新高考数学一轮复习高频考点与题型分类训练7-4 函数中的构造问题 (培优课-精讲精练）（2份，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-4" \h \u \l "_Tc17523" 7-3 函数中的构造问题 PAGEREF _Tc17523 \h 1
\l "_Tc32265" 一、分类题型 PAGEREF _Tc32265 \h 1
\l "_Tc21074" 题型一 利用导数求函数的极值问题 PAGEREF _Tc21074 \h 2
\l "_Tc15945" 命题点1 利用f(x)与x构造 PAGEREF _Tc15945 \h 2
\l "_Tc15391" 命题点2 利用f(x)与ex构造 PAGEREF _Tc15391 \h 2
\l "_Tc18651" 命题点3 利用f(x)与sin x、cs x构造 PAGEREF _Tc18651 \h 3
\l "_Tc28067" 题型二 同构法构造函数 PAGEREF _Tc28067 \h 3
\l "_Tc17731" 题型三 洛必达法则 PAGEREF _Tc17731 \h 4
\l "_Tc14247" 三、分层训练：课堂知识巩固 PAGEREF _Tc14247 \h 6
一、分类题型
题型一 利用导数求函数的极值问题
命题点1 利用f(x)与x构造
定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则（ ）
A．B．
C．D．
【解析】设函数，，则，
所以在上单调递减，从而，
即，则.故选：A.
函数是定义在上的偶函数，当时（其中是的导函数），若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】令，又为定义在上的偶函数，则，
故为定义在上的奇函数；
又，由题可知，当时，，即在单调递增，
结合是上的奇函数可知，为上的单调增函数；
又，
又，，，故.故选：B.
已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为______．
【解析】令，
则，由当时， ，
所以当时，即在上是增函数，
由题意是定义在上的偶函数，所以，所以，
所以是偶函数，在递减，所以，
，即不等式等价为，
所以，所以或.故答案为：或.
定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【解析】设，则，因为，所以在上单调递减.
因为，所以，所以当时，，当时，，故不等式的解集为.故选：B.
函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且满足，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解析】设，，
所以函数在上为增函数．
由的定义域为可知，得，
将不等式整理得，即，
可得在上恒成立，即在上恒成立；
令，其中，所以
，令，得．
当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减；
所以，即；故选：B．
设定义R在上的函数，满足任意，都有，且时，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】依题意，任意，都有，所以是周期为的周期函数.
所以.
构造函数，
所以在区间上单调递增，所以，
即，也即.故选：A
(1)出现nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x)；
(2)出现xf′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝eq \f(fx,xn).
设函数是定义在上的可导函数，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题知，函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，即，
设，
所以，
所以在上单调递增，
因为，
所以，
所以，解得，
所以不等式的解集为，故选：B
（多选）已知函数满足，.则当时，下列说法中正确的是（ ）
A． B．只有一个零点
C．有两个零点D．有一个极大值
【解析】令，则，
所以，，所以，.
又，则，解得.
所以，.
则，，且，A项错误.
当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减.
所以，在处有极大值为，
且只有一个极值点，D正确.
且时，有恒成立.
又，所以只有一个零点，B项正确，C项错误.
故选：BD.
定义在上的可导函数的导函数记为，若为奇函数且，当时，，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【解析】设，则，
因为当时，成立，所以，为递减函数，
又因为函数为奇函数，可得，
则，所以函数为偶函数，
所以函数在为单调递增函数，
因为，所以，，，
当时，由为奇函数可得不满足题意；
当时，由可得，所以；
当时，由可得，所以，此时，
综上所述，不等式的解集是故选：D
（多选）已知定义在上的函数满足，则下列不等式一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】由，得，
设，则,
设，则在上为增函数,且，
则当时，，此时，此时函数为增函数；
当时，，此时，此时函数为减函数，
故由，即，A正确；
由，得，即，B错误；
与不在一个单调区间上，C中算式无法比较大小，C错误；
由，得，即，D正确．
故选：AD
设定义在上的奇函数的导函数为，已知，当时，，则不等式的解集为________．
【解析】令，取，则函数为偶函数，
当时，，故，即，
由偶函数性质知，函数在是严格减函数，在是严格增函数，
又，故等价于或，
解得．
故答案为：
命题点2 利用f(x)与ex构造
已知是的导函数，且，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【解析】令，则，∴在上单调递增.
∵不等式可化为，即，∴，
则不等式的解集为.故选：A.
是定义在上的函数，满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．在上有极大值B．在上有极小值
C．在上既有极大值又有极小值D．在上没有极值
【解析】解：根据题意，，故，
又，得，故，令，
则，
即，记，
所以， 当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，所以，即，即，所以在上单调递增，故在上没有极值.故选项ABC说法错误，选项D说法正确. 故选：D
已知函数在上可导且满足，则下列不等式一定成立的为（ ）
A． B． C．D．
【解析】构造函数，在时恒成立，
所以在时单调递增，所以，即，所以，故选:C.
(1)出现f′(x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝enxf(x)；
(2)出现f′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝eq \f(fx,enx).
已知定义在上的函数的导函数为，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【解析】令，函数的定义域为，因为
所以，故
故在R上单调递减，又因为
所以，，所以不等式可化为，
所以，所以的解集为故选：B.
已知函数的导函数为，且若，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【解析】设，则，因为恒成立，
所以，所以在单调递增，
则，，，
设，则，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，所以，即，
所以，即．故选：B
已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
【解析】构造函数，，
所以在上递增，，由于，
根据的单调性解得，所以的解集.故选：D
已知定义在上的函数满足，且有，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
【解析】设，则，
∴在上单调递减.又，则.
∵等价于，即，∴，即所求不等式的解集为.故选：B．
（多选）定义域为的函数的导数为，若，且，则（ ）
A．B． C． D．
【解析】由题意可知构造函数，则，所以在上是单调递减函数，于是：，于是，所以A正确；
，于是，所以B错误；，于是，所以C正确；由于而，所以的范围无法确定，D不一定正确．故选：AC
命题点3 利用f(x)与sin x、cs x构造
已知函数对任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】构造函数，，则，所以在上单调递增，则，所以，即，故A不正确；则，所以，即，故B不正确；则，所以，即，故C正确；
则，所以，即，故D不正确.故选：C.
（多选）定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，则有（ ）
A．B．
C．D．
【解析】令，则，
由已知可得，即在上单调递减.
所以，故，，即C、D选项正确.故选：CD
已知函数及其导函数的定义域均为,，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【解析】已知，
令，则
，
所以在上单调递减，
又因为，所以，
所以不等式等价于，则，
所以不等式的解集为故选：A.
已知奇函数的导函数为，且在上恒有成立，则下列不等式成立的（ ）
A．B．
C．D．
【解析】构造函数，由在上恒有成立，即在上为增函数，又由为偶函数，，故A错误.
偶函数在上为增函数，在上为减函数，
，故B正确；
，，故C错误；，，故D错误.故选：B
函数f(x)与sin x，cs x相结合构造可导函数的几种常见形式
F(x)＝f(x)sin x，F′(x)＝f′(x)sin x＋f(x)cs x；
F(x)＝eq \f(fx,sin x)，F′(x)＝eq \f(f′xsin x－fxcs x,sin2x)；
F(x)＝f(x)cs x，F′(x)＝f′(x)cs x－f(x)sin x；
F(x)＝eq \f(fx,cs x)，F′(x)＝eq \f(f′xcs x＋fxsin x,cs2x).
设是定义在的奇函数，其导函数为，且当时， ，则关于的不等式的解集为_________.
【解析】令，则，
由条件得当时，，∴函数在上单调递减．
因为，是奇函数，∴函数为偶函数，∴函数在上单调递增．
①当时，，不等式可化为，∴；
②当时，，不等式可化为，
∴．综上可得不等式的解集为．故答案为：
函数定义域为，其导函数是，当时，有，则关于的不等式的解集为__________．
【解析】令，则，因为，所以，
因为，所以，所以在上为减函数，
由，得，所以，因为在上为减函数，
所以，所以不等式的解集为，故答案为：
（多选）已知函数对于任意的，均满足，其中是的导函数，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】令，其中，则，
当时，，则，
当时，，则，
所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
对于A选项，因为，则，即，所以，，A对；
对于B选项，，
因为，则，即，
所以，，即，B对；
对于CD选项，，
因为，则，即，
所以，，即，C对D错.故选：ABC.
（多选）已知函数是偶函数，对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】构造函数，其中，则，
∵对于任意的满足，∴ 当时，，则函数在上单调递增，又函数是偶函数，，∴，
∴在上为偶函数，∴函数在上单调递减．
∵，则，即，即，化简得，A正确；
同理可知，即，即，化简得，B正确；，且即，即，化简得，C错误；，且，即，即，化简得，D正确．故选：ABD.
题型二 同构法构造函数
若存在x，y∈(0，＋∞)使得xln(2ax)＋y＝xln y，则实数a的最大值为( )
A.eq \f(1,e) B.eq \f(1,2e) C.eq \f(1,3e) D.eq \f(2,e)
【解析】由xln(2ax)＋y＝xln y，得ln(2a)＝lneq \f(y,x)－eq \f(y,x)，令t＝eq \f(y,x)>0，g(t)＝ln t－t，
则g′(t)＝eq \f(1,t)－1＝eq \f(1－t,t)，当01时，g′(t)1，xa>1，因为f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
所以要使≤f(xa)，只需≤xa，两边取对数，得eq \f(1,x)≤aln x，因为x≥e，所以a≥eq \f(1,xln x).
令h(x)＝xln x(x∈[e，＋∞))，因为h′(x)＝ln x＋1>0，所以h(x)在[e，＋∞)上单调递增，
所以h(x)min＝h(e)＝e，所以0φ(0)＝0，
∴a≤1满足条件．
②当a>1时，若01)，
∴g′(a)＝1－(1＋ln a)＝－ln a0时，f(x)≥0，
即x(ex－1)－ax2≥0，
即ex－1－ax≥0，
即ax≤ex－1，
即a≤eq \f(ex－1,x)恒成立，
令h(x)＝eq \f(ex－1,x)(x>0)，
∴h′(x)＝eq \f(exx－1＋1,x2)，
令k(x)＝ex(x－1)＋1(x>0)，
∴k′(x)＝ex·x>0，
∴k(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴k(x)>k(0)＝0，
∴h′(x)>0，
∴h(x)在(0，＋∞)上单调递增．
由洛必达法则知，
eq \(lim,\s\d6(x→0)) h(x)＝eq \(lim,\s\d6(x→0)) eq \f(ex－1,x)＝eq \(lim,\s\d6(x→0)) ex＝1，
∴a≤1.故实数a的取值范围是(－∞，1]．
在解决不等式恒(能)成立，求参数的取值范围这一类问题时，最常用的方法是分离参数法，转化成求函数的最值，但在求最值时如果出现“eq \f(0,0)”型的代数式，就设法求其最值．“eq \f(0,0)”型的代数式，是大学数学中的不定式问题，解决此类问题的有效方法就是利用洛必达法则．
法则1 若函数f(x)和g(x)满足下列条件：
(1)eq \(lim,\s\d6(x→a)) f(x)＝0及eq \(lim,\s\d6(x→a)) g(x)＝0；
(2)在点a的某去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；
(3)eq \(lim,\s\d6(x→a)) eq \f(f′x,g′x)＝A，那么eq \(lim,\s\d6(x→a)) eq \f(fx,gx)
＝eq \(lim,\s\d6(x→a)) eq \f(f′x,g′x)＝A.
法则2 若函数f(x)和g(x)满足下列条件：
(1)eq \(lim,\s\d6(x→a)) f(x)＝∞及eq \(lim,\s\d6(x→a)) g(x)＝∞；
(2)在点a的某去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；
(3)eq \(lim,\s\d6(x→a)) eq \f(f′x,g′x)＝A，那么eq \(lim,\s\d6(x→a)) eq \f(fx,gx)
＝eq \(lim,\s\d6(x→a)) eq \f(f′x,g′x)＝A.
已知f(x)的定义域为R，f(1)＝2 023，且f′(x)≥6x恒成立，则不等式f(x)>3x2＋2 020的解集为( )
A．(－1,1)B．(1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
【解析】令函数g(x)＝f(x)－3x2，
因为g′(x)＝f′(x)－6x≥0，
所以g(x)在R上单调递增．
因为g(1)＝f(1)－3＝2 020，
所以不等式f(x)>3x2＋2 020等价于g(x)>g(1)，所以x>1.
已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足xf′(x)b>c B．c>a>b
C．b>a>c D．a>c>b
【解析】设g(x)＝eq \f(fx,x)，
则g′(x)＝eq \f(xf′x－fx,x2)ln 4>1，
∴g(3)c.
(2022·青铜峡模拟)已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数记为f′(x)，若对于任意实数x，有f(x)>f′(x)，且f(0)＝1，则不等式f(x)f′(x)，
∴g′(x)c>b
C．a>b>c D．b>a>c
【解析】依题意得
a＝ln eq \r(3,3)＝eq \f(ln 3,3)，b＝e－1＝eq \f(ln e,e)，
c＝eq \f(3ln 2,8)＝eq \f(ln 8,8).
令f(x)＝eq \f(ln x,x)(x>0)，
则f′(x)＝eq \f(1－ln x,x2)，易知函数f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减．
所以f(x)max＝f(e)＝eq \f(1,e)＝b，
且f(3)>f(8)，即a>c，所以b>a>c.
若e－2b＋eq \f(1,2)(a－1)2＝e－a＋eq \f(1,2)(2b－1)2，则( )
A．a>2b B．a＝2b
C．ab2
【解析】设f(x)＝eq \f(1,2)(x－1)2－e－x，
则f′(x)＝x－1＋e－x，设g(x)＝x－1＋e－x，
则g′(x)＝1－e－x＝eq \f(ex－1,ex)，
令g′(x)>0⇒x>0⇒f′(x)在(0，＋∞)上单调递增；
令g′(x)