专题7.4 直线 、平面垂直的判定与性质（练习+答案）-2026年高考数学一轮复习【重点•难点突破】精讲(新教材新高考)

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目录1
一、5年高考•真题感悟2
二、课程标准•考情分析5
【课程标准】5
【考情分析】5
【2026考向预测】5
三、知识点•逐点夯实6
知识点1、直线与平面垂直的定义6
知识点2、判定定理6
知识点3、性质定理7
知识点4、平面与平面垂直的定义7
知识点5、判定定理7
知识点6、性质定理8
四、重点难点•分类突破8
考点1 垂直关系的简单判定8
考点2 线线垂直的证明9
考点3 线面垂直的证明11
考点4 面面垂直的证明13
考点5 面面垂直的综合应用15
五、必考题型•分层训练18
A、基础保分18
B、综合提升19
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一、5年高考•真题感悟
1．（2025·天津·高考真题）正方体的棱长为4，分别为中点，．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)求三棱锥的体积．
2．（2025·全国一卷·高考真题）如图,在四棱锥中，底面，．
(1)证明：平面平面；
(2)设，且点，，，均在球的球面上．
（i）证明：点在平面内；
（ⅱ）求直线与所成角的余弦值．
3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，四棱锥中，底面ABCD，，．
(1)若，证明：平面；
(2)若，且二面角的正弦值为，求．
4．（2023·全国甲卷·高考真题）如图，在三棱柱中，平面．

(1)证明：平面平面；
(2)设，求四棱锥的高．
5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得．
(1)证明：；
(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值．
6．（2023·北京·高考真题）如图，在三棱锥中，平面，．

(1)求证：平面PAB；
(2)求二面角的大小．
二、课程标准•考情分析
【课程标准】
（1）理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系．
（2）掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质，并会简单的应用．
【5年考情分析】
【2026考向预测】
选择题、填空题中考查直线、平面位置关系判断；解答题第一问中多考查平行、垂直的证明．证明一些空间位置关系，利用性质定理、判定定理探究平行、垂直位置关系的存在性问题．
三、知识点•逐点夯实
知识点1：直线与平面垂直的定义
如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直．
知识点2：判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）
知识点3：性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）
知识点4：平面与平面垂直的定义
如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直．（如图所示，若，且，则）
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
知识点5：判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）
知识点6：性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）
四、重点难点•分类突破
考点1 垂直性质的简单判定
例1、（25-26高三上·河北衡水·开学考试）设α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则能确定的一组条件是（ ）
A． B．
C．D．
例2、（2025高三·全国·专题练习）（多选）如图，下列四个正方体中，E，F，G均为所在棱的中点，则直线平
面EFG的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练1】、（多选题）设、为两条直线，、为两个平面，，，下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【变式训练2】、（2025高三·全国·专题练习）已知为不同的两点，是空间中三个不同的平面，是空间中三条不同的直线，则下列结论错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则直线
考点2 线线垂直的证明
例3、（2025·安徽·模拟预测）如图，在四棱台中，平面，，.
(1)求证：；
(2)若三棱锥的外接球表面积为，求平面与平面夹角的余弦值.
例4、（2025·广东·模拟预测）如图，四边形为正方形，为正三角形，平面平面是线段的中点.
(1)证明：；
(2)若，，，，在同一个球面上，设该球面的球心为，求直线与平面所成角的正弦值.
【变式训练3】、（2025·全国·模拟预测）如图所示，平面四边形中，，，，，，点满足．将沿翻折至，使得．
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的余弦值．
【变式训练4】、（2025·江西新余·模拟预测）在多面体ABCDE中，平面平面为等边三角形，四边形ABCD为平行四边形，M，N分别为AD，BE的中点.

(1)求证：；
(2)求直线MN与平面ACE所成角的正弦值.
考点3 线面垂直的证明
例5、（2025·四川达州·模拟预测）在平面中，我们把两两相交又没有三线共点的四条直线及它们的六个交点所构成的图形，称为完全四边形.如图，在完全四边形中，，.将和分别沿BD，DF翻折至和，使得.

(1)证明：平面；
(2)求二面角的正弦值.
例6、（2025·全国·模拟预测）我国古代著作《九章算术》中记载了一种几何体“刍薨（méng）”，中国传统房屋的顶部大多都是“刍薨”，如图所示的五面体为一个刍薨，其六个顶点分别为.四边形为矩形，，，，为的中点，平面平面.
(1)求证：平面；
(2)若平面平面，且与直线所成角为，求二面角所成角的余弦值.
【变式训练5】、（2025·陕西安康·模拟预测）如图，在四棱锥中，，，，，．
(1)求证：平面；
(2)若二面角的正切值为，求四棱锥的体积；
(3)求直线与平面所成角的余弦值的最小值．
【变式训练6】、如图，四棱锥的底面是矩形，平面，，为的中点．

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
考点4 面面垂直的证明
例7、（2025·河北秦皇岛·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是边长为3的菱形，平面，，，点为线段上的三等分点.

(1)证明：平面平面.
(2)求二面角的余弦值.
例8、（24-25高一下·辽宁大连·期末）如图，平面四边形中，点是线段上一点，，且，，，沿着将三角形折叠得到四棱锥，折叠后．
(1)求证：平面平面；
(2)若，求平面与平面夹角的正切值；
(3)若，，，在同一个球面上，设该球面的球心为，证明：当球的半径最小时，点在平面内．
【变式训练7】、（2025·海南三亚·一模）在多面体中，为平行四边形，平面，为的中点.
(1)证明：平面平面；
(2)已知多面体的体积为，求与平面所成角的正弦值.
【变式训练8】、（2025·海南·模拟预测）如图，在三棱锥中，是边长为4的正三角形，与底面的夹角为，且是线段上的点．
(1)求证：平面平面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．
考点5 面面垂直的综合应用
例9、（2023·北京·三模）如图，在四棱锥中，侧面底面，且底面是矩形，，．

(1)求证：平面平面；
(2)从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，求二面角的大小．
条件①：；条件②：；条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
例10、（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E为线段PB的中点．
(1)若F为线段BC上的动点，证明：平面平面PBC；
(2)若F为线段BC上的动点，探究是否存在点F使得平面AEF，说明理由；
(3)若F为线段DC的中点，，过A、E、F三点的平面交PC于点G，求四棱锥与的体积之比．
【变式训练9】、（2025·山东淄博·三模）在直四棱柱 中，底面为平行四边形，， 在上，，在上，,在上， ， 为棱上的动点，、分别是二面角 和二面角的平面角.
(1)当为棱的中点时，
(i)证明: 平面；
(ii) 为底面 (包括边界)内的一个动点，且到平面 的距离等于到直线 的距离，最大时,确定的位置；
(2)当最小时，求 .
【变式训练10】、（2025·山东·模拟预测）如图，是的直径，与所在的平面垂直，，是上的一动点（不同于），为线段的中点，点在线段上，且．

(1)求证：
(2)当时，求直线与直线所成角的余弦值
(3)当三棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值．
五、分层训练
1．设是三条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
2．（多选题）如图是棱长为2的正方体的平面展开图，其中是的中点，在这个正方体中，下列结论正确的是（ ）
A．与平行
B．
C．直线、、中，任意两条都是异面直线
D．过，，三点的平面截该正方体所得截面的面积为
3．（2025·山西晋城·模拟预测）已知点是边长为的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形.

(1)求证：；
(2)求二面角的平面角的正切值；
(3)若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大?求出最大角的正弦值，并说明点此时所在的位置.
4．（2025·云南·模拟预测）如图，已知是等边三角形，，，平面ABC点F为AD的中点．
(1)求证：平面ABD；
(2)求平面ACE与平面ADE夹角的余弦值．
5．（2025·辽宁鞍山·一模）在四棱锥中，底面为等腰梯形，，平面，，．

(1)证明：平面平面；
(2)求平面与平面所成角的余弦值．
6．（2025·山东·模拟预测）如图1，在菱形中，，点分别是边的中点，，.沿直线将翻折到的位置，连接，得到如图2所示的五棱锥.
(1)证明：在翻折过程中，总有.
(2)若平面平面，线段上是否存在一点（可与点重合），使得点到平面的距离是菱形边长的？若存在，试确定点的位置，并求此时平面与平面所成锐二面角的余弦值；若不存在，请说明理由.
5年考情分析
考题示例
考点分析
难易程度（简单、一般、较难、很难）
2024年新I卷，第17题,15分
证明面面垂直
一般
2024年新Ⅱ卷，第17题,15分
证明线面垂直
线面垂直证明线线垂直
一般
2023年新Ⅱ卷，第20题,12分
证明线面垂直
线面垂直证明线线垂直
较难
2021年新I卷，第20题,12分
线面垂直证明线线垂直
面面垂直证线面垂直
一般
2021年新Ⅱ卷，第10题,5分
证明线面垂直
线面垂直证明线线垂直
简单
2021年新Ⅱ卷，第19题,12分
证明面面垂直
简单
文字语言
图形语言
符号语言
判断定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
面⊥面⇒线⊥面
两个平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
_
_
a
平行与垂直的关系
一条直线与两平行平面中的一个平面垂直，则该直线与另一个平面也垂直
_
平行与垂直的关系
两平行直线中有一条与平面垂直，则另一条直线与该平面也垂直

_
b
_
a
文字语言
图形语言
符号语言
性质定理
垂直于同一平面的两条直线平行

_
b
_
a
文字语言
图形语言
符号语言
垂直与平行的关系
垂直于同一直线的两个平面平行
_
线垂直于面的性质
如果一条直线垂直于一个平面，则该直线与平面内所有直线都垂直
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
_
文字语言
图形语言
符号语言
性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
_
_
a