专题01 集合与常用逻辑用语-2021届新高考数学一轮复习知识点总结与题型归纳面面全

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一、集合的基本概念
1. 集合的定义
某些确定的不同对象集在一起，就构成一个集合．集合中每一个对象称为该集合的元素．
2. 集合中元素的性质
确定性：对于一个元素要么它属于某个指定集合，要么它不属于该集合，二者必居其一．
互异性：同一个集合的元素是互不相同的，相同的元素只能出现一次．
无序性：集合中的元素没有先后顺序．
注意：集合的互异性在解题中应用非常广泛，在解题时如果遇到集合中求解字母的值的问题，一定都要把值带回集合中检验，集合中是否有元素相等．
3. 集合的分类
按元素的属性：数集（构成集合中的元素是数）、点集（构成集合中的元素数点）等．
按元素的个数：空集、有限集、无限集．
二、集合的表示法
1. 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号{}内；
例如：{1​​,​​​​2​​,​​​​3​​,​​​​4​​,​​​​5}，{1​​,​​​​2​​,​​​​3​​,​​​​4​​,​​​​5​​,​​​​⋯}
2. 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内
例如：大于3的所有整数表示为：{x∈Z|x>3}
方程x2−2x−5=0的所有实数根表示为：{x∈R |x2−2x−5=0}
3. 图示法：Venn图法
例如：表示集合{1 , 2 , 3}
4. 常用数集及其记法：
非负整数集（或自然数集），记作N；
正整数集，记作N∗或N+；
整数集，记作Z；
有理数集，记作Q；
实数集，记作R；
复数集，记作C．
注意：用列举法表示集合时，元素与元素之间必须用“，”隔开；当集合中含有的元素较多时，一般用描述法表示，如果用列举法表示，可用省略号，但必须把元素间的规律表示清楚．
三、集合的基本关系
1. 子集：
如果集合A的任何一个元素都是集合B中的元素，则称A是B的子集（或B包含A），记作A⊆B（或A⊇B），读作“A包含于B”或“B包含A”．
2. 真子集
如果集合A⊆B，并且存在x∈B且x∉A，则称集合A是集合B的真子集，记作：A ⊊B．
3. 集合相等
构成两个集合的元素完全一样．若A⊆B且B⊇A，则称A等于B，记作A=B．
4. 空集：不含任何元素的集合叫做空集．
5. 空集的性质：
(1)空集是任何一个集合的子集．
(2)∅与{0}是不同的，∅中没有任何元素，{0}则表示含有一个元素0的集合，它们的关系是两个集合之间的关系（∅ U 0）．
(3)∅与{∅}是不同的，∅中没有任何元素，{∅}则表示含有一个元素∅的集合，它们的关系是∅∈{∅}或∅⊆{∅}或∅ ⊈ 0．
(4)显然，0∉∅，0∉{∅}．
6. 子集的个数：
设集合A中元素个数为n，则：
①子集的个数为2n，
②真子集的个数为2n−1，
③非空真子集的个数为2n−2．
四、集合与集合间的运算
1. 全集
如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常用U表示．
2. 补集
对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记住作∁UA，如图
3. 交集：
一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集．交集A∩B={x|x∈A且x∈B}．
4. 并集
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集．并集A∪B={x|x∈A或x∈B}．
5. 集合的简单性质：
(1)A⊆A,∅⊆A；
(2)若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；若A ⊈ B，B ⊈C，则A⊈ C；
(3)A∩B=B∩A,A∪B=B∪A；
(4)A∩B⊆A,A∩B⊆B；
(5)A⊆A∪B,B⊆A∪B；
(6)A∩∅=∅,A∪∅=A;
(7)A∩(∁UA)=∅,A∪(∁UA)=U,∁U(∁UA)=A．
6. 容斥原理
定义：有限集A的元素的个数叫做集合A的基数，记为card(A)规定card(∅)=0
基本公式：
card(A∪B)=card(A)+card(B)−card(A∩B)
card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)−card(A∩B)−card(B∩C)−card(C∩A)+card(A∩B∩C)
注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法．
典例精讲
【典例1】已知集合，，，，，则的子集个数为
A．3B．4C．7D．8
【分析】先求出集合中的元素，从而求出其子集的个数．
【解答】解：由题意可知，
集合，，，1，，
则的子集个数为：个，
故选：．
【点评】本题考察了集合的子集个数问题，若集合有个元素，其子集有个．
【典例2】设，，为实数，，记集合，，，．若，分别为集合，的元素个数，则下列结论不可能的是
A．且B．且C．且D．且
【分析】根据已知可得的元素即为根的个数，的元素即为根的个数，结合类一次方程根的个数与一次项系数的关系和二次方程根的个数与△的关系分类讨论后，可得答案．
【解答】解：，，，
，，．
当，，，；故可能
当，，，；故可能
当，，，；
当，，，；故可能
当，，，；
当，，，；
综上，只有不可能发生，
故选：．
【点评】本题考查的知识点是分类讨论思想，方程的根及根的个数判断，熟练掌握类一次方程根的个数与一次项系数的关系和二次方程根的个数与△的关系是解答的关键．
二．填空题（共4小题）
【典例3】若集合，，则表示的曲线的长度为 ．
【分析】在同一坐标系内做出与的图象，得到表示的曲线，利用圆的弧长可求出结果．
【解答】解：由整理得：，
由整理得，且，
如图所示：
所以：表示的曲线为图中的上半圆去掉劣弧的上半部分．
圆心到直线的距离，
所以劣弧所对的圆心角为，
所以该曲线的长为
故答案为：
【点评】本题考查的知识要点：圆的方程的应用，直线和园的位置关系式的应用，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．
【典例4】已知函数，，，，，则实数的取值范围是 或 ．
【分析】方法一：设，，由题意方程的存在实根，且都在函数的对称轴右侧（含对称轴）．因此有；解出即可得出．
解法二：设，是方程的两个实根，则，由题意，对任意时，即，利用根与系数的关系、不等式的解法即可得出．
【解答】解：方法一：设，，由题意方程的存在实根，
且都在函数的对称轴右侧（含对称轴）．因此有；
解得或．
方法二：设，是方程的两个实根，
则
．
由题意，对任意时，即，
，即，
，，
，△．
解得：或．．
故答案为：或
【点评】本题考查了函数的性质、方程与不等式的解法、集合的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
【典例5】设集合，，．
（Ⅰ）实数的取值范围是 ， ；
（Ⅱ）当时，若，则的最大值是 ．
【分析】（Ⅰ）作出不等式对应的平面区域，根据条件，即可求出实数的取值范围．
（Ⅱ）当时，作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识求的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）集合表示图中阴影部分（绿色部分），
集合表示图中阴影部分（红色部分），
，
由图象可知，
即的取值范围是，．
（Ⅱ）当时，，
则对应的平面区域如图（阴影部分
若，令，
即，
平移直线
作直线，由图知当直线过时，直线的截距最大，此时最大．
即．
故答案为：，，5．
【点评】本题主要考查二元一次不等式的应用，根据线性规划的知识，利用数形结合是解决本题的关键．
【典例6】已知集合，，，，，，且，则 0或 ．
【分析】利用集合交并运算的定义寻求，的关系是解决本题的关键．再根据集合相等确定未知数的等式关系，通过解方程组求解出所求的实数值．注意元素互异性的应用．
【解答】解：由知，又根据集合元素的互异性，
所以有或，解得或，
故或．
答案：0或
【点评】本题考查学生等价转化的思想，集合相等的转化，集合中元素的互异性．考查学生列方程求解未知数的思想．
考点2：常用逻辑用语
一、命题的概念和四种命题
1. 命题的概念
我们把语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句称为命题．其中判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题．
注意：并不是任何语句都是命题，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题．也就是说，判断一个语句是不是命题的两要素：①命题是陈述句②可以判断真假．
2. 命题的四种形式
(1)对于“若p，则q”形式的命题，p称为命题的条件，q称为命题的结论．
命题“如果p，则q”是由条件p和结论q组成的，对p​​​，​​​​q进行“换位”和“换质（否定）”后，可以构成四种不同形式的命题．
(2)四种命题的关系如图所示．
3. 命题“如果p，则q”的四种形式之间有如下关系：
(1)互为逆否命题的两个命题等价（同真或同假）．因此证明原命题，也可以证它的逆否命题．
(2)互逆或互否的两个命题与原命题不等价．
注意：注意命题的否定与否命题之间的区别，前者是命题的反面，且与命题的真假恰好相反；后者是对条件与结论同时进行否定，它的真假与原命题的真假没有绝对的联系．
二、简单的逻辑联结词
1. 且：
用逻辑联结词“且”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q，读作“p且q”．
逻辑联结词“且”与日常语言中的“并且”、“及”、“和”相当．
可以用“且”“定义集合的交集：A∩B={x|(x∈A)∧(x∈B)}．
2. 或：
用逻辑联结词“或”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q，读作“p或q”．
逻辑联结词“或”的意义和日常语言中的“或者”相当．
可以用“或”定义集合的并集：A∪B={x|(x∈A)∨(x∈B)}．
3. 非：
对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作¬p，读作“非p”或“p的否定”．
逻辑联结词“非”（也称为“否定”）的意义是由日常语言中的“不是”“全盘否定”“问题的反面”等抽象而来．
可以用“非”来定义集合A在全集U中的补集：∁UA={x∈U|¬(x∈A)}={x∈U|x∉A}．
4. 复合问题的真值表：
不含逻辑联结词的命题称为简单命题，含有逻辑联结词的命题称为复合命题．
注意：逻辑联词中的“或”相当于集合中的“并集”，它们与日常用语中的“或”的含义不同，日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选．而逻辑联词中的“或”可以是两个都选，也可以是两个中选一个．逻辑联词中的且相当于集合中的交集，即两个必须都选．
三、充要条件
1. 四种条件
充分条件：若p⇒q，则p是q成立的充分条件．
必要条件：若q⇒p，则p是q成立的必要条件．
充分且必要条件：如果p⇔q，则p是q的充要条件．
既不充分也不必要条件：若果p⇏q且p⇏q，则p是q成立的既不充分也不必要条件．
2.利用集合思想判别四种条件
设A={xx=满足条件P }，B={xx=满足条件q }
(1)设若A⊆B且B⊄A，则称p是q的充分不必要条件．
(2)设若A⊄B且B⊆A，则称p是q的必要不充分条件．
(3)设若A⊄B且B⊄A，则称p是q的既不充分也不必要条件．
(4)设若A⊆B且B⊆A，则称p是q的充分且必要条件．
四、全称量词与存在量词
1. 概念
全称命题：含有全称量词的命题称为全称命题，“对M中任意一个x，有p(x)成立”符号简记为：∀x∈M,p(x)．读作：对任意x属于M，有p(x)成立．
特称命题：含有存在量词的命题称为特称命题：“存在M中一个x，有p(x)成立”符号简记为：∃x∈M,p(x)，读作：存在一个x属于M，使p(x)成立．
2. 全称与特称命题的否定
存在性命题p：∃x∈A，p(x)；它的否定是¬p：∀x∈A，¬p(x)．
命题的否定：将存在量词变为全称量词，再否定它的性质．
全称命题q：∀x∈A，q(x)；它的否定是¬q：∃x∈A，¬q(x)．
命题的否定：将全称量词变为存在量词，再否定它的性质．
3. 对命题中关键词的否定：
典例精讲
【典例1】下列命题为真命题的是
①②③④
A．①④B．②④C．②③D．①②④
【分析】构造函数，根据函数单调性判断①，构造函数，根据函数单调性判断②，根据正弦函数单调性判断③，作差，提公因式，再根据余弦函数单调性判断④．
【解答】解：（1）令，则，
当时，，故在上单调递增，
（4），即，故，故①错误；
（2）令，则，
当时，，故在上单调递增，
（e），即，即，故，故②正确；
（3）令，则在，上单调递减，
又，
，故③错误；
（4），
在上是减函数，
，
，又，
，即，故④正确．
故选：．
【点评】本题考查了函数单调性的应用，根据要比较的式子构造函数是解题的关键所在，属于中档题．
【典例2】把方程表示的曲线作为函数的图象，则下列结论正确的是
①在上单调递减
②的图象关于原点对称
③的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为3
④函数不存在零点
A．①③B．①②③C．①③④D．①②③④
【分析】画出函数的图象．判断函数的单调性判断①②；通过两点间距离公式判断③；函数的零点判断④；
【解答】解：去绝对值分四个象限讨论，方程
当，时，方程，不成立；
当，时，方程为：，是双曲线的一部分；
当，时，方程为：，是双曲线的一部分；
当，时，方程为：，是椭圆的一部分；
函数图象如右图示，由图判断函数在上单调递减，故①正确，②错误．
由图判断图象上的点到原点距离的最小值点应在，的图象上，即满足，
设图象上的点，．
当时取最小值3，故③正确；
当，即，函数的零点，就是函数和的交点，
而是曲线，，和，，的渐近线，所以没有交点．
由图象可知，和，，没有交点，
所以函数不存在零点，故④正确．
故选：．
【点评】本题考查命题的真假的判断，函数的零点以及函数的单调性，双曲线的简单性质以及椭圆的性质的应用，是难题．
【典例3】已知函数，（其中．对于不相等的实数，，设，，给出下列三个结论：
①对于任意不相等的实数，，都有；
②对于任意的及任意不相等的实数，，都有；
③对于任意的，存在不相等的实数，，使得．
其中，所有正确结论的序号是
A．①B．①③C．②③D．①②③
【分析】运用指数函数的单调性，即可判断①；由二次函数的单调性，即可判断②；通过函数，求出导数判断单调性，即可判断③；
【解答】解：对于①，由于，由指数函数的单调性可得在上递增，即有，则①正确；
对于②，由二次函数的单调性可得在递减，在，递增，则不恒成立，则②错误；
对于③，由，可得，即为，
考查函数，，当，小于0，单调递减，则③错误；
故选：．
【点评】本题考查函数的单调性及运用，注意运用指数函数和二次函数的单调性，以及导数判断单调性是解题的关键，属于中档题
【典例4】（2020•衡水模拟）已知函数，有下列四个结论：
①为偶函数；②的值域为；③在上单调递减；④在，上恰有8个零点．
其中所有正确结论的序号为
A．①③B．②④C．①②③D．①③④
【分析】利用函数的奇偶性判断①；函数的值域判断②；函数的单调性判断③；函数的零点的个数判断④．
【解答】解：由于，故为偶函数，①正确；
，记，，
则，当时，的最大值2，
当时，取得最小值，即的值域为，
所以的值域为，，②错误；
在上的单调性与它在上的单调性刚好相反，
当时，单调递增，且，
而在时单调递减，故在上单调递减，
又此时，故函数在上单调递增，
于是得在上单调递减，③正确；
令，得或，而当，时，及恰有3个不等的实根，，，
即在，上恰有3个零点，
结合奇偶性可知，在，上恰有6个零点，④错误．故正确的是①③．
故选：．
【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，涉及三角函数的最值，函数的零点的个数，函数的奇偶性以及函数的单调性的求法，是中档题．
【典例5】已知在等比数列中，，是与的等比中项，则“”是“数列唯一”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】先根据等比数列的性质可得，可得△，再根据必要条件和充分条件的定义即可求出．
【解答】解：是与的等比中项，设公比为，
，
，
，
，
，
△，
若数列唯一，则若关于的方程有必有一个根为0，则，解得，必要性成立，
若，则，解得（舍去）或，数列唯一，充分性成立，
故“”是“数列唯一”的充要条件．
故选：．
【点评】本题考查了等比数列的性质，方程根的问题，充要条件等知识，属于中档题．
【典例6】下面有四个命题：
，；
，；
，；
，．
其中假命题的是
A．，B．，C．，D．，
【分析】三角函数值有等于的情况，所以正确．由三角函数的定义域得错，由于恒正，所以错，由均值不等式得正确．
【解答】解：因为，所以正确；
由于对于没意义，则错；
因为，则错；
由均值不等式得，则正确，
所以假命题的是，，
故选：．
【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了三角函数的定义域和值域，二次函数的 最值及均值不等式的应用，难度不大，属于基础题．
【典例7】下列结论中正确的是
（1）是直线和直线垂直的充分不必要条件
（2）在线性回归方程中，相关系数越大，变量间的相关性越强
（3）命题“，，”是真命题
（4）若命题，，则，，
A．（1）（4）B．（1）（2）C．（2）（3）D．（1）（3）
【分析】根据各命题对应的相关知识即可判断．
【解答】解：对（1），若直线和直线垂直，则，解得或，
所以，是直线和直线垂直的充分不必要条件，故（1）正确；
对于（2），在线性回归方程中，相关系数越大，变量间的相关性越强，故（2）错误；
对于（3），当时，成立，故（3）正确；
对于（4），，，故（4）错误．
所以正确的为（1）（3）．
故选：．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及线线垂直的充要条件应用，相关系数与相关性强弱的关系，全称命题，特称命题的真假判断，属于中档题．
综合练习
一．选择题（共5小题）
1．已知，集合，集合的所有非空子集的最小元素之和为，则使得的最小正整数的值为
A．12B．13C．14D．15
【分析】求出的所有非空子集中的最小元素的和，利用，即可求出最小正整数的值．
【解答】解：当时，的所有非空子集为：，，，，所以
当时，
当时，当最小值为时，每个元素都有或无两种情况，共有个元素，共有个非空子集，
，当最小值为，不含，含，共个元素，有非空子集，共个元素，有个非空子集，，
由，得，解得，所以满足条件的最小正整数的值为 13．
故选：．
【点评】本题考查等差数列的前项和的求法，是难题，解题时要熟练掌握集合的子集的概念，注意分类讨论思想的灵活运用．
2．设集合，，，则集合的非空子集个数是
A．2B．3C．7D．8
【分析】根据集合子集的公式（其中为集合的元素），求出集合的子集个数，然后除去空集即可得到集合的非空子集的个数．
【解答】解：因集合，，，
故，，，
所以集合有3个元素，
故的非空子集个数是：．
故选：．
【点评】解得本题的关键是掌握当集合中元素有个时，非空子集的个数为．同时注意子集与真子集的区别：子集包含本身，而真子集不包含本身．
3．已知集合，，，1，2，，且是的真子集．若实数与都在集合，1，2，3，中，则不同的集合，共有
A．4个B．5个C．6个D．7个
【分析】由是的真子集可求出，再由条件实数与都在集合，1，2，3，中可求出，写出、构成的集合即可．
【解答】解：由是的真子集，则或，在集合，1，2，3，中，
由集合元素的互异性或，
故集合，共有，，，，，，，个
故选：．
【点评】本题考查集合的关系、集合元素的性质，属基本概念、基本运算的考查．
4．下面有四个命题：
，；
，；
，；
，．
其中假命题的是
A．，B．，C．，D．，
【分析】三角函数值有等于的情况，所以正确．由三角函数的定义域得错，由于恒正，所以错，由均值不等式得正确．
【解答】解：因为，所以正确；
由于对于没意义，则错；
因为，则错；
由均值不等式得，则正确，
所以假命题的是，，
故选：．
【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了三角函数的定义域和值域，二次函数的 最值及均值不等式的应用，难度不大，属于基础题．
5．函数对任意的都有，且时的最大值为，下列四个结论：
①是的一个极值点；
②若为奇函数，则的最小正周期；
③若为偶函数，则在上单调递增；
④的取值范围是．
其中一定正确的结论编号是
A．①②B．①③C．①②④D．②③④
【分析】根据题意可知，的图象关于直线对称，再结合三角函数的图象和性质，即可判断各结论的真假．
【解答】解：因为，所以的图象关于直线对称，
又当时，的最大值为，由于三角函数的对称轴对应的值是函数的极值点，所以①正确；
又为奇函数，且在轴左侧离轴最近的对称轴为，
所以在轴右侧离轴最近的对称轴为，
所以，②正确；
若为偶函数，则在上可能单调递增，也可能单调递减，
所以③不一定正确；
令，所以，当时，即有，
当时，，，
即的取值范围是，，所以④不一定正确．
故选：．
【点评】本题主要考查函数的性质的应用，涉及极值点的概念理解，函数性质周期性和单调性的判断，考查学生的数学推理能力，属于较难题．
二．解答题（共2小题）
6．已知集合，，，，．
（1）若，求的值；
（2）若，求的取值范围．
【分析】（1）若，则，，若，则，，，由此能求出的值．
（2）由，集合，，，列出不等式组能求出的取值范围．
【解答】解：（1）若，则，，．
若，则，，，．
综上，的值为1或3．
（2），集合，，，
解得．
的取值范围是．
【点评】本题考查实数值的求法，考查实数的取值范围的求法，考查集合相等、子集、不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
7．设：“关于的不等式的解集为”， ：“函数在区间上有零点”
（1）若为真，求实数的取值范围；
（2）若为假，为真，求实数的取值范围．
【分析】（1）根据函数零点的判断定理，进行求解即可．
（2）根据为假，为真，得到，中一真一假，然后进行讨论求解即可．
【解答】解：（1）为真，即在区间上有零点，
即在上有解，
设，，则为上的增函数，为上的减函数，
所以在有且只有一个零点，所以（2），即，
所以．
（2）若为真，则，即，解得，
因为为假，为真，所以，中一真一假，
若真假，则；
若假真，则；
综上，的取值范围是，，．
【点评】本题主要考查复合命题真假关系的判断，求出命题为真命题的等价条件是解决本题的关键．
原命题
若p则q
逆命题
若q则p
否命题
若¬p则¬q
逆否命题
若¬q则¬p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
词语
等于
大于
小于
是
都是
至少一个
至多一个
任意
或
且
否定
不等于
小于或等于
大于或等于
不是
不都是
一个没有
至少两个
存在
且
或