”表示的数字是1或故选
③分类讨论
7．设甲：“函数在单调递增”，乙：“”，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】对于甲：若，则，不合题意；
若，则，
因为，则，且，
可知在内不是单调递减函数
所以函数在不是单调递增，不合题意，
若，因为，则，且
因为函数在单调递增，则，解得；
综上所述：甲等价于“”
又因为是的真子集，所以甲是乙的充分不必要条件．
故答案为：
8．若“”是“”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
由得或，即不等式的解集为或，
由得，
若，则不等式的解为，此时不等式的解集为，
若，则不等式的解集为或，
若，不等式的解集为或，
若“”是“”的必要不充分条件，
则，
则当时，不满足条件．
当时则满足，即，得，
当时，则满足，得，得
综上实数a的取值范围，
故选：
9．“R，使”的一个充分不必要条件是
A．B．C．D．或
【答案】C
【解析】若R，使，
当时：有解；
当时：开口向上有解，
当时：满足
综上：，
则“R，使”的一个充分不必要条件是，
故选
基础过关篇
1．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知命题p：，；命题q：，，则（ ）
A．p和q都是真命题B．和q都是真命题
C．p和都是真命题D．和都是真命题
【答案】B
【解析】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题，
对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题，
综上，和都是真命题.
故选：B.
2．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量，则（ ）
A．“”是“”的必要条件B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件D．“”是“”的充分条件
【答案】C
【解析】对A，当时，则，
所以，解得或，即必要性不成立，故A错误；
对C，当时，，故，
所以，即充分性成立，故C正确；
对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误；
对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误.
故选：C.
3．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【解析】当时，例如但，
即推不出；
当时，，
即能推出.
综上可知，甲是乙的必要不充分条件.
故选：B
4．（2025·北京昌平·二模）设数列是公比不为1的无穷等比数列，则“数列为递减数列”是“对任意的正整数，”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若“数列为递减数列”，易得，
若“对任意的正整数，”，
，
当时，由，得，
解得：或，
若，则，此时，与已知矛盾；
若，则，由指数函数单调性可知单调递减；
当时，由，得，
解得：或，
若，则，此时，与已知矛盾；
若，则，由指数函数单调性可知单调递减；
综上可知：若，可判断数列为递减数列，
所以“数列为递减数列”是“对任意的正整数，”的充要条件，
故选：C
5．（2025·北京·二模）设平面向量与不共线，，则“与共线”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若与共线，则存在实数，使得，即，
由于平面向量与不共线，所以且，故，
因此“与共线”是“”的充要条件，
故选：C
6．（2025·陕西咸阳·三模）已知，且：关于的不等式无解；：直线的斜率非负，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】对于：关于的不等式无解，
则，即，
对于：直线的斜率非负，
即，得，
所以，但，
所以是的充分不必要条件.
故选：A
7．（2024年北京高考数学真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为，可得，即，
可知等价于，
若或，可得，即，可知必要性成立；
若，即，无法得出或，
例如，满足，但且，可知充分性不成立；
综上所述，“”是“或”的必要不充分条件.
故选：B.
8．（2024年天津高考数学真题）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件.
故选：C.
9．（2023年天津高考数学真题）已知，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】由，则，当时不成立，充分性不成立；
由，则，即，显然成立，必要性成立；
所以是的必要不充分条件.
故选：B
10．（2025·全国·模拟预测）“”是“圆截直线所得弦长为2”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】圆的圆心为，半径为3，圆心到直线的距离为，
由点到直线的距离公式可得，即，解得或3，
所以“”是“圆截直线所得弦长为2”的充分不必要条件.
故选：A．
11．（2025·辽宁·三模）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】若，则满足，但不满足，故无法得到；
若，则满足，但不满足，故无法得到，
故“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D
12．（2025·全国·模拟预测）已知等比数列的公比为，甲：数列是递增数列，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】D
【解析】如时，等比数列是递增数列，公比，由甲不能推出乙；
当时，如，时，，不是递增数列，
乙不能推出甲，所以甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件，
故选：D．
13．（2025·浙江杭州·模拟预测）定义新运算：，设，命题，则（ ）
A．，且为假B．，且为假
C．，且为真D．，且为真
【答案】D
【解析】因为，且，
则，，
可得，即命题为假命题，
所以，且为真命题.
故选：D.
14．（多选题）（2025·甘肃金昌·模拟预测）在中，，，，则“有唯一解”的充分条件可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【解析】由正弦定理可得，即．
对于A，当时，，可得，故得，解唯一，故A正确；
对于B，当时，，因，则，角有两解，解不唯一，故B错误；
对于C，当时，则，则，故，则，解唯一，故C正确；
对于D，当时，，因，则，角有两解，解不唯一，故D错误.
故选：AC．
15．（多选题）（2025·河南·三模）若，则“”的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】，故“”是“”的充要条件，故A错误；
由得能推出，
反之不成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确；
由可得，
故，反之不成立，
故“”是“”的充分不必要条件，故C正确；
易知“”是“”的充分不必要条件，故D正确.
故选：BCD.
16．（多选题）下列四个结论中正确的是（ ）
A．若，则
B．若且，则
C．命题“任意，则”的否定是“存在，则”．
D．“”是“”的必要不充分条件
【答案】CD
【解析】A. 取，不满足，故A错误；
B. 取符合题意，但，故B错误；
C.全称命题的否定：任意改存在，则后改否定，故C正确；
D.若 ，则不一定成立，例如；
若，则成立，故D正确.
故选：CD.
17．（多选题）（2025·贵州安顺·模拟预测）已知集合，若“”是“”的充分条件，则实数的取值可以是（ ）
A．1B．C．2D．4
【答案】BC
【解析】由题意得，解得，则BC符合题意.
故选：BC.
18．（2025·辽宁·模拟预测）已知命题“，”的否定为真命题，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由题意得“，”为真命题，
所以在区间内有解，
又知在区间内单调递增，所以，
故的取值范围为．
故答案为：
19．（2025·河北石家庄·三模）若命题p：，，则命题p的否定为 ．
【答案】
【解析】命题p：，的否定为：，
故答案为：
20．（2025·辽宁·二模）命题p:“，”是假命题，则m的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题，为真命题，
所以，对，
又在上的最小值为，
，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
21．已知，则是的条件 .（在充分不必要､必要不充分､充要､既不充分也不必要中选一个正确的填入）
【答案】必要不充分
【解析】，
当时，，解集不是，舍去，
当时，，解得.
综上：.
因为，所以是的必要不充分条件.
故答案为：必要不充分
能力拓展篇
22．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【解析】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为，
则，
因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即为常数，设为，
即，则，有，
两式相减得：，即，对也成立，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C正确.
方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即，
则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即，
即，，
当时，上两式相减得：，当时，上式成立，
于是，又为常数，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.故选：C
23．（2025·北京东城·二模）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】充分性：因为，所以或，
当时，或，，
当时，
或，，
可得或，所以充分性不成立，
必要性：若，
当为偶数时，设，则，
则，满足，
当为奇数时，设，则，
则，满足，
所以必要性成立，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
24．（多选题）（2025·高三·湖南·开学考试）设，则使得“”成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】由题意可得，函数单调递增，故，
对于A，，故“”是“”的充要条件，故A错误；
对于B，由得，能推出，反之不成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确；
对于C，由可得，故，反之不成立，故“”是“”的充分不必要条件，故C正确；
对于D，或，故“”是“”的充分不必要条件，故D正确，
故选：BCD．
p是q的充分条件
p是q的必要条件
p是q的充要条件
且
p是q的充分不必要条件
且
是的必要不充分条件
且
是的既不充分也不必要条件
且
量词名称
常见量词
表示符号
全称量词
所有、一切、任意、全部、每一个等
存在量词
存在一个、至少有一个、有一个、某些、某个、有些、某些等
名称
全称量词命题
存在量词命题
结构
对中任意一个，有成立
存在中一个，有成立
简记
，
，
否定
，
，